Derivált összetett funkció. Teljes származék

Legyen z=ƒ(x;y) két x és y változó függvénye, amelyek mindegyike egy független t változó függvénye: x = x(t), y = y(t). Ebben az esetben a z = f(x(t);y(t)) függvény egy t független változó komplex függvénye; az x és y változók köztes változók.

Ha z = ƒ(x;y) az M(x;y) є D pontban differenciálható függvény és x = x(t) és y = y(t) a t független változó differenciálható függvényei, akkor a derivált a z(t ) = f(x(t);y(t)) komplex függvényből a képlet segítségével számítjuk ki

Adjunk a t független változónak egy Δt növekményt. Ekkor az x = = x(t) és y = y(t) függvények Δх és Δу növekményt kapnak. Ezek viszont a z függvény Az értékét növelik.

Mivel a feltétel alapján a z - ƒ(x;y) függvény az M(x;y) pontban differenciálható, a teljes növekménye így ábrázolható.

ahol а→0, β→0 Δх→0, Δу→0 (lásd a 44.3. bekezdést). Osszuk el a Δz kifejezést Δt-vel, és menjünk a Δt→0 határértékre. Ekkor Δх→0 és Δу→0 az x = x(t) és y = y(t) függvények folytonossága miatt (a tétel feltételei szerint differenciálhatóak). Kapunk:

Különleges eset: z=ƒ(x;y), ahol y=y(x), azaz z=ƒ(x;y(x)) egy független x változó komplex függvénye. Ez az eset redukálódik az előzőre, és a t változó szerepét x játssza. A (44.8) képlet szerint:

A (44.9) képletet teljes derivált képletnek nevezzük.

Általános eset: z=ƒ(x;y), ahol x=x(u;v), y=y(u;v). Ekkor z= f(x(u;v);y(u;v)) az u és v független változók komplex függvénye. Parciális származékait a (44.8) képlet segítségével a következőképpen találhatjuk meg. A v rögzítése után a megfelelő parciális deriváltra cseréljük

Egy implicit módon megadott függvény származéka.
Derivált paraméteresen adott funkciót

Ebben a cikkben két jellemzőbb feladatot fogunk megvizsgálni, amelyek gyakran megtalálhatók a következő tesztekben felsőbb matematika. Az anyag sikeres elsajátításához legalább középszintű származékokat kell tudnia találni. A származékok megtalálását gyakorlatilag a nulláról tanulhatod meg két alapleckében és Komplex függvény származéka. Ha a megkülönböztető készséged rendben van, akkor menjünk.

Egy implicit módon megadott függvény származéka

Vagy röviden egy implicit függvény deriváltja. Mi történt implicit függvény? Először emlékezzünk egy változó függvényének definíciójára:

Egy változó függvénye egy olyan szabály, amely szerint a független változó minden értéke a függvény egy és csak egy értékének felel meg.

A változót ún független változó vagy érv.
A változót ún függő változó vagy funkció .

Eddig a -ban definiált függvényeket néztük meg kifejezett forma. Mit jelent? Konkrét példák segítségével készítsünk eligazítást.

Vegye figyelembe a funkciót

Azt látjuk, hogy a bal oldalon van egy magányos „játékos”, a jobb oldalon pedig - csak "X". Vagyis a funkció kifejezetten független változón keresztül fejezzük ki.

Nézzünk egy másik függvényt:

Itt keverednek a változók. Ráadásul semmilyen módon lehetetlen az „Y”-t csak az „X”-en keresztül fejezze ki. Mik ezek a módszerek? Kifejezések áthelyezése részről részre előjelváltással, zárójelből való kihelyezés, faktorok bedobása az arányszabály szerint stb. Írja át az egyenlőséget, és próbálja meg kifejezetten kifejezni az „y”-t: . Órákig csavarhatod az egyenletet, de nem fog sikerülni.

Hadd mutassam be: – példa implicit függvény.

A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy az implicit függvény létezik(bár nem mindig), van grafikonja (akárcsak egy „normál” függvény). Az implicit függvény pontosan ugyanaz létezik első származék, második származék stb. Ahogy mondani szokták, a szexuális kisebbségek minden jogát tiszteletben tartják.

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan találjuk meg egy implicit módon definiált függvény deriváltját. Nem olyan nehéz! Minden differenciálási szabály, derivált táblázat elemi függvényekérvényben maradnak. A különbség egy különös pillanatban van, amelyet most megnézünk.

