ÉN. A halmaz bizonyos objektumok vagy számok gyűjteménye, amelyek bizonyos általános tulajdonságok vagy törvények szerint vannak összeállítva (sok betű egy oldalon, sok megfelelő tört egy nevezővel 5 , sok csillag az égen stb.).

Egy készlet írásához használjon göndör kapcsos zárójelet: «{ "- a készlet megnyílik; "}" — sokan bezárnak. És magát a készletet nagy latin betűkkel hívják: A, B, C stb.

Példák.

1 . Íráskészlet A, amely a szó összes magánhangzójából áll "matematika".

Megoldás. A=(a, e, i). Látod: annak ellenére, hogy a szóban "matematika" három betű van "A"- többszörös ismétlés nem megengedett a felvételen és a levélben "A" csak egyszer kerül rögzítésre. Egy csomó A három elemből áll.

2. Írd le az összes megfelelő törtek halmazát nevezővel! 5 .

Megoldás. Ne feledjük: a megfelelő tört olyan közönséges tört, amelynek a számlálója kisebb, mint a nevezője. Jelöljük azzal BAN BEN a kívánt készletet. Akkor:

Egy csomó BAN BEN négy elemből áll.

II. A halmazok elemekből állnak, és lehetnek végesek vagy végtelenek. Az egyetlen elemet nem tartalmazó halmazt üres halmaznak nevezzük, és jelöljük Ø.

III. Egy csomó BAN BEN egy halmaz részhalmazának nevezzük A, ha a halmaz összes eleme BAN BEN a halmaz elemei A.

3. A megadott két halmaz közül melyik BAN BENÉs VAL VEL NAK NEK,

Ha BAN BEN={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Megoldás. A készlet összes eleme VAL VEL szintén a készlet elemei NAK NEK, ezért sok VAL VEL a halmaz egy részhalmaza NAK NEK.Írd le:

IV. Halmazok metszéspontja AÉs BAN BEN olyan halmaz, amelynek elemei a halmazhoz tartoznak Aés sok BAN BEN.

4. Mutasd meg két halmaz metszéspontját MÉs F Euler-körök segítségével.

Megoldás.

A halmaz fogalma az egyik matematikai alapfogalom. Ez egy meghatározatlan fogalom, és csak példákon keresztül írható le vagy magyarázható. Így beszélhetünk a latin ábécé betűkészletéről, egy adott könyvtár összes könyvének halmazáról, egy adott csoport tanulóinak halmazáról, egy adott vonal összes pontjának halmazáról. Egy halmaz meghatározásához egyszerűen sorolja fel az elemeket, vagy adja meg jellegzetes elemek tulajdonságai, pl. olyan tulajdonság, amellyel egy adott halmaz összes eleme és csak azok rendelkeznek.

Meghatározás 1.1. Azokat az elemeket (objektumokat), amelyek egy bizonyos halmazt alkotnak, annak nevezzük elemeket.

Szokásos a készletet latin nagybetűkkel, a készlet elemeit pedig kisbetűkkel jelölni. Mit x a halmaz eleme A, így van írva: x A(x tartozik A). Felvétel típusa x A(x A) azt jelenti, hogy x nem tartozik A, azaz nem a készlet eleme A.

A halmaz elemeit általában kapcsos zárójelben írják. Például ha A – a latin ábécé első három betűjéből álló halmaz, akkor a következőképpen írható: A={ABC} .

Egy halmaz tartalmazhat végtelen sok elemet (egy egyenes pontjai, természetes számok halmaza), véges sok elemet (egy osztályba járó iskolások halmaza), vagy egyáltalán nem tartalmazhat elemet (a halmaz tanulók száma egy üres osztályteremben).

Meghatározás 1.2. Egy elemet nem tartalmazó halmazt hívunk üres készlet, jelölése Ø.

Meghatározás 1.3. Egy csomó A hívott részhalmaz készletek B, ha a halmaz minden eleme A sokakhoz tartozik B. Ezt jelzik A B(A – részhalmaz B).

Az üres halmazt bármely halmaz részhalmazának tekintjük. Ha a készlet A nem része a halmaznak B, akkor írnak A B.

Meghatározás 1.4. Két készlet AÉs B hívott egyenlő, ha ezek egymás részhalmazai. Kijelöl A = B. Ez azt jelenti, hogy ha x A, Azt x Bés fordítva, azaz. ha és , akkor .

Meghatározás 1.5.Útkereszteződés készletek AÉs B hívjon egy készletet M, melynek elemei egyszerre mindkét halmaz elemei AÉs B. Kijelöl M=A B. Azok. x A B, Azt x AÉs x B.

Írd le A B={x | x AÉs x B). (Szakszervezet helyett És - jelek , &).

Meghatározás 1.6. Ha A B=Ø, akkor azt mondják, hogy a készletek AÉs B nem metszik egymást.

Hasonlóképpen meghatározhatja 3, 4 és tetszőleges számú halmaz metszetét.

Meghatározás 1.7.Egyesület készletek AÉs B hívjon egy készletet M, amelynek elemei ezen halmazok legalább egyikéhez tartoznak M=A B. Hogy. A B={x | x A vagy x B). (Szakszervezet helyett vagy - jel van elhelyezve).

A halmaz hasonlóképpen van meghatározva A 1 A 2 … A n . Olyan elemekből áll, amelyek mindegyike legalább egy halmazhoz tartozik A 1,A 2,…,A n(és talán több is egyszerre) .

