A predikátum funkcionális jellege egy másik fogalom bevezetését vonja maga után - kvantor. (kvantum – latin „mennyit”) A kvantorműveletek a konjunkció és diszjunkció műveleteinek általánosításának tekinthetők véges és végtelen régiók esetén.
Általános kvantor (mindenki, mindenki, mindenki, bármilyen (mindenki – „mindenki”)). A megfelelő verbális kifejezés így hangzik:
"Minden x-re P(x) igaz." Egy változó előfordulása a képletben kötött lehet, ha a változó vagy közvetlenül a kvantor előjele után, vagy annak a kvantornak a hatókörében található, amely után a változó megjelenik. Minden más előfordulás szabad, a P(x)-ből x(Px)-be vagy (Px)-be való átmenetet az x változó kötésének vagy kvantor csatolásának az x változóhoz (vagy a P predikátumhoz) vagy az x változó kvantifikációjának nevezzük. A változó, amelyhez a kvantor csatolva van, meghívásra kerül összefüggő, egy nem kapcsolódó kvantálási változót hívunk ingyenes.
Például a P(x) predikátum x változóját szabadnak nevezzük (x az M bármelyike), a P(x) utasításban az x változót kötött változónak.
Az ekvivalencia igaz: P(x 1)P(x 2)…P(x n),
P(x) – az M=(x 1,x 2 ...x 4) halmazon definiált predikátum
Létezési kvantor(létezni – „létezni”). A megfelelő szóbeli kifejezés: "Van olyan x, amelyre P(x) igaz." Az xP(x) állítás már nem függ x-től, az x változót kvantor köti össze.
Az egyenértékűség igazságos:
xP(x) = P(x 1)P(x 2)…P(x n), ahol
P(x) az M=(x 1 ,x 2 …x n ) halmazon definiált predikátum.
Az általános kvantort és az egzisztenciális kvantort duálisnak nevezzük, néha a kvantor jelölést használjuk! - "Létezik, és ráadásul csak egy."
Nyilvánvaló, hogy az xP(x) állítás csak abban az egyedi esetben igaz, amikor P(x) azonosan igaz predikátum, és az állítás csak akkor hamis, ha P(x) azonosan hamis predikátum.
A kvantorműveletek a többhelyes predikátumokra is vonatkoznak. Egy kvantorművelet alkalmazása a P(x,y) predikátumra az x változóhoz viszonyítva megfeleltetésbe hozza a P(x,y) kéthelyes predikátummal az xP(x,y) vagy xP( x,y), y-tól függően és x-től független.
Kéthelyes predikátum esetén mindkét változóra alkalmazhat kvantorműveleteket. Ezután nyolc állítást kapunk:
1. P(x,y); 2. P(x,y);
3. P(x,y); 4. P(x,y);
5. P(x,y); 6. P(x,y);
7. P(x,y); 8. P(x,y)
3. példa Fontolja meg a kvantorok predikátumhoz való csatolásának lehetséges lehetőségeit P(x,y) – “x osztva y”, a természetes számok halmazán definiálva (nulla nélkül) N. Adja meg a kapott állítások szóbeli megfogalmazását, és határozza meg igazságukat!
A kvantorok csatolásának művelete a következő képletekhez vezet:
Kijelentések „bármely két természetes számra az egyik osztható a másikkal” (vagy 1) minden természetes szám osztható bármely számmal természetes szám; 2) bármely természetes szám osztója bármely természetes számnak) hamis;
Kijelentések: „két természetes szám osztható a másodikkal” (1. „van olyan x természetes szám, amely osztható valamilyen y számmal”; 2. „van egy y természetes szám, amely osztója néhány természetes szám x") igaz;
A „van olyan természetes szám, amely bármely természetes számmal osztható” állítás hamis;
A „minden természetes számhoz van egy természetes szám, amely osztható az elsővel” állítás (vagy minden természetes számra osztalék) igaz;
A „minden x természetes számhoz van egy y természetes szám, amellyel osztható” (vagy „minden természetes számnak van osztója”) állítás igaz;
A „van olyan természetes szám, amely minden természetes szám osztója” állítás igaz (egy ilyen osztó egy).
BAN BEN általános eset a kvantorok sorrendjének megváltoztatása megváltoztatja az állítás jelentését és annak logikai jelentését, azaz. például a P(x,y) és a P(x,y) állítások különböznek.
Legyen a P(x,y) predikátum azt, hogy x az y anyja, akkor P(x,y) azt, hogy minden embernek van anyja – igaz állítás. P(x,y) azt jelenti, hogy minden embernek van anyja. Ennek az állításnak az igazsága attól függ, hogy y milyen értékkészletet vehet fel: ha ez a testvérek halmaza, akkor igaz, ellenkező esetben hamis. Így az egyetemesség és a létezés kvantorainak átrendezése megváltoztathatja a kifejezés jelentését és jelentését.
a) cserélje ki a kezdőjelet (vagy) az ellenkező jelre
b) tegyen egy jelet az állítmány többi része elé
Az általunk ismerteken kívül logikai műveletek A predikátumoknál két újat vezetünk be: a létezés és az általánosság kvantorok csatolásának műveletét.
"mindenkinek x" (bárkinek x, az egyes x) nak, nek hívják általános kvantorés ki van jelölve X.
A kijelentés: „van x" (néhány x, legalább egy számára X, van valami ilyesmi x) nak, nek hívják létezés kvantorés ki van jelölve X.
Az "egy és csak egy van" kijelentés x"(egyetlen jelentésért x) nak, nek hívják egyediség kvantor : ! X.
Például: „Minden cserje növény.” Ez az állítás egy általános kvantort („minden”) tartalmaz. A kijelentés: „Vannak számok, amelyek többszörösei 5 "egzisztenciális kvantort tartalmaz ("exist").
Ahhoz, hogy egy többhelyes predikátumból állítást kapjunk, minden változót kvantorokkal kell összekötni. Például, Ha P(x;y) akkor egy kéthelyes állítmány (xX) (yY) P(x; y)- nyilatkozat.
Ha nem minden változót köt össze kvantor, akkor nem állítást kapunk, hanem egy olyan változótól függő predikátumot, amelyet nem köt össze kvantor. Tehát, ha az állítmány előtt P(x;y) tegyen egy kvantort y, akkor megkapjuk az állítmányt (yY) P(x; y), a változótól függően X.