Igen, és elmondom a jó hírt - az alábbiakban tárgyalt feladatokat egy meglehetősen szigorú és világos algoritmus szerint hajtják végre, három sáv előtt kő nélkül.

1. példa

1) Az első szakaszban mindkét részhez vonásokat rögzítünk:

2) A derivált linearitási szabályait használjuk (a lecke első két szabálya). Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra):

3) Közvetlen megkülönböztetés.
A megkülönböztetés módja teljesen világos. Mi a teendő ott, ahol „játékok” vannak az ütések alatt?

- csak a szégyen erejéig, egy függvény deriváltja egyenlő a deriváltjával: .

Hogyan lehet megkülönböztetni
Itt van összetett funkció. Miért? Úgy tűnik, hogy a szinusz alatt csak egy „Y” betű található. De tény, hogy csak egy „y” betű van - ÖNMAGA FUNKCIÓ(lásd a definíciót a lecke elején). Így a szinusz külső függvény és belső függvény. A szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére használjuk :

A terméket a szokásos szabály szerint megkülönböztetjük :

Felhívjuk figyelmét, hogy – szintén összetett funkció, minden „játék harangokkal és síppal” összetett funkció:

Magának a megoldásnak valahogy így kell kinéznie:

Ha vannak zárójelek, bontsa ki őket:

4) A bal oldalon összegyűjtjük azokat a kifejezéseket, amelyek „Y”-t tartalmaznak prímszámmal. Helyezzen minden mást jobb oldalra:

5) A bal oldalon zárójelből kivesszük a származékot:

6) És az arányszabály szerint ezeket a zárójeleket a jobb oldal nevezőjébe dobjuk:

A származékot megtalálták. Kész.

Érdekes megjegyezni, hogy bármely függvény implicit módon átírható. Például a függvény így át lehet írni: . És különböztesse meg az imént tárgyalt algoritmus segítségével. Valójában az „implicit funkció” és az „implicit funkció” kifejezések egy szemantikai árnyalatban különböznek egymástól. Az „implicit módon meghatározott funkció” kifejezés általánosabb és helyesebb, – ez a függvény implicit módon meg van adva, de itt kifejezheti a „játékot” és explicit módon bemutathatja a függvényt. Az „implicit funkció” szavak gyakrabban jelentenek „klasszikus” implicit funkciót, amikor a „játék” nem fejezhető ki.

Azt is meg kell jegyezni, hogy az „implicit egyenlet” implicit módon kettőt vagy párost is megadhat nagy mennyiség függvények, így például a kör egyenlete implicit módon megadja a félköröket meghatározó , , függvényeket, de a cikk keretein belül nem teszünk különösebb különbséget a kifejezések és az árnyalatok között, ez csak általános fejlesztési információ volt. .

Második megoldás

Figyelem! A második módszerrel csak akkor ismerkedhet meg, ha tudja, hogyan kell magabiztosan megtalálni részleges származékok. Kezdők tanulni matematikai elemzésés teáskannákat kérek ne olvasd el és hagyd ki ezt a pontot, különben teljes káosz lesz a fejed.

Keressük meg az implicit függvény deriváltját a második módszerrel.

Az összes kifejezést áthelyezzük a bal oldalra:

És vegyük figyelembe két változó függvényét:

Ekkor a deriváltunkat a képlet segítségével találhatjuk meg
Keressük a parciális deriváltokat:

És így:

A második megoldás lehetővé teszi az ellenőrzés elvégzését. De nem célszerű kiírniuk a feladat végső változatát, mivel a parciális deriváltokat később sajátítják el, és az „Egy változó függvényének deriváltja” témát tanuló hallgatónak még nem szabad ismernie a parciális deriváltokat.

Nézzünk még néhány példát.

2. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Adjon hozzá vonásokat mindkét részhez:

Linearitási szabályokat használunk:

Származékok keresése:

Az összes tartó kinyitása:

Az összes kifejezést áthelyezzük a bal oldalra, a többit a jobb oldalra:

Végső válasz:

3. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Komplett megoldásés egy mintaterv az óra végén.

Nem ritka, hogy a differenciálás után törtek keletkeznek. Ilyen esetekben meg kell szabadulnia a frakcióktól. Nézzünk még két példát.

4. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Mindkét részt vonjuk be, és használjuk a linearitási szabályt:

Differenciáljon az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával és a hányadosok differenciálásának szabálya :

A zárójelek bővítése:

Most meg kell szabadulnunk a törttől. Ezt később is meg lehet tenni, de ésszerűbb azonnal megtenni. A tört nevezője tartalmazza. Szorozni tovább . Részletesen így fog kinézni:

Néha a differenciálás után 2-3 frakció jelenik meg. Ha lenne például egy másik törtünk, akkor a műveletet meg kell ismételni - szorozni az egyes részek minden tagját tovább

A bal oldalon zárójelből kirakjuk:

Végső válasz:

5. példa

Keresse meg egy implicit módon megadott függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Az egyetlen dolog az, hogy mielőtt megszabadulna a törttől, először meg kell szabadulnia magának a tört háromemeletes szerkezetétől. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Paraméteresen meghatározott függvény deriváltja

Ne hangsúlyozzuk, ebben a bekezdésben is minden nagyon egyszerű. Felírhatod egy paraméteresen definiált függvény általános képletét, de hogy egyértelmű legyen, azonnal leírok egy konkrét példát. BAN BEN parametrikus forma a függvényt két egyenlet adja meg: . Az egyenleteket gyakran nem zárójelek közé írják, hanem egymás után: , .

A változót paraméternek nevezzükés értékeket vehet fel a „mínusz végtelen”-től a „plusz végtelenig”. Tekintsük például az értéket, és cseréljük be mindkét egyenletbe: . Vagy emberi kifejezéssel: "ha x egyenlő néggyel, akkor y egyenlő eggyel." Kijelölhet egy pontot a koordinátasíkon, és ez a pont megfelel a paraméter értékének. Hasonlóképpen, a „te” paraméter bármely értékéhez találhat pontot. Ami a „reguláris” függvényt illeti, a paraméteresen definiált függvény amerikai indiánjai számára is minden jogot tiszteletben tartanak: lehet gráfot építeni, származékokat találni stb. Egyébként, ha egy paraméteresen definiált függvény grafikonját kell ábrázolnia, használhatja a programomat.

A legegyszerűbb esetekben lehetőség van a függvény explicit ábrázolására. Adjuk meg a paramétert: – az első egyenletből és cseréljük be a második egyenletbe: . Az eredmény egy közönséges kockafüggvény.

Súlyosabb esetekben ez a trükk nem működik. De ez nem számít, mert van egy képlet a paraméteres függvény deriváltjának megtalálására:

Megtaláljuk a „játék a te változóhoz képest” származékát:

Az összes differenciálási szabály és a származéktáblázat természetesen a betűre érvényes, így a származékok megtalálásának folyamatában nincs újdonság. Csak gondolatban cserélje ki az összes „X”-et a táblázatban a „Te” betűre.

Megtaláljuk az „x” deriváltját a te változóhoz képest:

Most már csak az van hátra, hogy a talált származékokat behelyettesítsük a képletünkbe:

Kész. A derivált, akárcsak maga a függvény, szintén a paramétertől függ.

Ami a jelölést illeti, a képletbe való beírás helyett egyszerűen alsó index nélkül írhatnánk, mivel ez egy „szabályos” származék „X-hez képest”. De az irodalomban mindig van lehetőség, ezért nem térek el a szabványtól.

6. példa

A képletet használjuk

Ebben az esetben:

És így:

A paraméteres függvény deriváltjának megtalálásának sajátossága az a tény, hogy minden lépésnél előnyös, ha a lehető legnagyobb mértékben leegyszerűsítjük az eredményt. Tehát a vizsgált példában, amikor megtaláltam, kinyitottam a gyökér alatti zárójelet (bár lehet, hogy nem tettem volna meg). Jó esély van rá, hogy a képletbe való behelyettesítéskor sok minden jól lecsökken. Bár persze vannak példák ügyetlen válaszokkal.

7. példa

Keresse meg a paraméteresen megadott függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

A cikkben A deriváltokkal kapcsolatos legegyszerűbb tipikus problémák olyan példákat néztünk meg, amelyekben meg kellett találnunk egy függvény második deriváltját. Egy parametrikusan definiált függvényhez megtalálhatja a második deriváltot is, amelyet a következő képlettel találunk meg: . Teljesen nyilvánvaló, hogy a második származék megtalálásához először meg kell találni az első származékot.

8. példa

Keresse meg egy paraméteresen megadott függvény első és második deriváltját

Először keressük meg az első származékot.
A képletet használjuk

Ebben az esetben:

Ismeretes, hogy az y= f(x) függvény implicit módon megadható az x és y változókat összekötő egyenlettel:

F(x,y)=0.