Példa 1.8. 1) ha A=(1;2;3;4;5) és B=(1;3;5;7;9), akkor A B=(1;3;5) és A B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) ha A=(2;4) és B=(3;7), akkor A B=Ø és A B={2;3;4;7}.

3) ha A=(nyári hónapok) és B=(hónapok 30 nappal), akkor A B=(június) és A B=(április; június; július; augusztus; szeptember; november).

Meghatározás 1.9.Természetes az 1,2,3,4,... számokat hívják, tárgyak számlálására használják.

A természetes számok halmazát N, N=(1;2;3;4;…;n;…) jelöljük. Végtelen, a legkisebb eleme 1, és nincs legnagyobb eleme.

1.10. példa. A– a 40-es szám természetes osztóinak halmaza. Sorolja fel ennek a halmaznak az elemeit! Igaz, hogy az 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

A= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V,V,N,N,N,V)

1.11. példa. Sorolja fel a jellemző tulajdonságokkal meghatározott halmazok elemeit!

Itt éppen az kerül előtérbe, amit eddig alapvetően mellőztünk, nevezetesen az a kérdés, hogy az azonos számosságú halmazokban létező rendviszonyok hogyan különböztetik meg ezeket a halmazokat. Végül is, azok a legáltalánosabb formájú egy-egy leképezések, amelyeket eddig feltételeztünk, megsértették ezeket az összefüggéseket – emlékezzünk csak egy négyzet szegmensre való leképezésére! Külön szeretném hangsúlyozni a halmazok tanának e második szakaszának fontosságát; végül is ennek a tanításnak nem lehet célja a matematikában régóta használt különbségek új, általánosabb fogalmak bevezetésével történő megszüntetése; ellenkezőleg, ez a tanítás arra szolgálhat és kell is, hogy általános fogalmak segítségével felismerje ezeket a különbségeket a legmélyebb lényegükben.

Megszámlálható halmazok ordinális típusai.

Célunk most az, hogy bizonyos jól ismert példákon keresztül szemléltessük a halmaz elemeinek egy meghatározott sorrendben történő különböző lehetséges elrendezésének fogalmát. Ha megszámlálható halmazokkal kezdjük, akkor már három teljesen különböző példát ismerünk az ilyen halmazok elemeinek elrendezésére, amelyek annyira különböznek egymástól, hogy a sokféleségük egyenlősége, mint láttuk, egy különleges és semmi esetre sem magától értetődő. tétel; ezek a következő készletek:

1) a természetes számok halmaza;

2) az összes (negatív és pozitív) egész szám halmaza;

3) az összes racionális szám halmaza és az összes algebrai szám halmaza.

Az elemek elrendezésének mindhárom halmazban van egy közös tulajdonsága, ami miatt a halmazban lineáris sorrendnek nevezik. Ez a tulajdonság a következő: minden két elem közül az egyik mindig megelőzi a másikat, azaz algebrailag kifejezve mindig ismert, hogy melyik elem kisebb és melyik nagyobb, továbbá, ha a három elem közül a, b, c az a elem megelőzi a b elemet, és a b elem a c elemet, akkor a mindig megelőzi a c elemet (ha , akkor

Másrészt viszont a vizsgált példákban vannak olyan jellemző különbségek: az első halmazban van egy első elem (nulla), amely megelőzi az összes többit, de nincs utolsó elem, amely az összes többit követné; a második halmaznak nincs sem az első, sem az utolsó eleme. De mindkét halmazban közös, hogy minden elemet közvetlenül követ egy bizonyos legközelebbi elem, és minden elemet közvetlenül megelőz egy bizonyos másik elem.

Ezzel szemben a harmadik halmaznak mindig van, amint fentebb láttuk, minden két elem között végtelenül sok más elem van; A halmaz ilyen tulajdonságát a „mindenütt sűrű halmaz” kifejezéssel jelöltük, így különösen az a és b között elhelyezkedő racionális vagy algebrai számok között, ezeken a számokon kívül nincs sem a legkisebb, sem a legnagyobb. szám. Így e három halmazban az elemek elrendezési módjai, azaz sorrendi típusai különböznek egymástól, bár maguk a halmazok ugyanazokkal a kardinalitásokkal rendelkeznek. Ehhez kapcsolható - és ezt tulajdonképpen a halmazelmélet képviselői teszik - a megszámlálható halmazok összes általánosan lehetséges ordinális típusának kérdése.

A kontinuum folytonossága. Térjünk most át a kontinuum hatványkészletek figyelembevételére; itt egy halmazt ismerünk, amelyben lineáris sorrend van, mégpedig az összes valós szám kontinuumát. De ezzel együtt kétdimenziós és többdimenziós esetekben is vannak példáink olyan halmazokra, amelyek elemeinek elrendezése eltér attól, amit „lineárisnak” neveztünk. Egy halmaz esetén tehát két pont egymáshoz viszonyított helyzetének meghatározásához nem egy, hanem két egyenlőtlenségi típusú relációra van szükség.