Nézzük meg, hogy az alábbi mondatok közül melyek állítások és melyek predikátumok: a) van ilyen X, Mit x+y=2;
b) bármely xÉs nál nél egyenlőség van x + y = y + x.
Megoldás: Határozzuk meg ezeknek a mondatoknak a logikai szerkezetét.
a) A „Van ilyen” mondat X, Mit x + y = 2"-be írható az űrlapba (xR) x + y = 2. Mivel csak az x változóhoz tartozik kvantor, ezért a szóban forgó két változós mondat predikátum.
b) Ajánlat „bármely xÉs nál nél bekövetkezik x + y = y + x"-be írható az űrlapba : (xR) (yR) x + y = y + x, Ahol mindkét változó összefügg. Ezért ez a mondat egy kijelentés.
Ha egy képletben egy objektív változó nincs kvantorral társítva, akkor azt hívják szabad változók.
Például: (x) xy=uh. Itt a változó nál nél nem köti semmilyen kvantor, így ingyenes. Egy adott állítás igazsága nem attól függ.
Kvantifikátorok (x) (x) hívják dupla egymás.
Az azonos nevű kvantorok felcserélhetők, ami nem befolyásolja az állítás igazságtartalmát.
Például: (y) (x) x + y = 5. Ez az állításban ugyanez szerepel jelentése, mit és (x) (y) x + y = 5.
Különböző kvantorok esetén a sorrend megváltoztatása az állítás igazságának megváltozásához vezethet.
Például: (x) (y) x<у , azaz bármilyen számhoz x több is van nál nél- igaz állítás.
Cseréljük fel a kvantorokat: (x) (y) x
A kvantorok bevezetése kapcsán a következőket kell figyelembe venni:
1. Egy predikátum logikai képlet nem tartalmazhatja ugyanazt a célváltozót, amely a képlet egyik részében kötött, a másikban szabad lenne.
2. Ugyanaz a változó nem lehet az egymással duális kvantorok tartományában.
E feltételek megsértését ún változó ütközés.
Hogyan állapítható meg egy kvantorral rendelkező állítás igazságértéke?
Állítás igazolására általános kvantorral meg kell győződnie arról, amikor az egyes értékeket helyettesíti xállítmányba P(x) ez utóbbi igaz kijelentéssé válik. Ha az X halmaz véges, akkor ez megtehető az összes eset felsorolásával; ha az X halmaz végtelen, akkor általános formában kell érvelni.
Nyilatkozat (x) P(x) false, ha ilyen érték megadható Ax, ahol P(x) hamis kijelentéssé válik R(a). Ezért, általános kvantorral cáfolni egy állítást Elég egy példát hozni.
Nyilatkozat (x) P(x) igaz, ha ilyen érték megadható Ax, ahol P(x) igaz kijelentéssé válik R(a). Ezért sorrendben kvantorral ellenőrizzük egy állítás igazságát létezés , elég példát hozni és ezzel bebizonyítani.
Azért, hogy ellenőrizze az állítás hamisságát kvantorral létezés (x) P(x), mindegyik hamisságát ellenőrizni kell P(x), P(x), …, P(x). Ha a készlet x Természetesen ez nyers erővel is megtehető. Ha sok van x végtelenül, akkor az érvelést általános formában kell végrehajtani.
Példák.
1. Keresse meg az igazságértéket „a számok között” 1, 2, 3, 4 van egy prímszám."
Megoldás: Az állítás egzisztenciális kvantort tartalmaz, ezért az állítások diszjunkciójaként ábrázolható: „ 1 - prímszám" vagy " 2 - prímszám" vagy " 3 - prímszám" vagy " 4 - Prímszám". A diszjunkció igazságának bizonyításához legalább egy állítás igazsága elegendő, például: 3 egy prímszám", ami igaz. Ezért az eredeti állítás is igaz.
2. Bizonyítsuk be, hogy bármely négyzet téglalap.
Megoldás: Az állítás tartalmaz egy általános kvantort. Ezért kötőszóként is bemutatható: „négyzet - téglalap” és „négyzet - téglalap” és „négyzet - téglalap” stb. Mivel ezek az állítások mindegyike igaz, akkor ezeknek az állításoknak a kötőszava igaz, ezért az eredeti mondat igaz.
3. „Bármely háromszög egyenlő szárú.” Ez hamis állítás. Ennek igazolására elegendő egy nem egyenlő szárú háromszöget rajzolni.
Egy állítás tagadásának konstruálása kvantorokkal szükséges:
1) cserélje le az általánosság kvantorát a létezés, a létezés kvantorát pedig az általánosság kvantorával;
2) cserélje ki az állítmányt a tagadásával.
Példa. Fogalmazzunk meg tagadást a következő állításokra:
a) a halmaz összes eleme Z még; b) néhány ige válaszol a „mit tegyünk?” kérdésre.
Megoldás: a) Cseréljük le az általánosság kvantorát a létezés kvantorával, állítását pedig a tagadásával: a halmaz egyes elemei Z páratlan.
b) Cseréljük le a létezés kvantorát az általánosság kvantorával, kifejezését pedig tagadással: nem minden ige válaszol a „mit tegyünk?” kérdésre?
Predikátum (lat. praedicatum- kijelentette, említette, mondta) - minden olyan matematikai állítás, amelyben legalább egy változó szerepel. Az állítmány az elsőrendű logika vizsgálatának fő tárgya.
A predikátum olyan logikai változókkal rendelkező kifejezés, amelyek értelmet adnak e változók bármely megengedett értékéhez.
Kifejezések: x > 5, x > y – predikátumok.
Predikátum ( n-helyi, ill n-ary) egy függvény a halmazon meghatározott értékkészlettel (0,1) (vagy „hamis” és „igaz”). Így a halmaz minden elemkészlete M„igaz” vagy „hamis”-ként jellemezhető.
Egy predikátum matematikai összefüggéshez köthető: ha n A -ka relációhoz tartozik, akkor a predikátum 1-et ad vissza.
A predikátum az első és magasabb rendű logikai elemek egyike. A másodrendű logikából kiindulva a kvantorok a formulákban predikátumokra helyezhetők.