Fogalmazzuk meg azokat a feltételeket, amelyek mellett az egyenlet F(x,y A )=0 az egyik változót a másik függvényeként határozza meg. A következő igaz

Tétel (implicit függvény megléte) Legyen az F(x,y)=0 megfelel a következő feltételeknek:

1) van egy pont P˳(x˳,y˳) , ahol F(x˳,y˳)=0

2) F'y(x˳,y˳)≠ 0

3) függvények F’x (x ,y)és F'y (x ,y) folyamatos a pont valamely szomszédságában

P 0 (x 0 ,y 0).

Ekkor van egy egyedi y =f (x) függvény, amely egy pontot tartalmazó intervallumon van definiálva, és kielégíti az F(x,y)=0 egyenletet bármely x-re ebből az intervallumból, így f(x) 0)= y0

Ha y-nak van implicit függvénye x, azaz az F ( x, nál nél) = 0, akkor, ha azt feltételezzük nál nél van egy függvény x, megkapjuk az identitást F (x, nál nél(x)) = 0, amely konstans függvénynek tekinthető. Ezt a konstans függvényt megkülönböztetve a következőket kapjuk:

Ha ebben az arányban, akkor megtalálhatja.

Az (1) relációt ismét differenciálva kapjuk:

A (2) összefüggés a második derivált meghatározására szolgáló egyenletnek tekinthető. A (2) relációt ismét differenciálva egyenletet kapunk a harmadik derivált meghatározására stb.

Irányszármazék. Irányvektor két és három változó esetére (irány koszinusz). Egy függvény növekedése adott irányban. Irányderivált definíciója, kifejezése parciális deriváltokon keresztül. Funkció gradiens. A gradiens és a szintvonal egymáshoz viszonyított helyzete egy adott pontban két változó függvényében.

Két z=f(x;y) változóból álló függvény I irányú z'I deriváltját a függvény ezirányú növekedésének és a ∆I elmozdulás nagyságához viszonyított arányának a határának nevezzük, mivel ez utóbbi hajlamos. 0-hoz: z'i=lim∆iz /∆I

A z’ I derivált a függvény i irányú változási sebességét jellemzi.

Ha a z=f(x;y) függvénynek folytonos parciális deriváltjai vannak az М(x;y) pontban, akkor ezen a ponton a М(x;y) pontból bármely irányú derivált van, amelyet kiszámolunk. a z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ képlettel, ahol cosα, cosβ a vektor iránytengelyei.

A z=f(x,y) függvény gradiense f’x, f’y koordinátájú vektor. Jelölése z=(f’x,f’y) vagy .

Az irány derivált egyenlő skaláris szorzat gradiens és az I irányt meghatározó egységvektor.

A z vektor minden pontban az áthaladó szintvonalra merőlegesen irányul ez a pont a funkció növelése felé.

Az f'x és f'y parciális deriváltjai a z=f(x,y) függvény deriváltai az Ox és Oy tengely két résziránya mentén.

Legyen z=f(x,y) egy differenciálható függvény valamilyen D, M(x,y) tartományban. Legyen I valamilyen irány (vektor, amelynek origója az M pontban van), és =(cosα;cosβ).

Ha egy adott I irányba az M(x,y) pontot az M1(x+∆x;y+∆y) pontba mozgatjuk, a z függvény ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)- növekményt kap. f(x;y) a z függvény adott I irányú növekményét nevezzük.

Ha MM1=∆I, akkor ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, tehát ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).

A Z= f(x; y) függvényt implicitnek nevezzük, ha az F(x,y,z)=0 egyenlettel adjuk meg feloldatlan Z-re. Keressük meg az implicit módon adott Z függvény parciális deriváltjait. Ehhez Z helyett az f(x;y) függvényt behelyettesítve az egyenletbe, az F(x,y, f(x,y))=0 azonosságot kapjuk. Egy függvény parciális deriváltjai, azonosan egyenlő nullával, szintén nullával egyenlők.

F(x,y, f(x,y)) =
=0 (állandónak tekinthető)

F(x,y, f(x,y)) =
=0 (x állandónak tekinthető)

Ahol
És

Példa: Keresse meg az egyenlet által megadott Z függvény parciális deriváltjait
.