Itt a legfontosabb az egydimenziós kontinuum folytonossági fogalmának elemzése; az a felfedezés, hogy ez a fogalom valójában csak a halmazban rejlő rend egyszerű tulajdonságain alapul, a halmazok tanának első figyelemre méltó érdeme a matematikai alapfogalmak tisztázásában, nevezetesen kiderül, hogy a kontinuum tő összes tulajdonsága. abból a tényből, hogy ez utóbbi egy lineáris rendezett halmaz, amely a következő két tulajdonsággal rendelkezik:

1. Ha a halmazt felosztjuk bármely két A, B részre, de úgy, hogy minden elem e rész bármelyikéhez tartozik, és hogy az A részben szereplő összes elem megelőzze a B rész összes elemét, akkor ebben az esetben vagy A-nak van az utolsó eleme, vagy B-nek az első eleme.

Felidézve Dedekind irracionális számok definícióját, ezt a tulajdonságot így fejezhetjük ki: halmazunkban minden „szakaszt” annak egyik eleme állít elő.

2. Egy halmaz bármely két eleme között végtelenül sok más elem található.

Ezzel a második tulajdonsággal nemcsak a kontinuum, hanem az összes racionális szám megszámlálható halmaza is rendelkezik; az első tulajdonság jelentős különbséget jelez e rendezett halmazok között. Bármely lineárisan rendezett halmazt, amely mindkét tulajdonsággal rendelkezik, folytonosnak nevezi a halmazelmélet abból az okból kifolyólag, hogy számára valóban be lehet bizonyítani minden olyan tételt, amely a folytonossága miatt fennáll egy kontinuumra.

Arra is szeretnék rámutatni, hogy ezek a folytonossági tulajdonságok némileg másként is megfogalmazhatók, mégpedig az úgynevezett „alap” Cantor-sorok alapján. A fősorozat egy adott halmaz olyan megszámlálható elemsora, hogy magában a halmazban vagy a halmaz valamely a elemét a fősorozat határelemének nevezzük, ha - az első esetben - a fősorozatban vannak mindig az adott halmazban lévő bármely elemnél nagyobb elemek a-ig, de egyáltalán nincsenek elemek, bblpih legalább egy, a határelem után elhelyezkedő elemet a második esetben hasonlóan határozzuk meg. Ha egy halmaznak megvan az a tulajdonsága, hogy az összetételében szereplő minden alapsorozat egy határelemnek felel meg, akkor a halmazt zártnak nevezzük; ha ellenkezőleg, a halmaz minden eleme valamely tőle elkülönített alapsorozat határeleme, akkor a halmazt sűrűnek nevezzük. A folytonossági képességgel rendelkező halmazok folytonossága lényegében e két tulajdonság kombinációjából áll.

Útközben szeretném emlékeztetni, hogy amikor a differenciál- és integrálszámításról beszéltünk, egy másik kontinuumról is beszéltünk - a kontinuumról.

Veronese, amely a közönséges kontinuumból ered, valójában végtelenül kis mennyiségek hozzáadásával. Bár így is kapunk egy lineárisan rendezett halmazt, ennek a kontinuumnak természetesen teljesen más elrendezése van, mint a szokásos kontinuumnak, itt már nem érvényes az a tétel, hogy minden alapsorozatnak van határeleme.

A halmaz alapvető fogalom a matematikában, ezért nem másokon keresztül határozzák meg.

A halmaz általában olyan objektumok gyűjteményét jelenti, amelyeket egy közös jellemző egyesít. Tehát beszélhetünk sok diákról egy csoportban, az orosz ábécé sok betűjéről stb. A mindennapi életben a „készlet” szó helyett a „készlet”, „gyűjtemény”, „csoport” stb. szavakat használják. A halmazokat általában a latin ábécé nagybetűivel jelölik: A, BAN BEN, VAL VEL, ..., Z.

A matematika numerikus halmazaihoz speciális jelöléseket alkalmaznak:

N– természetes számok halmaza;

N 0 – nem negatív egész számok halmaza;

Z– egész számok halmaza;

K– racionális számok halmaza;

R– valós számok halmaza.

Az objektumokat, amelyekből egy halmaz keletkezik, elemeinek nevezzük. Például a szeptember az év hónapjainak halmazának, az 5-ös szám a természetes számok halmazának eleme. A halmaz elemeit általában a latin ábécé kisbetűivel jelölik. Egy halmaz elemei halmazok lehetnek. Ez az intézet számos csoportjáról elmondható. Ennek a halmaznak az elemei csoportok, amelyek viszont tanulók halmazai.

A halmaz és eleme közötti kapcsolatot a „tartozik” szóval fejezzük ki. Az „Elem A a készlethez tartozik A" így van írva: A  A, és ez a bejegyzés másképp is olvasható: " A– a készlet eleme A", "Egy csomó A elemet tartalmaz A" Az „Elem A nem tartozik a készlethez A" így van írva: A  A(másképp: " A nem a készlet eleme A", "Egy csomó A nem tartalmaz elemet A»).

Ha a mindennapi beszédben a „készlet” szó nagyszámú objektumhoz kapcsolódik, akkor a matematikában erre nincs szükség. Egy halmaz tartalmazhat egy elemet, vagy nem tartalmazhat egyetlen elemet sem.

Az egy elemet nem tartalmazó halmazt üresnek nevezzük, és a  szimbólummal jelöljük. Csak egy üres készlet van. Az üres halmaz például a Napon élő emberek halmaza, az egyenlet természetes gyökereinek halmaza x+ 8 = 0.

A halmazok lehetnek végesek vagy végtelenek.