Az állítmányt ún ugyanúgy igazés írj:
ha bármely argumentumkészleten 1 értéket vesz fel.
Az állítmányt ún egyformán hamisés írj:
ha bármely argumentumhalmaznál 0 értéket vesz fel.
Az állítmányt ún megvalósítható, ha legalább egy argumentumkészleten 1 értéket vesz fel.
Mivel a predikátumoknak csak két jelentése van, a Boole-algebra összes művelete alkalmazható rájuk, például: tagadás, implikáció, konjunkció, diszjunkció stb.
A kvantor az olyan logikai műveletek általános neve, amelyek korlátozzák egy predikátum igazságtartományát. Leggyakrabban említett:
Univerzális kvantor(megnevezése: így szól: „mindenkinek...”, „mindenkinek...” vagy „mindenki...”, „bármilyen...”, „bármilyen...”).
Létezési kvantor(megnevezése: , így szól: „létezik...” vagy „megtalál...”).
Példák
Jelöljük P(x) állítmány " x osztható 5-tel." Az általános kvantor használatával formálisan a következő állításokat írhatjuk fel (természetesen hamis):
bármely természetes szám osztható 5-tel;
minden természetes szám 5 többszöröse;
minden természetes szám 5 többszöröse;
a következő módon:
.
A következő (már igaz) állítások az egzisztenciális kvantort használják:
vannak természetes számok, amelyek 5 többszörösei;
van egy természetes szám, amely 5 többszöröse;
legalább egy természetes szám osztható 5-tel.
Formális jelölésük:
.A fogalom bemutatása
Legyen az X sorozat prímszámok a P(x) predikátum adott: „Az x prímszám páratlan.” Helyettesítsük az „bármilyen” szót az állítmány elé. Azt a hamis állítást kapjuk, hogy „bármely x prímszám páratlan” (ez az állítás hamis, mivel a 2 páros prímszám).
Az adott P(x) predikátum elé behelyettesítve a „létezik” szót, azt az igaz állítást kapjuk, hogy „Van olyan x prímszám, amelyik páratlan” (például x = 3).
Így állítmányból állítmányt állíthatunk, ha az állítmány elé helyezzük a logikában kvantoroknak nevezett „minden”, „létezik” stb. szavakat.
Kvantifikátorok a matematikai logikában
Az állítás azt jelenti, hogy a változó tartománya x szerepel az állítmány igazságtartományában P(x).
("Az (x) összes értékére az állítás igaz."
Az állítás azt jelenti, hogy az állítmány igazságának tartománya P(x) nem üres.
(„Van egy (x), amelyre az állítás igaz”).
31. kérdés Grafikon és elemei. Alapfogalmak. Előfordulás, többszörösség, hurok, szomszédság. A grafikonok típusai. Az útvonal a grafikonon és annak hossza. Útvonalak osztályozása. Irányított és irányítatlan gráfok szomszédsági mátrixai.
A matematikai gráfelméletben és a számítástechnikában a gráf csúcsok nem üres halmazának és csúcspárok halmazának gyűjteménye.
Az objektumok a gráf csúcsaiként vagy csomópontjaiként, a kapcsolatok pedig ívekként vagy élekként jelennek meg. A különböző alkalmazási területeken a gráfok típusai eltérőek lehetnek az irányultság, a kapcsolatok számának korlátozása és a csúcsokkal vagy élekkel kapcsolatos további adatok tekintetében.
A gráfban az útvonal (vagy lánc) egy véges csúcssorozat, amelyben minden csúcs (az utolsó kivételével) egy éllel kapcsolódik a csúcssorozat következő csúcsához.
A digráfban lévő irányított út csúcsok véges sorozata v i, amelyhez minden pár ( v i,v i+ 1) (orientált) élek.
A ciklus egy olyan út, amelyben az első és az utolsó csúcs egybeesik. Ebben az esetben egy út (vagy ciklus) hossza az összetevőinek száma borda. Vegye figyelembe, hogy ha a csúcsok uÉs v valamilyen élnek a végei, akkor aszerint ezt a meghatározást, utósorozat ( u,v,u) egy ciklus. Az ilyen „elfajzott” esetek elkerülése érdekében a következő fogalmakat vezetjük be.
Egy utat (vagy ciklust) egyszerűnek nevezünk, ha élei nem ismétlődnek; elemi, ha egyszerű és csúcsai nem ismétlődnek. Könnyű belátni, hogy:
Minden két csúcsot összekötő útvonal tartalmaz egy elemi utat, amely ugyanazt a két csúcsot köti össze.
Bármilyen egyszerű nem elemiútvonal elemi elemet tartalmaz ciklus.
Bármi egyszerű valamely csúcson (vagy élen) áthaladó ciklus tartalmazza alapvető ugyanazon a csúcson (vagy élen) áthaladó (al)ciklus.
A hurok egy elemi ciklus.
Grafikon vagy irányítatlan gráf G egy rendezett pár G: = (V,E
V
E ez csúcspárok (iránytalan gráf esetén rendezetlen) halmaza, amelyeket éleknek nevezünk.
V(és ezért E, különben multihalmazról lenne szó) általában figyelembe veszik véges halmazok. Sok véges gráfokra kapott jó eredmény nem igaz (vagy valamiben különbözik) a végtelen gráfok. Ennek az az oka, hogy számos megfontolás hamissá válik végtelen halmazok esetén.
A gráf csúcsait és éleit gráfelemeknek is nevezzük, a gráf csúcsainak száma | V| - sorrend, élek száma | E| - a grafikon mérete.
Csúcsok uÉs v egy él terminális csúcsainak (vagy egyszerűen végeinek) nevezzük e = {u,v). Egy él pedig összeköti ezeket a csúcsokat. Ugyanazon él két végpontját szomszédosnak nevezzük.
Két élt szomszédosnak mondunk, ha közös végcsúcsuk van.
Két élt többszörösnek nevezünk, ha a végpontjaik halmazai egybeesnek.
Egy élt huroknak nevezünk, ha a végei egybeesnek, azaz e = {v,v}.
fok fok V csúcsok V hívja meg a rá eső élek számát (ebben az esetben a hurkokat kétszer számolja).
Egy csúcsot izoláltnak mondunk, ha nem egy él vége; lógó (vagy levél), ha pontosan egy élnek a vége.
Irányított gráf (rövidítve digráf) G egy rendezett pár G: = (V,A), amelyre a következő feltételek teljesülnek:
V csúcsok vagy csomópontok nem üres halmaza,
A ez különálló csúcsok (rendezett) párjainak halmaza, amelyeket íveknek vagy irányított éleknek neveznek.
Ív egy rendezett csúcspár (v, w), hol van a csúcs v kezdetének nevezik, és w- az ív vége. Azt mondhatjuk, hogy az ív fentről vezet v a csúcsra w.
Vegyes grafikon
Vegyes grafikon G egy gráf, amelyben egyes élek irányíthatók, mások pedig irányítatlanok. Rendelt hármasként írva G: = (V,E,A), Ahol V, EÉs A a fentiekkel megegyezően határozzuk meg.
Az irányított és irányítatlan gráfok a vegyes gráfok speciális esetei.
Izomorf gráfok (?)
Grafikon G a gráf izomorfjának nevezzük H, ha van bijekció f gráf csúcsainak halmazából G a gráf csúcsainak halmazához H, amelynek a következő tulajdonsága van: ha a gráfban G van egy él a csúcsból A a csúcsra B, majd a grafikonon H f(A) a csúcsra f(B) és fordítva – ha a grafikonon H van egy él a csúcsból A a csúcsra B, majd a grafikonon Gélnek kell lennie a csúcsból f − 1 (A) a csúcsra f − 1 (B). Irányított gráf esetén ennek a bijekciónak meg kell őriznie az él orientációját is. Súlyozott gráf esetén a bijekciónak meg kell őriznie az él súlyát is.
Grafikon szomszédsági mátrix G véges számú csúcsgal n(1-től számozott n) – Ezt négyzetmátrix A méret n, amelyben az elem értéke a ij egyenlő az élek számával én a gráf csúcsa in j-edik csúcs.
Néha, különösen irányítatlan gráf esetén, egy hurok (egy él a én th csúcs önmagába) két élnek számít, azaz az átlós elem értéke a ii ebben az esetben a körülötte lévő hurkok számának kétszerese én th csúcs.
Szomszédsági mátrix egyszerű grafikon(nem tartalmaz hurkot vagy több élt) egy bináris mátrix, és nullákat tartalmaz a főátlón.
32. kérdés Funkció. Beosztás módszerei. A funkciók osztályozása. Alapvető elemi függvényekés a menetrendjüket. A függvények összetétele. Elemi funkciók.
A függvény egy matematikai fogalom, amely a halmazok elemei közötti kapcsolatot tükrözi. Azt mondhatjuk, hogy a függvény egy „törvény”, amely szerint egy halmaz minden eleme (úgynevezett definíciós tartomány ) egy másik halmaz valamely elemével (úgynevezett értéktartomány ).
A függvény matematikai fogalma azt az intuitív elképzelést fejezi ki, hogy egy mennyiség hogyan határozza meg teljesen egy másik mennyiség értékét. Tehát a változó értéke x egyedileg határozza meg egy kifejezés jelentését x 2, és a hónap értéke egyértelműen meghatározza az azt követő hónap értékét, továbbá bármely személy összehasonlítható egy másik személlyel - az apjával. Hasonlóképpen, néhány előre kidolgozott algoritmus különböző bemeneti adatok alapján állít elő bizonyos kimeneti adatokat.
Funkció megadásának módszerei
Analitikai módszer
Függvény matematikai objektum reprezentálja bináris reláció, bizonyos feltételeknek eleget tesz. Egy függvény közvetlenül megadható rendezett párok halmazaként, például: van egy függvény. Ez a módszer azonban teljesen alkalmatlan a végtelen halmazokon lévő függvényekre (amelyek a szokásos valós függvények: hatvány, lineáris, exponenciális, logaritmikus stb.).
Függvény megadásához használja a következő kifejezést: . ahol, x egy olyan változó, amely a függvény definíciós tartományán fut át, és y- értéktartomány. Ez a bejegyzés funkcionális kapcsolat meglétét jelzi a halmazok elemei között. xÉs yátfuthat bármilyen természetű tárgyhalmazon. Ezek lehetnek számok, vektorok, mátrixok, almák, a szivárvány színei. Magyarázzuk meg egy példával:
Legyen egy készlet alma, repülő, körte, székés sok ember, mozdony, tér. Határozzuk meg az f függvényt a következőképpen: (alma, személy), (repülőgép, mozdony), (körte, négyzet), (szék, személy). Ha bevezetünk egy x változót, amely a halmazon, és egy y változót, amely a halmazon fut, akkor a megadott függvény analitikusan a következőképpen definiálható: .
A numerikus függvények hasonlóképpen adhatók meg. Például: ahol x fut át a halmazon valós számok definiál valamilyen f függvényt. Fontos megérteni, hogy maga a kifejezés nem függvény. A függvény mint objektum (rendezett párok) halmaza. És ez a kifejezés mint objektum két változó egyenlősége. Meghatároz egy függvényt, de nem az.
A matematika számos ágában azonban lehetséges f(x)-el jelölni magát a függvényt és az azt meghatározó analitikus kifejezést is. Ez a szintaktikai konvenció rendkívül kényelmes és indokolt.
Grafikus módszer
Numerikus függvények grafikon segítségével is beállítható. Legyen n változó valós függvénye.
Tekintsünk valamilyen (n+1)-dimenziós lineáris teret a valós számok mezeje felett (mivel a függvény valós). Válasszunk bármilyen bázist () ebben a térben. A függvény minden pontjához egy vektor tartozik: . Tehát sok vektorunk lesz lineáris tér, amely a megadott szabály szerint ennek a függvénynek a pontjainak felel meg. A megfelelő affin tér pontjai egy bizonyos felületet alkotnak.
Ha az euklideszi szabad teret vesszük geometriai vektorok(irányított szegmensek), és az f függvény argumentumainak száma nem haladja meg a 2-t, a megadott ponthalmaz vizuálisan ábrázolható rajz (grafikon) formájában. Ha ezen felül az eredeti bázist ortonormálisnak vesszük, akkor megkapjuk egy függvény gráfjának „iskola” definícióját.
A 3 vagy több argumentumot tartalmazó függvények esetében ez az ábrázolás nem alkalmazható, mivel a személy nem rendelkezik geometriai intuícióval a többdimenziós terekkel kapcsolatban.
Az ilyen függvényekhez azonban jöhet egy vizuális félgeometrikus ábrázolás (például egy pont negyedik koordinátájának minden értéke hozzárendelhető egy bizonyos színhez a grafikonon)
Arányos mennyiségek. Ha a változók yÉs x egyenesen arányos
y = k x ,
Ahol k- állandó érték ( arányossági tényező).
Menetrend egyenes arányosság– a koordináták origóján áthaladó és a tengellyel egyenest képező egyenes x szög, amelynek érintője egyenlő k: tan = k(8. ábra). Ezért az arányossági együtthatót is nevezik lejtő. A 8. ábra három grafikont mutat be k = 1/3, k= 1 és k = 3 .
Lineáris függvény. Ha a változók yÉs x 1. fokú egyenlettel kapcsolódnak össze:
A x + B y = C ,
ahol legalább az egyik szám A vagy B nem egyenlő nullával, akkor ennek a funkcionális függőségnek a grafikonja az egyenes. Ha C= 0, akkor átmegy az origón, egyébként nem. Diagramok lineáris függvények különféle kombinációkhoz A,B,Cábrán láthatók.
Fordított arányosság. Ha a változók yÉs x fordítottan arányosak, Azt funkcionális függőség közöttük a következő egyenlettel van kifejezve:
y = k / x,
Ahol k- állandó érték.
Inverz arányos gráf - hiperbola(10. ábra). Ennek a görbének két ága van. Hiperbolákat akkor kapunk, ha egy körkúp metszi a síkot (a kúpszeletekre lásd a „Sztereometria” fejezet „Kúp” című részét). A 10. ábrán látható módon a hiperbolapontok koordinátáinak szorzata állandó érték, példánkban 1. Általános esetben ez az érték egyenlő k, ami a hiperbola egyenletből következik: xy = k.
A hiperbola főbb jellemzői és tulajdonságai:
x 0, tartomány: y 0 ;
A függvény monoton (csökkenő) at x< 0 és at x> 0, de nem
a töréspont miatt összességében monoton x = 0);
Korlátlan függvény, nem folytonos egy ponton x= 0, páratlan, nem periodikus;
- A függvénynek nincsenek nullák.
Másodfokú függvény. Ez a funkció: y = fejsze 2 + bx + c, Ahol a, b, c- állandó, a b=c= 0 és y = fejsze 2. Ennek a függvénynek a grafikonja négyzet parabola - OY, ami az úgynevezett a parabola tengelye.Pont O a parabola csúcsa.
Másodfokú függvény. Ez a funkció: y = fejsze 2 + bx + c, Ahol a, b, c- állandó, a 0. A legegyszerűbb esetben: b=c= 0 és y = fejsze 2. Ennek a függvénynek a grafikonja négyzet parabola - koordináták origóján áthaladó görbe (11. ábra). Minden parabolának van szimmetriatengelye OY, ami az úgynevezett a parabola tengelye.Pont O parabola metszéspontját a tengelyével nevezzük a parabola csúcsa.
Egy függvény grafikonja y = fejsze 2 + bx + c- ugyanilyen típusú négyzetes parabola is y = fejsze 2, de a csúcsa nem az origóban, hanem egy koordinátákkal rendelkező pontban van:
A négyzetes parabola alakja és elhelyezkedése a koordinátarendszerben teljes mértékben két paramétertől függ: az együtthatótól a nál nél x 2 és diszkrimináns D:D=b 2 – 4ac. Ezek a tulajdonságok a gyökerek elemzéséből következnek másodfokú egyenlet(lásd a megfelelő részt az „Algebra” fejezetben). A négyzetes parabola összes lehetséges különböző esetét a 12. ábra mutatja.
A négyzetes parabola főbb jellemzői és tulajdonságai:
Funkciódefiníció hatóköre: < x+ (azaz. x R), és a terület
értékek: … (Kérjük, válaszoljon erre a kérdésre saját maga!);
A függvény egésze nem monoton, hanem a csúcstól jobbra vagy balra
monotonan viselkedik;
A függvény korlátlan, mindenhol folyamatos, akkor is b = c = 0,
és nem időszakos;
- nál nél D< 0 не имеет нулей.
Exponenciális függvény. Funkció y = egy x, Ahol a- pozitív állandó számot hívunk exponenciális függvény.Érv x elfogadja bármilyen érvényes érték; függvényeket értéknek tekintjük csak pozitív számok, mivel egyébként többértékű függvényünk van. Igen, a funkció y = 81x rendelkezik x= 1/4 négy különböző jelentések: y = 3, y = 3, y = 3 énÉs y = 3 én(Ellenőrizze kérem!). De csak a függvény értékének tekintjük y= 3. Diagramok exponenciális függvény Mert a= 2 és a= 1/2 a 17. ábrán láthatók. Áthaladnak a ponton (0, 1). Nál nél a= 1 van egy egyenes gráfunk, párhuzamos tengely x, azaz a függvény válik állandó érték, egyenlő 1. Amikor a> 1 az exponenciális függvény növekszik, és 0-nál< a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:
Funkciódefiníció hatóköre: < x+ (azaz. x R);
hatótávolság: y> 0 ;
A függvény monoton: együtt növekszik a> 1, és 0-ra csökken< a < 1;
- A függvénynek nincsenek nullák.
Logaritmikus függvény. Funkció y= log egy x, Ahol a– 1-gyel nem egyenlő állandó pozitív számot hívunk logaritmikus. Ez a függvény az exponenciális függvény inverze; grafikonját (18. ábra) úgy kaphatjuk meg, hogy az exponenciális függvény grafikonját az 1. koordinátaszög felezője körül elforgatjuk.
A logaritmikus függvény főbb jellemzői és tulajdonságai:
Funkciódefiníció hatóköre: x> 0 és értéktartomány: < y+
(azaz. y R);
Ez egy monoton függvény: növekszik, mint a> 1, és 0-ra csökken< a < 1;
A funkció korlátlan, mindenhol folyamatos, nem periodikus;
A függvénynek egy nulla van: x = 1.
Trigonometrikus függvények.Építéskor trigonometrikus függvények használjuk radián szögek mértéke Ezután a függvény y= bűn x grafikonnal ábrázoljuk (19. ábra). Ezt a görbét ún szinuszos.
Egy függvény grafikonja y=cos x a 20. ábrán látható; ez is egy szinuszhullám, amely a gráf mozgatása következtében jön létre y= bűn x a tengely mentén x balra 2
Ezekből a grafikonokból jól láthatóak ezeknek a függvényeknek a jellemzői és tulajdonságai:
Tartomány: < x+ értéktartomány: 1 y +1;
Ezek a függvények periodikusak: periódusuk 2;
Korlátozott funkciók (| y| , mindenhol folyamatos, nem monoton, hanem
miután ún a monotónia intervallumai, amelyen belül vannak
monoton függvényekként viselkednek (lásd a 19. és 20. ábra grafikonjait);
A függvényeknek végtelen számú nullája van (további részletekért lásd a
"Trigonometrikus egyenletek").
Függvénygrafikonok y= barna xÉs y= kiságy x a 21. és 22. ábrán láthatók.
A grafikonokból jól látható, hogy ezek a függvények: periodikusak (periódusuk ,
korlátlan, általában nem monoton, de vannak monoton intervallumok
(melyek?), nem folytonos (milyen diszkontinuitási pontjaik vannak ezeknek a függvényeknek?). Vidék
ezen függvények definíciói és értéktartománya:
Funkciók y= Arcsin x(23. ábra) és y= Arccos x(24. ábra) többértékű, korlátlan; definíciós tartományuk, illetve értéktartományuk: 1 x+1 és < y+ . Mivel ezek a függvények többértékűek, ne
az elemi matematikában figyelembe véve fő értékeik inverz trigonometrikus függvények: y= arcsin xÉs y= arccos x; grafikonjaikat a 23. és a 24. ábrán vastag vonalak jelzik.
Funkciók y= arcsin xÉs y= arccos x a következő jellemzőkkel és tulajdonságokkal rendelkezik:
Mindkét függvénynek ugyanaz a definíciós tartománya: 1 x +1 ;
értéktartományuk: /2 y/2 for y= arcsin xés 0 y Mert y= arccos x;
(y= arcsin x– funkció növelése; y= arccos x - csökkenő);
Minden függvénynek van egy nullája ( x= 0 a függvényre y= arcsin xÉs
x= 1 a függvényhez y= arccos x).
Funkciók y= Arctan x(25. ábra) és y= Arccot x(26. ábra) - többértékű, korlátlan funkciók; meghatározási területük: x+ . Fő jelentésük y= arctan xÉs y= arccot x inverz trigonometrikus függvényeknek tekintendők; grafikonjaik a 25. és a 26. ábrán félkövér ágakkal vannak kiemelve.
Funkciók y= arctan xÉs y= arccot x a következő jellemzőkkel és tulajdonságokkal rendelkezik:
Mindkét függvénynek ugyanaz a definíciós tartománya: x + ;
értéktartományuk: /2<y < /2 для y= arctan xés 0< y < для y= arccos x;
A funkciók korlátozottak, nem periodikusak, folyamatosak és monotonok
(y= arctan x– funkció növelése; y= arccot x - csökkenő);
Csak funkció y= arctan x egyetlen nulla van ( x= 0);
funkció y= arccot x nincsenek nullák.
A függvények összetétele
Ha két leképezést adunk meg, és ahol , akkor a képlettel adott „végpontok közötti leképezés” van értelme, amit függvények összetételének nevezünk és és jelöli.
1.30. ábra Végtől-végig
A predikátumlogikában két olyan műveletet veszünk figyelembe, amelyek egy egyhelyes állítmányt állítanak át erre a célra, speciális szavakat használnak, amelyek az állítmányok elé kerülnek. A logikában kvantoroknak nevezik őket.
Kétféle kvantor létezik:
1. Általános kvantor;
2. Létezési kvantor.
1. Általános kvantor.
Legyen az M halmazon definiált P(x) predikátum
A szimbólumot hívják univerzális kvantor(közösség). Ez az angol All - everything szó fordított első betűje. Azt olvassák, hogy „mindenki”, „mindenki”, „bármilyen”, „mindenki”. Változó x in állítmány P(x)-t hívjuk ingyenes ( különböző jelentéseket kaphat az M), -tól nyilatkozat x-nek hívják összefüggő univerzális kvantor.
1. példa: P(x) – „Az x prímszám páratlan”
Adjunk hozzá egy általános kvantort - "Minden x prímszám páratlan" - hamis állítás.
A kifejezés olyan állítás, amely akkor igaz, ha P(x) igaz az M halmaz minden x elemére, egyébként pedig hamis. Ez az állítás már nem függ x-től.
2. Létezési kvantor.
Legyen P(x) - állítmány az M halmazon definiált. Kifejezésen azt értjük nyilatkozat, ami igaz, ha van olyan elem, amelyre P(x) igaz, egyébként hamis. Ez az állítás már nem függ x-től. A megfelelő szóbeli kifejezés: "Van olyan x, amelyre P(x) igaz." A szimbólumot hívják a létezés kvantifikátora. Egy utasításban az x változót ez a kvantor köti (egy kvantor kapcsolódik hozzá).
(Olvassa el: „Van olyan x M-ben, hogy P az x-ben igaz”
A kifejezés olyan állítás, amely igaz, ha van olyan x€M elem (legalább egy), amelyre P(x) igaz, egyébként pedig hamis.
2. példa: P(x) „Az x szám 5 többszöröse”
Bármely természetes szám 5" többszöröse
Minden természetes szám 5"-es hamis állítások többszöröse
Minden természetes szám 5" többszöröse
Van 5-tel osztható természetes szám
Keress egy 5 igaz állítással osztható természetes számot!