Itt F(x,y,z)=
;
;
;
. A fenti képletek szerint a következőket kapjuk:

És

Irányszármazék

Legyen két Z= f(x; y) változóból álló függvény adott az M (x,y) pont egy bizonyos környezetében. Tekintsünk az egységvektor által meghatározott irányt
, Ahol
(Lásd a képen).

Az M ponton keresztül ebben az irányban áthaladó egyenesen felvesszük az M 1 pontot (
) úgy, hogy a hossz
szegmensMM 1 egyenlő
. Az f(M) függvény növekményét a reláció határozza meg, ahol
kapcsolatok kötik össze. Ratio Limit nál nél
függvény deriváltjának nevezzük
azon a ponton
felé és ki kell jelölni .

Ha a Z függvény differenciálható a pontban
, akkor ennek növekménye ezen a ponton, figyelembe véve a for relációkat
a következő formában írható fel.

elosztva mindkét részt

és áthaladva a határig at
képletet kapunk a Z= f(x; y) függvény deriváltjára a következő irányban:

Gradiens

Tekintsünk három változó függvényét
egy bizonyos ponton megkülönböztethető
.

Ennek a függvénynek a gradiense
az M pontban egy vektor, amelynek koordinátái rendre megegyeznek a parciális deriváltokkal
ezen a ponton. A színátmenet jelzéséhez használja a szimbólumot
.
=
.

.A gradiens a függvény leggyorsabb növekedési irányát jelzi egy adott pontban.

Mivel az egységvektor koordinátái vannak (
), akkor a három változós függvény esetére az irányszármazékot alakba írjuk, azaz. rendelkezik a vektorok skaláris szorzatának képletével És
. Írjuk át az utolsó képletet a következőképpen:

, Ahol - vektor közötti szög És
. Mert a
, akkor ebből az következik, hogy a függvény irányú deriváltja a max értéket veszi fel =0, azaz amikor a vektorok iránya És
egyeznek meg. Ahol
Valójában egy függvény gradiense jellemzi a függvény maximális növekedési sebességének irányát és nagyságát egy pontban.

Két változó függvényének szélsőértéke

Két változó függvényének max, min, szélsősége fogalmai hasonlóak az egy változó függvényének megfelelő fogalmaihoz. Legyen a Z= f(x; y) függvény definiálva valamilyen D tartományban stb. M
ehhez a területhez tartozik. M pont
a Z= f(x; y) függvény max pontjának nevezzük, ha van a pontnak ilyen δ-szomszédsága
, hogy a környék minden pontjára az egyenlőtlenség
. A min pont hasonló módon kerül meghatározásra, csak az egyenlőtlenség előjele változik
. A függvény értékét a max(min) pontban maximumnak (minimum) nevezzük. Egy függvény maximumát és minimumát szélsőségeknek nevezzük.

Az extrémum szükséges és elégséges feltételei

Tétel:(Az extrémumhoz szükséges feltételek). Ha az M pontban
a Z= f(x; y) differenciálható függvénynek van szélsőértéke, akkor parciális deriváltjai ebben a pontban nullával egyenlők:
,
.

Bizonyíték: Az x vagy y változók egyikének rögzítése után Z = f(x; y)-t egy változó függvényévé alakítjuk, amelynek szélsőértékéhez a fenti feltételeknek teljesülniük kell. Geometriai egyenlőségek
És
azt jelenti, hogy a Z= f(x; y) függvény szélső pontjában az f(x,y)=Z függvényt reprezentáló felület érintősíkja párhuzamos az OXY síkkal, mert az érintősík egyenlete Z = Z 0. Az a pont, ahol a Z = f (x; y) függvény elsőrendű parciális deriváltjai egyenlők nullával, azaz.
,
, a függvény stacionárius pontjának nevezzük. Egy függvénynek lehet szélsősége olyan pontokban, ahol a parciális deriváltok legalább egyike nem létezik. PéldáulZ=|-
| max az O(0,0) pontban van, de ezen a ponton nincs deriváltja.

Stacionárius pontokat és pontokat, amelyekben legalább egy parciális derivált nem létezik, nevezzük kritikus pontok. Kritikus pontokon a függvénynek lehet szélsősége, de lehet, hogy nem. A parciális deriváltak nullával való egyenlősége szükséges, de nem elégséges feltétele a szélsőség létezésének. Például, ha Z=xy, az O(0,0) pont kritikus. A Z=xy függvénynek azonban nincs extrémuma. (Mert az I. és III. negyedben Z>0, illetve a II. és IV. – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Tétel: (Elegendő feltétel az extrémákhoz). Hagyjuk egy álló ponton
és egy bizonyos környéken az f(x; y) függvénynek a 2. rendűt is beleértve folytonos parciális deriváltjai vannak. Számoljunk a ponton
értékeket
,
És
. Jelöljük

Ha
, extrémum a ponton
lehet, hogy nem. További kutatásra van szükség.