Egy halmazt végesnek nevezünk, ha van természetes szám P, így a halmaz összes eleme számozható 1-től P. egyébként a halmazt végtelennek nevezzük. Példa a véges halmazra a számjegyek halmaza, a végtelen halmazra a természetes számok halmaza.

2. § A halmazok meghatározásának módszerei

Egy halmaz akkor tekinthető adottnak, ha bármely tárgyról meg lehet mondani, hogy ebbe a halmazba tartozik-e vagy nem.

Egy halmaz úgy határozható meg, hogy minden elemét felsoroljuk. Rekord VAL VEL= (a, b, c, d) azt jelenti, hogy a halmaz VAL VEL a, b, c, d elemeket tartalmazza.

Minden elem csak egyszer jelenik meg a készletben. Például a „matematika” szóban sok különböző betű így lesz írva: (m, a, t, e, i, k).

Ez a módszer olyan véges halmazokra alkalmazható, amelyek kevés elemet tartalmaznak.

Néha ezzel a módszerrel megadhat egy végtelen halmazt. Például a természetes számok halmaza a következőképpen ábrázolható: N= (1, 2, 3, 4, ...). Ez a rögzítési mód csak akkor lehetséges, ha a halmaz felvett részéből egyértelműen kiderül, hogy mi van az ellipszis alatt.

A halmazok meghatározásának másik módja a következő: jelölje meg elemeinek jellemző tulajdonságát. A jellemző tulajdonság egy olyan tulajdonság, amellyel egy halmazhoz tartozó minden elem rendelkezik, és nincs olyan elem, amely nem tartozik hozzá.

Előfordul, hogy ugyanaz a halmaz definiálható elemeinek különböző jellemző tulajdonságainak megjelölésével. Például a 11-gyel osztható kétjegyű számok halmaza és az első száz természetes számok halmaza, két azonos számjeggyel írva, ugyanazokat az elemeket tartalmazza.

Ezzel a megadási módszerrel egy halmazt így írhatunk: először zárójelbe írjuk az elem megnevezését, majd húzunk egy függőleges vonalat, ami után írjuk fel, hogy ennek a halmaznak az elemei milyen tulajdonsággal rendelkeznek. Például sok A Az 5-nél kisebb természetes számokat a következőképpen írjuk fel: A = {x xN, x < 5}.

Tömegek. Műveletek a készleteken.
Készletek megjelenítése. A készlet ereje

Üdvözöllek benneteket a magasabb algebráról szóló első leckén, amely... az oldal ötödik évfordulójának előestéjén jelent meg, miután már több mint 150 matematikai cikket készítettem, és az anyagaimat elkezdték összeállítani egy befejezett kurzussá. Remélem azonban, hogy nem késtem el - elvégre sok diák csak az államvizsgák előadásaiba kezd =)

Az egyetemi vyshmat tanfolyam hagyományosan három pilléren nyugszik:

– matematikai elemzés (határait, származékai stb.)

– és végül tanórákkal nyit a 2015/16-os tanévi szezon Algebra bábuknak, A matematikai logika elemei, amelyen elemezzük a rész alapjait, valamint megismerkedünk a matematikai alapfogalmakkal és gyakori jelölésekkel. Azt kell mondanom, hogy más cikkekben nem használom túl a „sugarakat” , ez azonban csak egy stílus, és természetesen minden körülmények között fel kell ismerni őket =). Tájékoztatom az újonnan érkezett olvasókat, hogy óráim gyakorlatorientáltak, ennek szellemében mutatjuk be az alábbi anyagot. A teljesebb és tudományos információkért tekintse meg az oktatási szakirodalmat. Megy:

Egy csomó. Példák halmazokra

A halmaz nem csak a matematika, hanem az egész környező világ alapvető fogalma. Vegyél azonnal bármilyen tárgyat a kezedbe. Itt van egy készlet, amely egy elemből áll.

Tág értelemben, halmaz olyan objektumok (elemek) gyűjteménye, amelyek egyetlen egészként értelmezhetők(bizonyos jellemzők, kritériumok vagy körülmények szerint). Ráadásul ezek nem csak anyagi tárgyak, hanem betűk, számok, tételek, gondolatok, érzelmek stb.

A halmazokat általában nagybetűkkel jelöljük (opcionálisan alsó indexekkel: stb.), és elemei kapcsos zárójelben vannak írva, például:

– az orosz ábécé sok betűje;
– természetes számok halmaza;

Nos, ideje kicsit megismerni egymást:
– sok diák az 1. sorban

... örülök, hogy látom komoly és koncentrált arcodat =)

A készletek azok végső(véges számú elemből áll), és egy halmaz egy példa végtelen sokaság. Ezen kívül az ún üres készlet:

– halmaz, amelyben nincs egyetlen elem sem.

A példa jól ismert az Ön számára - a vizsgán a halmaz gyakran üres =)

Egy elem halmazbeli tagságát a szimbólum jelzi, például:

– a „be” betű az orosz ábécé sok betűjéhez tartozik;
- "béta" betű Nem az orosz ábécé sok betűjéhez tartozik;
– az 5-ös szám a természetes számok halmazába tartozik;
- de az 5,5-ös szám már nincs meg;
– Voldemar nem ül az első sorban (és ráadásul nem is tartozik a sokasághoz vagy =)).

Az absztrakt és nem túl algebrában a halmaz elemeit kis latin betűkkel jelöljük és ennek megfelelően a tulajdonjog tényét a következő stílusban formalizálják:

– az elem a halmazhoz tartozik.

A fenti halmazok írva vannak közvetlen átvitel elemeket, de nem ez az egyetlen módja. Kényelmes sok halmazt definiálni néhány használatával jel (s), ami velejárója minden elemét. Például:

– a száznál kisebb természetes számok halmaza.

Emlékezik: egy hosszú függőleges pálca a „melyik”, „ilyen az” igekötőt fejezi ki. Elég gyakran kettőspontot használnak helyette: - olvassuk formálisabban a bejegyzést: "a természetes számok halmazához tartozó elemek halmaza, oly módon, hogy » . Szép munka!

Ez a halmaz felírható közvetlen felsorolással is:

További példák:
– és ha elég sok diák van az 1. sorban, akkor sokkal kényelmesebb egy ilyen bejegyzés, mint közvetlenül felsorolni őket.

– a szegmenshez tartozó számok halmaza. Felhívjuk figyelmét, hogy ez többszöröst jelent érvényes számok (a róluk később), amelyeket már nem lehet vesszővel elválasztva felsorolni.

Megjegyzendő, hogy egy halmaz elemeinek nem kell „homogénnek” lenniük vagy logikailag összekapcsolódniuk. Vegyünk egy nagy táskát, és kezdjünk bele véletlenszerűen különféle tárgyakat rakni. Ebben nincs minta, de ennek ellenére sokféle témáról beszélünk. Képletesen szólva a készlet egy külön „csomag”, amelyben „a sors akaratából” egy bizonyos tárgygyűjtemény került.

Részhalmazok

Magából a névből szinte minden kiderül: egy halmaz az részhalmaz set, ha a halmaz minden eleme a halmazhoz tartozik. Más szóval, a készlet a készletben található:

Az ikont ikonnak nevezik befogadás.

Térjünk vissza a példához, amelyben ez az orosz ábécé betűkészlete. Jelöljük – a magánhangzóinak halmazával. Akkor:

Kiválaszthatja a mássalhangzó betűk egy részhalmazát is, és általában egy tetszőleges számú, véletlenszerűen (vagy nem véletlenszerűen) vett cirill betűből álló részhalmazt. Különösen minden cirill betű a halmaz részhalmaza.

Kényelmes, ha a részhalmazok közötti kapcsolatokat egy hagyományos geometriai diagram segítségével ábrázoljuk Euler-körök.

Legyen az 1. sorban tanulók halmaza, legyen a csoport hallgatóinak halmaza, és legyen az egyetemisták halmaza. Ekkor a befogadási reláció a következőképpen ábrázolható:

A másik egyetem hallgatóinak halmazát körként kell ábrázolni, amely nem metszi a külső kört; az ország sok diákja - egy kör, amely mindkét kört tartalmazza stb.

A zárványok tipikus példáját látjuk a numerikus halmazok figyelembevételekor. Ismételjük meg az iskolai tananyagot, amelyet fontos szem előtt tartani a felsőbb matematika tanulmányozása során:

Számkészletek

Tudniillik történelmileg először a természetes számok jelentek meg, amelyek anyagi tárgyak (emberek, csirkék, birkák, érmék stb.) megszámlálására szolgáltak. Ezzel a készlettel már találkoztunk a cikkben, csak az a baj, hogy most kissé módosítjuk a jelölését. A helyzet az, hogy a numerikus halmazokat általában félkövér, stilizált vagy vastag betűk jelölik. Inkább félkövér betűtípust használok:

Néha a nulla szerepel a természetes számok halmazában.

Ha ugyanazokat a számokat ellentétes előjellel és nullával adjuk a halmazhoz, akkor azt kapjuk egész számok halmaza:

Az újítók és a lusták ikonokkal írják le elemeit "plusz minusz":))

Teljesen világos, hogy a természetes számok halmaza az egész számok halmazának részhalmaza:
– mivel a halmaz minden eleme a halmazhoz tartozik. Így minden természetes szám nyugodtan nevezhető egész számnak.

A halmaz neve is „megmondó”: egész számok – ez azt jelenti, hogy nincs tört.

És mivel egész számokról van szó, azonnal emlékezzünk a 2, 3, 4, 5 és 10-gyel való oszthatóság fontos jeleire, amelyekre a gyakorlati számításoknál szinte minden nap szükség lesz:

Egy egész szám osztható 2-vel maradék nélkül, ha 0, 2, 4, 6 vagy 8-ra végződik (azaz bármilyen páros szám). Például számok:
400, -1502, -24, 66996, 818 – maradék nélkül osztható 2-vel.

És azonnal nézzük a „kapcsolódó” jelet: egy egész szám osztható 4-gyel, ha egy szám az utolsó két számjegyéből áll (a megjelenés sorrendjében) osztható 4-gyel.

400 – osztható 4-gyel (mivel a 00 (nulla) osztható 4-gyel);
-1502 – nem osztható 4-gyel (mivel a 02 (kettő) nem osztható 4-gyel);
-24 természetesen osztható 4-gyel;
66996 – osztható 4-gyel (mivel a 96 osztható 4-gyel);
818 – nem osztható 4-gyel (mivel a 18 nem osztható 4-gyel).

Végezze el saját maga ennek a ténynek az egyszerű alátámasztását.

A 3-mal való oszthatóság kicsit nehezebb: egy egész szám osztható 3-mal maradék nélkül, ha a benne foglalt számjegyek összege osztható 3-mal.

Ellenőrizzük, hogy a 27901 szám osztható-e 3-mal. Ehhez összegezze a számjegyeit:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – nem osztható 3-mal
Következtetés: 27901 nem osztható 3-mal.

Összegezzük a -825432 számjegyeit:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – osztható 3-mal
Következtetés: a -825432 szám osztható 3-mal

5-tel osztható egész szám, ha öttel vagy nullával végződik:
775, -2390 – osztható 5-tel

10-zel osztható egész szám ha nullára végződik:
798400 – osztható 10-zel (és nyilván 100-al). Nos, valószínűleg mindenki emlékszik arra, hogy a 10-zel való osztáshoz csak egy nullát kell eltávolítani: 79840

A 6-tal, 8-mal, 9-el, 11-gyel stb. való oszthatóság jelei is vannak, de gyakorlati hasznuk gyakorlatilag nincs =)

Meg kell jegyezni, hogy a felsorolt jelek (látszólag olyan egyszerűek) szigorúan bebizonyítottak számelmélet. Az algebrának ez a része általában elég érdekes, de a tételei... olyanok, mint egy modern kínai végrehajtás =) És ez Voldemarnak elég volt az utolsó asztalnál... de nem baj, nemsokára éltető fizikait csinálunk. gyakorlatok =)

A következő numerikus halmaz az racionális számok halmaza:
– azaz bármely racionális szám egész számmal ábrázolható törtként számlálóés természetes névadó.

Nyilvánvaló, hogy az egész számok halmaza az részhalmaz racionális számok halmaza:

Valójában bármely egész szám racionális törtként ábrázolható, például: stb. Így egy egész szám teljesen jogosan nevezhető racionális számnak.

A racionális szám jellegzetes „azonosító” vonása, hogy ha a számlálót elosztjuk a nevezővel, az eredmény vagy
– egész szám,

vagy
– végső decimális,

vagy
– végtelen időszakos decimális (lehet, hogy az újrajátszás nem indul azonnal).

Élvezze a megosztást, és próbálja meg a lehető legkevesebbet csinálni ezt a műveletet! A szervezeti cikkben Felsőfokú matematika bábuknakés más leckéken többször is megismételtem, megismételtem és ismételni is fogom ezt a mantrát:

A felsőbb matematikában arra törekszünk, hogy minden műveletet közönséges (helyes és helytelen) törtben hajtsunk végre

Egyetértünk abban, hogy a törtekkel sokkal kényelmesebb foglalkozni, mint a 0,375 tizedes számmal (a végtelen törtekről nem is beszélve).

Menjünk tovább. A racionális számokon kívül sok irracionális szám létezik, amelyek mindegyike végtelenként ábrázolható. NEM IDŐSZAKOS tizedes tört. Más szóval, az irracionális számok „végtelen farkában” nincs minta:
(„Leo Tolsztoj születési éve” kétszer)
stb.

Rengeteg információ van a híres „pi” és „e” állandókról, ezért nem fogok rajtuk kitérni.

A racionális és irracionális számok kombinációja alakul ki valós számok halmaza:

- ikon egyesületek készletek.

A halmaz geometriai értelmezése ismerős számodra - ez a számsor:

Minden valós szám egy bizonyos pontnak felel meg a számegyenesen, és fordítva - a számegyenes minden pontja szükségszerűen egy bizonyos valós számnak felel meg. Lényegében most megfogalmaztam folytonossági tulajdonság valós számok, ami bár nyilvánvalónak tűnik, a matematikai elemzés során szigorúan bebizonyosodik.

A számegyenest végtelen intervallum is jelöli, a jelölés vagy azzal egyenértékű jelölés pedig azt a tényt szimbolizálja, hogy a valós számok halmazához tartozik (vagy egyszerűen "x" egy valós szám).

A beágyazással minden átlátható: a racionális számok halmaza az részhalmaz valós számok halmazai:
így minden racionális szám nyugodtan nevezhető valós számnak.

Sok irracionális szám is részhalmaz valós számok:

Ugyanakkor a részhalmazok ill ne keresztezd- vagyis egyetlen irracionális szám sem ábrázolható racionális törtként.

Vannak más számrendszerek? Létezik! Ez pl. komplex számok, amivel a következő napokban vagy akár órákban javaslom a szó szoros értelmében való megismerkedést.

Addig is áttérünk a halmazokon végzett műveletek tanulmányozására, melynek szelleme már a jelen rész végén megnyilvánult:

Műveletek a készleteken. Venn diagramok

A Venn-diagramok (hasonlóan az Euler-körökhöz) a halmazokkal végzett műveletek sematikus ábrázolásai. Ismételten figyelmeztetem, hogy nem veszek figyelembe minden műveletet:

1) Útkereszteződés ÉSés a ikon jelzi

A halmazok metszéspontja egy halmaz, amelynek minden eleme hozzátartozik És sok, És sokaknak. Nagyjából a metszéspont a halmazok közös része:

Tehát például készleteknél:

Ha a halmazok nem tartalmaznak azonos elemeket, akkor a metszéspontjuk üres. Most találkoztunk ezzel a példával, amikor numerikus halmazokat vizsgáltunk:

A racionális és irracionális számok halmazai sematikusan ábrázolhatók két diszjunkt körrel.

A metszésművelet nagyobb számú halmazra is alkalmazható, különösen a Wikipédiában van egy jó példa három ábécé betűkészleteinek metszéspontjára.

2) Egy egyesület halmazokat egy logikai konnektívum jellemzi VAGYés a ikon jelzi

A halmazok uniója olyan halmaz, amelynek minden eleme a halmazhoz tartozik vagy sokaknak:

Írjuk fel a halmazok unióját:
– durván szólva, itt kell felsorolni a és halmazok összes elemét, és ugyanazokat az elemeket (ebben az esetben az egység a halmazok metszéspontjában van) egyszer meg kell adni.

De a halmazok természetesen nem metszik egymást, mint a racionális és irracionális számok esetében:

Ebben az esetben két, nem metsző árnyékolt kört rajzolhat.

Az egyesülési művelet nagyobb számú halmazra is alkalmazható, például ha , akkor:

Ebben az esetben a számokat nem kell növekvő sorrendbe rendezni. (Ezt pusztán esztétikai okokból tettem). Minden további nélkül az eredményt így írhatjuk fel:

3) Különbség szerint És nem tartozik a készletbe:

A különbség a következőképpen olvasható: „a nélkülözni”. És pontosan ugyanúgy érvelhet: vegye figyelembe a halmazokat. A különbség felírásához ki kell dobnia a készletből a készletben lévő összes elemet:

Példa számkészletekkel:
– itt minden természetes szám ki van zárva az egész számok halmazából, és maga a bejegyzés így hangzik: „egész számok halmaza természetes számok halmaza nélkül”.

Tükrözve: különbség halmazokat és halmaznak nevezzük, amelynek minden eleme a halmazhoz tartozik És nem tartozik a készletbe:

Ugyanazokhoz a készletekhez
– ami a készletben van, azt „kidobják” a készletből.

De ez a különbség üresnek bizonyul: . És valójában, ha az egész számokat kizárod a természetes számok halmazából, akkor tulajdonképpen semmi sem marad :)

Ezenkívül néha úgy tartják szimmetrikus különbség, amely egyesíti a két „félholdat”:
– más szóval ez „minden, kivéve a halmazok metszéspontját”.

4) Descartes (közvetlen) szorzat halmazok, és halmaznak nevezzük mindenki elrendelte pár, amelyben elem , és elem

Írjuk fel a halmazok derékszögű szorzatát:
– kényelmes a párok számbavétele a következő algoritmussal: „először a halmaz minden elemét egymás után csatoljuk a halmaz 1. eleméhez, majd a halmaz minden elemét a halmaz 2. eleméhez csatoljuk, majd csatoljuk a halmaz minden eleme a halmaz 3. eleméhez”:

Tükrözve: Descartes termék halmazokat és az összes halmazát hívjuk elrendelte párok, amelyekben Példánkban:
- itt a rögzítési séma hasonló: először a halmaz összes elemét sorban hozzáadjuk a „mínusz egyhez”, majd a „de”-hez hozzáadjuk ugyanazokat az elemeket:

De ez pusztán a kényelem kedvéért - mindkét esetben tetszőleges sorrendben fel lehet sorolni a párokat - fontos ide leírni Minden lehetséges párok.

És most a program fénypontja: a karteziánus termék nem más, mint szülőföldünk pontkészlete Derékszögű koordinátarendszer .

Gyakorlat az anyag önrögzítéséhez:

Végezze el a műveleteket, ha:

Egy csomó Kényelmes leírni elemeinek felsorolásával.

És egy apróság a valós számok intervallumával:

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a szögletes zárójel azt jelenti befogadás számokat az intervallumba, a kereket pedig annak nem befogadás, vagyis a „mínusz egy” a halmazhoz tartozik, a „három” Nem a készlethez tartozik. Próbáld kitalálni, mi ezeknek a készleteknek a derékszögű szorzata. Ha nehézségeid vannak, kövesd a rajzot ;)

A probléma rövid megoldása az óra végén.

Készletek megjelenítése

Kijelző sok sokba van szabály, amely szerint a halmaz minden eleme a halmaz egy eleméhez (vagy elemeihez) van társítva. Abban az esetben, ha a levelezés megtörténik az egyetlen elemet, akkor ezt a szabályt nevezzük világosan megfogalmazott funkció vagy csak funkció.

A függvényt, amint azt sokan tudják, leggyakrabban betűvel jelölik - ez teszi a levelezést mindenkinek elemnek egyetlen értéke van, amely a halmazhoz tartozik.

Nos, most ismét megzavarok sok 1. sor diákot, és 6 témát ajánlok fel nekik (sok):

Telepítve (önkéntes vagy kényszerű =)) A szabály a halmaz minden tanulójához hozzárendeli a halmaz esszéjének egyetlen témáját.

...és valószínűleg nem is tudtad elképzelni, hogy egy függvényargumentum szerepét játszod =) =)

A halmazforma elemei tartomány függvények (jelölése ), a halmaz elemei pedig hatótávolság függvények (jelölése ).

A halmazok konstruált leképezésének van egy nagyon fontos jellemzője: az 1-1 vagy bijektív(bijekció). Ebben a példában ez azt jelenti mindenkinek a tanuló párosul egy egyedi az esszé témája és vissza - az egyes Az esszé témája egy és csak egy hallgatóhoz van hozzárendelve.

Nem szabad azonban azt gondolni, hogy minden leképezés bijektív. Ha az 1. sorba (a halmazba) adsz egy 7. tanulót, akkor az egy-egy levelezés megszűnik - vagy az egyik tanuló téma nélkül marad (egyáltalán nem lesz kijelző), vagy valamelyik téma egyszerre két diákhoz kerül. Az ellenkező helyzet: ha egy hetedik témát adunk a halmazhoz, akkor az egy-egy leképezés is elveszik - az egyik téma igénytelen marad.

Kedves 1. soros hallgatók, ne keseredjetek el - az órák után a maradék 20 fő elmegy az egyetem területét megtisztítani az őszi lomboktól. A gondnok kiad húsz golikot, utána egy-egy levelezés jön létre a csoport fő része és a seprűk között..., és Voldemarnak is lesz ideje futni a boltba =)). definíciós területe megfelel a sajátjának egyedi„y”, és fordítva - az „y” bármely értékére egyértelműen visszaállíthatjuk az „x”-et. Tehát ez egy bijektív függvény.

! Minden esetre az esetleges félreértéseket kiküszöbölöm: a definíció terjedelmével kapcsolatos állandó fenntartásom nem véletlen! Előfordulhat, hogy egy függvény nem minden „X”-hez definiálható, sőt, ebben az esetben is egy az egyhez. Tipikus példa:

De a másodfokú függvénynél semmi hasonló nem figyelhető meg, először is:
– vagyis az „x” különböző értékei jelentek meg azonos jelentése "jaj"; és másodszor: ha valaki kiszámolta a függvény értékét és azt mondta nekünk, hogy , akkor nem világos, hogy ezt az „y”-t a -nál vagy -nél kaptuk? Mondanunk sem kell, hogy itt még csak nyoma sincs a kölcsönös egyértelműségnek.

2. feladat: Kilátás alapvető elemi függvények grafikonjaiés írd fel a bijektív függvényeket egy papírra. Ellenőrző lista a lecke végén.

A készlet ereje

Az intuíció azt sugallja, hogy a kifejezés egy halmaz méretét, nevezetesen elemeinek számát jellemzi. És az intuíciónk nem csal meg minket!

Egy üres halmaz kardinalitása nulla.

A készlet kardinalitása hat.

Az orosz ábécé betűkészletének ereje harminchárom.

És általában - bármely ereje végső egy halmaz elemeinek számával egyenlő.

...talán nem mindenki érti teljesen, hogy mi az végső halmaz – ha elkezdi számolni ennek a halmaznak az elemeit, előbb-utóbb a számlálás véget ér. Ahogy mondani szokták, a kínaiak előbb-utóbb elfogynak.

Természetesen a halmazokat számosság szempontjából össze lehet hasonlítani, és az ilyen értelemben vett egyenlőségüket ún egyenlő erővel. Az egyenértékűséget a következőképpen határozzák meg:

Két halmaz egyforma kardinalitású, ha közöttük egy az egyhez megfeleltetés állapítható meg.

A tanulók halmaza megegyezik az esszétémák halmazával, az orosz ábécé betűkészlete egyenértékű bármely 33 elemből álló halmazzal stb. Figyeld meg, hogy pontosan mit bárki 33 elemből álló halmaz – ebben az esetben csak a számuk számít. Az orosz ábécé betűit nemcsak sok számmal lehet összehasonlítani
1, 2, 3, …, 32, 33, de általában 33 tehénből álló csordával.

Sokkal érdekesebb a helyzet a végtelen halmazokkal. A végtelenség is más! ...zöld és piros A legkisebb végtelen halmazok számolás sokaság. Egész egyszerűen egy ilyen halmaz elemei számozhatók. A referenciapélda természetes számok halmaza . Igen – végtelen, de ALAPELVÉBEN minden elemének van egy száma.

Rengeteg példa van. Különösen az összes páros természetes szám halmaza megszámlálható. Hogyan lehet ezt bizonyítani? Meg kell állapítania egy-egy megfelelését a természetes számok halmazával, vagy egyszerűen meg kell számoznia az elemeket:

Egy-egy megfeleltetés jön létre, ezért a halmazok egyenlőek és a halmaz megszámlálható. Paradox módon a hatalom szempontjából annyi páros természetes szám van, ahány természetes szám!

Az egész számok halmaza is megszámlálható. Ennek elemei számozhatók, például így:

Ráadásul a racionális számok halmaza is megszámlálható . Mivel a számláló egész szám (és, ahogy az imént látható, meg lehet számozni), és a nevező természetes szám, akkor előbb-utóbb bármelyik racionális törthez „ráérünk”, és számot rendelünk hozzá.

De a valós számok halmaza már megszámlálhatatlan, azaz elemei nem számozhatók. Ezt a tényt, bár nyilvánvaló, a halmazelmélet szigorúan bizonyítja. A valós számok halmazának számosságát is nevezzük folytonosság, és a megszámlálható halmazokhoz képest ez egy „végtelenebb” halmaz.

Mivel a halmaz és a számsor között egy-egy megfelelés van (lásd fent), akkor a számegyenes ponthalmaza is megszámlálhatatlan. És mi több, a kilométeres és a milliméteres szegmensben is ugyanannyi pont van! Klasszikus példa:

A gerendát az óramutató járásával ellentétes irányban addig forgatva, amíg az egy vonalba nem kerül a nyalábbal, egy-egy megfeleltetést hozunk létre a kék szegmensek pontjai között. Így annyi pont van a szakaszon, mint ahány a szakaszon és !