Legalább egy természetes szám osztható 5-tel
A kvantorműveletek a többhelyes predikátumokra is vonatkoznak. Legyen például megadva az M halmazon egy P(x,y) kéthelyes predikátum. Egy kvantorművelet alkalmazása a P(x,y) predikátumra az x változóra vonatkozóan a P(x,y) kéthelyes predikátummal egy egyhelyű predikátumot (vagy egyhelyű predikátumot) állít összefüggésbe, attól függően, hogy az y változó, és nem függ az x változótól. Az y változón kvantorműveleteket alkalmazhat rájuk, amelyek a következő típusú utasításokhoz vezetnek:
A kvantorokkal való tagadások létrehozásához a következőkre lesz szüksége:
1) cserélje ki az általánosság kvantorát a létezés kvantorára, a létezés kvantorát pedig az általánosság kvantorára;
2) cserélje ki az állítmányt a tagadásával.
Így a következő képletek érvényesek:
A mondat tagadását így kell írni, a mondat tagadását pedig így kell írni. Nyilvánvaló, hogy a mondatnak ugyanaz a jelentése, és ezért ugyanaz az igazságértéke, mint a mondatnak, és a mondatnak ugyanaz a jelentése, mint a . Más szóval, egyenértékű a ; egyenértékű
3. PÉLDA. Szerkessze meg a „Néhány kétjegyű szám osztható 12-vel” állítás tagadását.
Megoldás Cseréljük le a létezés kvantorát (ezt a „néhány” szó fejezi ki) az általánosság „minden” kvantorával, és konstruáljuk meg a mondat tagadását a „néhány” szó mögé, a „nem” részecske elé helyezve. az igéből. Azt az állítást kapjuk, hogy „Nem minden kétjegyű szám osztható 12-vel.”
4. PÉLDA. Fogalmazd meg a „Minden osztályban legalább egy tanuló megbukott a teszten” állítás tagadását.
Megoldás: Ez az állítás tartalmaz egy általános kvantort, amelyet az „mindegyik” szó fejez ki, és egy létezési kvantort, amelyet a „legalább egy” szavak fejeznek ki. Az állítások kvantorokkal történő tagadásának konstruálására vonatkozó szabály szerint az általánosság kvantorát a létezés kvantorával, a létezés kvantorát pedig az általánosság kvantorával kell helyettesíteni, és el kell távolítani az igéből a „nem” partikulát. A következőt kapjuk: „Van egy osztály, amelyben minden diák sikeresen teljesítette a vizsgát.”
Az expresszív formák (predikátumok) tanulmányozása során az állítások megszerzésének egyik módját jelölték meg: a P(x) változó valamely értékének helyettesítését egy bizonyos A halmazból.
P(x): „x egy prímszám.” Behelyettesítve x = 7-et, megkapjuk az állítást
"7 egy prímszám." Még két logikai művelettel ismerkedünk meg: egy általános kvantor és egy egzisztencia kvantor csatolásával, amelyek segítségével expresszív formákból állíthatunk elő állításokat.
Helyettesítsük a „bármely” szót a P(x) kifejező alak előtt: „bármely x prímszám”. Hamis nyilatkozatot kaptunk. Helyettesítsük a „néhány” szót P(x) elé: „néhány x szám prímszám”. Igaz állítást kaptunk.
A matematikában az „bármilyen”, „néhány” szavakat és szinonimákat kvantoroknak nevezik, amelyeket rendre általános kvantornak ("), illetve létezési kvantornak ($) neveznek. Az általános kvantort a verbális megfogalmazásokban a következő szavak helyettesítik: tetszőleges , all, every, every, stb.. A létezés számszerűsítőjét a verbális megfogalmazásban a szavak helyettesítik: van legalább egy, van néhány stb.
Legyen P(x) kifejező alak az M-en. Jelölés
("хОМ) Р(х)
azt jelenti: bármely x elemre (az M halmazból) P(x) teljesül, ami már állítás. Annak bizonyításához, hogy az ("x)P(x) állítás igaz, végig kell menned M-ből az összes a, b, c stb. elemen, és meg kell győződni arról, hogy P(a), P(b), P( c) ,... igazak, és ha lehetetlen felsorolni M elemeit, akkor érveléssel kell igazolniuk, hogy bármely M-ből a P(a) állítás igaz, hogy az ("x)P( x) hamis, akkor elegendő csak egy olyan AOM elemet találni, amelyre P(a) hamis.
PÉLDA. Kifejező forma adott
B(x): „egy prímszám”.
B(1): 2 2 + 1 = 5 - prímszám;
B(2): = 17 - prímszám;
B(3): = 257 - prímszám;
B(4): = 65537 egy prímszám.
Mondhatjuk, hogy ("x)B(x)? Ezt bizonyítani kell. Leonard Euler bebizonyította, hogy B(5) hamis, azaz + 1 = 2 32 + 1 osztható 641-gyel, és ezért (" x) B(x) – hamis.
PÉLDA. Tekintsük az ("x)C(x) állítást, ahol van N a C(x): „x 3 + 5x osztva 6-tal.”
Nyilvánvaló, hogy C(1), C(2), C(3), C(4) igaz. De ha még millió x értékét is ellenőrizzük, mindig fennáll annak a veszélye, hogy x milliomod első értékénél a C(x) állítás hamisnak bizonyul.
Ezt például így bizonyíthatod:
x 3 + 5x = x 3 - x + 6x = x (x 2 - 1) + 6x = (x - 1) x (x + 1) + 6x
Az (x - 1)x(x + 1) kifejezés osztható 3-mal, mivel három egymást követő természetes szám közül legalább az egyik osztható 3-mal; ez a kifejezés is osztható 2-vel, mivel három egymást követő számból egy vagy két szám páros. A második tag 6x osztható 6-tal, ezért a teljes összeg osztható 6-tal, azaz. ("x)C(x) - igaz.
Legyen C(x) valamilyen kifejező alak. Rekord
azt jelenti: van egy x elem az M halmazból, amelyre C(x) teljesül. ($x)C(x) már egy utasítás. Ha az M halmazban találunk olyan a elemet, amelyre C(a) igaz, akkor a($x)C(x) állítás igaz. Ha nincs egyetlen a elem sem M-ben, amelyre C(a) igaz, akkor a ($x)C(x) állítás hamis.
PÉLDA. Fellépő N a C(x):" ". C(1) – hamis, C(2) – hamis, C(5) – igaz. Ezért ($x)C(x) igaz állítás.
PÉLDA. Fellépő N a K(x): „x 2 + 2x + 3 osztva 7-tel”. K(1) = 6, 6 nem osztható 7-tel; K(2) = 11, 11 nem osztható 7-tel stb.
Hipotézis: ($x)K(x) - hamis.
Bizonyítsuk be. A maradékkal való osztástétel szerint bármely természetes szám n = 7q + r ábrázolható, ahol r< 7.
n 2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2 (7q + r) + 3 = 7 (7q 2 + 2qr + 2q) + r 2 + 2r + 3.
Tehát az n 2 + 2n + 3 szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha r 2 + 2r + 3 osztható 7-tel. A maradék r О ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ). A nyers erő módszerével megbizonyosodunk arról, hogy r 2 + 2r + 3 nem osztható 7-tel. Tehát ($x)K(x) hamis.
Hogyan konstruáljuk meg egy állítás tagadását kvantorral?
Ahhoz, hogy egy állítás kvantorral való tagadását meg lehessen alkotni, az általános kvantort (") az egzisztenciális kvantorral ($) kell helyettesíteni, és fordítva, az egzisztenciális kvantort az általános kvantorral, a kvantor után következő mondatot pedig tagadása, i.e.
[("x)P(x) Û ($x) P(x);
[($x)P(x) Û ("x) P(x).
Legyen például két állítás:
V: „minden prímszám páratlan”;
K: "Minden prímszám páros."
B lesz A tagadása? Nem, mert egyik állítás sem igaz. Ebben az esetben
V: „nem minden prímszám páratlan, pl. van páros prímszám” igaz állítás.
A jövőben úgy tekintjük, hogy egy mondat tagadása akkor épül fel, ha a tagadását nem egyszerűen leírjuk, hanem a kapott mondatot olyan formává alakítjuk, ahol a tagadójelek az egyszerűbb kifejezések előtt jelennek meg. Például egy A Ù B formájú mondat tagadása nem (A Ù B), hanem megfelelője: A Ú B.
Legyen A(x,y) egy kifejező alak két változóval.
Ekkor az ("x)A(x,y), ($x)A(x,y), ("x)A(x,y), ($x)A(x,y) szintén kifejező formák, de egy változó. Ebben az esetben a kvantorról azt mondják, hogy egy változót kapcsol össze. Ahhoz, hogy az A(x,y) kifejező alakból állítást kapjunk, mindkét változót össze kell kapcsolni. Például az ("x)($y)A(x,y) egy utasítás.
A P(x,y) kifejezőalak esetében: „ x< y”, заданной на Z, vegye figyelembe az összes olyan esetet, amikor egy állítást kvantorok hozzáadásával (függő) kapunk:
1) ("x)("y)P(x,y) Û l - "Minden x-re és minden y-re x< y”;
2) ("y)("x)(x< y) Û л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;
3) ($x)($y) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;
4) ($y)($x) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;
5) ("x) ($y) (x< y) Û и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;
6) ($y)("x) (x< y) Û л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;
7) ("y)($x) (x< y) Û и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;
8) ($x)("y) (x< y) Û л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.
` Ügyeljen az (1) és (2), (3) és (4) állításokra. Ezen állítások szerkezete csak az azonos nevű kvantorok sorrendjében tér el, de az állítások jelentése és igazságértékei nem változnak.
Az (5) és (6), (7) és (8) állítások az ellentétes kvantorok megjelenési sorrendjében térnek el, ami az állítás jelentésének, esetleg igazságértékének megváltozásához vezet. A (7) nyilatkozat a jelenlétet erősíti meg Z a legkisebb szám, ami hamis. (8) azt állítja, hogy nincs olyan, hogy igaz.
Elméleti kérdések:
1. Egy vagy több változóból származó predikátum fogalma.
2. Példák egy- és kéthelyes állítmányokra. 3. Az állítmány igazságtartománya.
4. Az általánosság és a létezés kvantifikátorai. Szabad és kötött változók. Műveletek predikátumokkal. Mi az igazság területe; ; ; ? Adjon geometriai értelmezéseket!
5. Predikátum logikai formulák átalakítása. Azonosan igaz és azonosan hamis predikátum meghatározása, kapcsolat az igazság tartományával. Alapvető egyenértékűségek.
Feladatok
5.1. Adja meg a változók több értékét, amelyekre a következő predikátumok igazak vagy hamisak:
1. x 2, x О N; 9. = - x, x О R;
2. x< 1 , x Î N ; 10. > 0 ,
3. x > 6® x³ 3, xÎZ; 11. sin x = - , xО R;
4. x + 3x +6 = 0, x О R; 12. cos x = , x ОR;
5 = 0, xÎR; 13. x ³ y , x, y О R;
6. | x - 5 |< 2, 14. x + y < 3, x,yÎ N;
7. | 2x + 3 | ³ 2x + 3, x О R; 15. x (y-1) = 0, x,yÎR;
8. = x, x О R; 16. x + y =4, x, y ОR.
5.2. Keresse meg a predikátumok igazságtartományát az 5.1. gyakorlatban! Rajzolja fel a 13 - 16 eseteket a koordinátasíkra.
5.3.
1 = 0; 7. | 3x - 2 | > 8;
2. = ; 8. | 5x - 3 |< 7;
3. - > ; 9. 2 - | x | = 1,7;
4. 
; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1;
5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;
6. > 0; 12. | 2x + 4 | ³ 2x + 4.
5.4. Keresse meg a predikátumok igazságtartományát:
1. ( < x + 1,5) Ù (2x - 8 >3 - 0,5 x);
2. ( - 4 < - 1) Ù ( x + 2 (2x- 1) < 3(x +1);
3.( - +2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x< );
4.( - + x< 2x - 4)Ù( + 3 (x - 1)< );
5.((x+3) (x - 1)< 0) Ù (x + 4x + 6 >x(x-5);
6. ((x - 6x + 9) (2x - 10)< 0) Ù (6 + x (7 - x) < x +2x(5-x);
7.(1 + £ ) Ú (- 1< 5x - 5)
8.( - > 2) Ú (- 3x - 1 > 2) ;
9.( + 6x > + 4) Ú ( - > - );
Hasonló cikkek