Kétségtelen, hogy elménkben egy függvény képe az egyenlőséggel és a megfelelő vonallal - a függvény grafikonjával - társul. Például: - funkcionális függőség, amelynek grafikonja egy másodfokú parabola, amelynek csúcsa az origóban van, és az ágak felfelé irányulnak; egy szinuszfüggvény, amely a hullámairól ismert.

Ezekben a példákban az egyenlőség bal oldala y, a jobb oldala pedig az x argumentumtól függő kifejezés. Más szóval, van egy egyenletünk megoldva y-re. A funkcionális függőség ábrázolását ilyen kifejezés formájában nevezzük a funkció kifejezett megadásával(vagy kifejezetten működnek). És ez a fajta funkció-hozzárendelés a legismertebb számunkra. A legtöbb példában és problémában explicit függvények jelennek meg. Egy-egy, kifejezetten meghatározott változó függvényeinek differenciálásáról már részletesen beszéltünk.

Egy függvény azonban megfelelést jelent x értékkészlete és y értékkészlete között, és ezt a megfelelést NEM feltétlenül állapítja meg semmilyen képlet vagy analitikai kifejezés. Ez azt jelenti, hogy a szokásos függvényen kívül számos módon megadhatunk egy függvényt.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk implicit függvények és módszerek származékaik megtalálására. Az implicit módon megadott függvényekre példa a vagy .

Ahogy észrevette, az implicit függvényt a reláció határozza meg. De nem minden ilyen reláció x és y között határoz meg függvényt. Például egyetlen x és y valós számpár sem teljesíti az egyenlőséget, ezért ez az összefüggés nem definiál implicit függvényt.

Implicit módon meghatározhatja az x és y mennyiségek közötti megfelelés törvényét, és az x argumentum minden értéke megfelelhet vagy egy (ebben az esetben egyértékű függvényünk van), vagy több értékének (ebben az esetben) a függvényt többértékűnek nevezzük). Például az x = 1 érték az implicit módon megadott függvény két valós értékének felel meg: y = 2 és y = -2.

Nem mindig lehet egy implicit függvényt explicit formába hozni, különben nem kellene magukat az implicit függvényeket megkülönböztetni. Például, - nem konvertálódik explicit formává, hanem - konvertálódik.

Most térjünk a lényegre.

Ahhoz, hogy egy implicit módon adott függvény deriváltját megtaláljuk, meg kell különböztetni az egyenlőség mindkét oldalát az x argumentumhoz képest, y-t x függvényének tekintve, majd kifejezni.

Az x-et és y(x)-et tartalmazó kifejezések differenciálása a differenciálási szabályok és a komplex függvény deriváltjának megtalálására vonatkozó szabály segítségével történik. Azonnal nézzünk meg néhány példát részletesen, hogy ne legyen további kérdés.

Példa.

A kifejezések megkülönböztetése x-ben, ha y-t x függvényének tekintjük.

Megoldás.

Mert y x függvénye, akkor ez egy komplex függvény. Hagyományosan ábrázolható f(g(x)), ahol f a kockafüggvény, és g(x) = y. Ekkor egy komplex függvény deriváltjának képlete szerint a következőt kapjuk: .

A második kifejezés differenciálásakor kivesszük a konstanst a derivált előjelből, és úgy járunk el, mint az előző esetben (itt f a szinuszfüggvény, g(x) = y):

A harmadik kifejezéshez a szorzat származékának képletét alkalmazzuk:

A szabályok következetes alkalmazásával megkülönböztetjük az utolsó kifejezést:

Most továbbléphet egy implicit módon meghatározott függvény deriváltjának megkeresésére, ehhez minden tudása megvan.

Példa.

Keresse meg egy implicit függvény deriváltját.

Megoldás.

Egy implicit módon megadott függvény deriváltja mindig x-et és y-t tartalmazó kifejezésként jelenik meg: . Az eredmény eléréséhez az egyenlőség mindkét oldalát megkülönböztetjük: