A hosszanti erők diagramja. Feszültségek

Megoldás.

1. N diagram felépítése.

Három erő hat a gerendára, ezért a hosszirányú erő a hossz mentén megváltozik. A gerendát olyan szakaszokra osztjuk, amelyeken belül a hosszirányú erő állandó lesz. Ebben az esetben a szakaszok határai azok a szakaszok, amelyekben az erők érvényesülnek. Jelöljük betűkkel a szakaszokat A, B, C, D, a szabad végétől kezdve, jelen esetben a jobb oldalon.

Az egyes szakaszokon a hosszirányú erő meghatározásához egy tetszőleges keresztmetszetet veszünk figyelembe, amelyben az erőt a korábban megadott szabály szerint határozzuk meg. Annak érdekében, hogy ne előre meghatározzuk a reakciót a beágyazásban D, a számításokat a gerenda szabad végétől kezdjük A.

Cselekmény AB, szakasz 1-1 . A szelvénytől jobbra P 1 húzóerő van (15. ábra, A). A korábban említett szabálynak megfelelően azt kapjuk

N AB =+P 1 =40 kN.

Cselekmény Nap, szakasz 2-2 . Tőle jobbra két különböző irányú erő van. Az előjelszabályt figyelembe véve azt kapjuk

N B C =+P 1 -P 2 =40-90=-50 kN.

Cselekmény CD, 3-3. szakasz: hasonlóan kapjuk

N C D =+P 1 -P 2 -P 3 =40-90-110=-160 kN.

A talált értékek alapján N A kiválasztott léptékben diagramot készítünk, figyelembe véve, hogy az egyes szakaszokon belül a hosszirányú erő állandó (15. ábra, b)

Pozitív értékek N a diagramokat a tengely felől felfelé, a negatívakat lefelé tesszük.

2. Feszültségdiagram készítéseσ .

Kiszámoljuk a feszültségeket a keresztmetszetben a gerenda minden szakaszára:

A normál feszültségek számításakor az értékeket hosszanti erők N előjeleiket figyelembe véve a diagramból veszik ki. A plusz jel a nyújtásnak, a mínusz jel a kompressziónak felel meg. A feszültségdiagram az ábrán látható. 15, V.

3. Hosszirányú elmozdulások diagramjának felépítése.

Az eltolási diagram elkészítéséhez kiszámoljuk a gerenda egyes szakaszainak abszolút nyúlását a Hooke-törvény segítségével:

Meghatározzuk a szakaszok mozgását, a rögzített fix végtől kezdve. Szakasz D a tömítésben található, nem tud mozogni, és mozgása nulla:

Szakasz VAL VEL elmozdul a szakasz hosszának megváltoztatása következtében CD. Szakasz áthelyezése VAL VEL képlet határozza meg

∆ C =∆ l CD = -6,7∙10 -4 m.

Negatív (nyomó) erővel a pont VAL VEL balra fog mozogni.

Szakasz áthelyezése BAN BEN a hosszúság változásának eredménye DCÉs C.B.. Kiterjesztéseiket hozzáadva azt kapjuk

∆B =∆ l CD +∆ l BC = -6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 = -8,8∙10 -4 m.

Hasonlóan érvelve kiszámítjuk a szakasz elmozdulását A:

∆ A =∆ l CD +∆ l BC +∆ l AB = -6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 +0,57∙10 -4 = -8,23∙10 -4 m.

A kiválasztott skálán ábrázoljuk az eredeti tengelytől számított elmozdulások értékeit. A kapott pontokat egyenesekkel összekötve eltolási diagramot építünk (15. ábra, G).

4. A fa szilárdságának ellenőrzése.

A szilárdsági feltétel a következő formában van írva:

A feszültségdiagramból megtaláljuk a σ max maximális feszültséget, a szerint választva a maximumot abszolút érték:

σ max =267 MPa.

Ez a feszültség a területre hat DC, amelynek minden része veszélyes.

A megengedett feszültség kiszámítása a következő képlettel történik:

σ max és [σ] összehasonlításával azt látjuk, hogy a szilárdsági feltétel nem teljesül, mivel a maximális feszültség meghaladja a megengedettet.

4. példa

Válassza ki az öntöttvas rúd téglalap keresztmetszetének méreteit a szilárdság és a merevség feltételei közül (lásd 16. ábra, A).

Adott: F=40 kN; l=0,4 m; [σp]=350 MPa; [σs]=800 MPa; E=1,2∙105 MPa; [∆l]=l/200; h/b=2, ahol h a magasság, b a keresztmetszet szélessége.

16. ábra

Megoldás.

1. Belső erők diagramjának megalkotásaN

A rúd 3 részre van osztva a külső terhelés és a keresztmetszeti terület változásától függően. A metszetmódszerrel minden szakaszban meghatározzuk a hosszirányú erőt.

Az 1. szakaszban: N 1 = -F = -40 kN.

A 2. szakaszon: N 2 = -F+3F=2F=80 kN.

A 3. szakaszban: N 3 = -F+3F-2F=F=40 kN.

Diagram Nábrán látható. 16, b.

2. A normál feszültségek diagramjának készítése

Határozzuk meg a rúd szakaszainak feszültségeit.

1. oldalon:

A 2. oldalon:

A 3. oldalon:

ábrán látható a σ diagram. 16, V.

3. A keresztmetszeti terület meghatározása a szilárdsági feltételből

A legnagyobb húzófeszültség a 2. területen, a legnagyobb nyomófeszültség az 1. területen jelentkezik. A keresztmetszeti terület kiszámításához a σ max szilárdsági feltételeket használjuk. p ≤[σ p ] és σ max .с ≤[σ с ].

Az 1. szakasz feszültségei egyenlőek

Ennélfogva,

A 2. szakasz feszültségei egyenlőek

Az erőviszonyoknak megfelelően

A 3. szakaszban a feszültségek egyenlőek

Ennélfogva,

A szükséges keresztmetszeti területet a szakítószilárdsági feltételből kell venni:

Adott h/b=2 arány esetén a keresztmetszeti területet a következőképpen írhatjuk fel: A=h∙b=2b 2 . A keresztmetszeti méretek egyenlőek lesznek:

4. A keresztmetszeti terület meghatározása a merevségi feltételből

A merevség kiszámításakor figyelembe kell venni, hogy a d pontban az elmozdulás egyenlő lesz a rúd összes szakaszának deformációinak összegével. A képlet segítségével minden szakaszra meghatározzuk az abszolút alakváltozási értéket

vagy

1. oldalon:

A 2. oldalon:

A 3. oldalon:

A teljes rúd abszolút deformációja:

A ∆ merevségi feltételből l≤[∆l], meg fogjuk találni

, ahol

A keresztmetszeti méretek egyenlőek lesznek:

A szilárdságra és merevségre vonatkozó számítások eredményeit összevetve az A = 2,65 cm 2 keresztmetszeti terület nagyobb értéket fogadjuk el.

5. Eltolási diagram készítése𝜆

A rúd bármely szakaszának elmozdulásának meghatározásához konstruáljon elmozdulási diagram 𝜆 . A beágyazásban lévő szakaszt vesszük referenciapontnak, mivel ennek a szakasznak az elmozdulása nulla. Diagram készítésekor szekvenciálisan meghatározzuk a rúd jellemző szakaszainak elmozdulásait, amelyek megegyeznek az origótól a vizsgált szakaszig tartó összes szakasz hosszváltozásainak algebrai összegével.

a szakasz:

b szakasz:

szakasz a következővel:

d szakasz:

A λ eltolási diagram a 16. ábrán látható, G.

5. példa

Lépcsőzetes faanyaghoz (17. ábra, A) E=2∙10 5 MPa, σ T = 240 MPa mellett meg kell határozni:

1. Belső hosszirányú erők a hossza mentén, és készítse el a hosszirányú erők diagramját.

2. Normál feszültségek a keresztmetszetekben és készítsd el a normálfeszültségek diagramját!

3. Biztonsági határ a veszélyes szakaszhoz.

4. Metszetek eltolása és eltolási diagram készítése.

Adott: F 1 = 30 kN; F 2 = 20 kN; F 3 = 60 kN; l 1 = 0,5 m; l 2 = 1,5 m; l 3 = 1 m; l 4 = 1 m; l 5 = l 6 = 1 m; d1 = 4 cm; d 2 = 2 cm.

17. ábra

Megoldás.

1. Hosszirányú erők meghatározása a gerenda jellemző metszeteiben, és a hosszanti erők diagramjának elkészítése.

Ábrázoljuk a tervezési diagramot (17. ábra, A) és meghatározzuk a támasz reakcióját a beágyazásban, amit a beágyazáson kívülről balra irányítunk. Ha a reakció meghatározása következtében R BAN BEN negatívnak bizonyul, ez azt jelzi, hogy az iránya ellentétes. Lépcsős gerenda erők hatására F 1 , F 2 , F 3 és reakciók R BAN BEN egyensúlyban vannak, így meg kell határozni R BAN BEN elegendő egyetlen egyenletet létrehozni az összes erő tengelyre vetítésére x, egybeesik a sugár tengelyével.

ΣF ix =-F 1 -F 2 +F 3 -R B =0

Hol van R B = -F 1 -F 2 +F 3 = -30-20+60 = 10 kN

Osszuk fel a fát szakaszokra. A szelvények határai azok a szakaszok, amelyekben külső erők hatnak, feszültségeknél pedig azok a helyek, ahol a keresztmetszet méretei megváltoznak (17. ábra, a)

A metszet módszerrel minden szakaszra meghatározzuk a hosszirányú erő nagyságát és előjelét. Rajzoljuk meg az 1–1 szakaszt, és vegyük figyelembe a gerenda jobb oldali levágott részének egyensúlyát (17,b ábra). Belső erők minden szakaszban feltételesen a kidobott rész felé irányítjuk. Ha a belső hosszanti erő pozitív a helyszínen, húzó alakváltozás lép fel; negatív – tömörítés.

A megfelelő vágott részt figyelembe véve azt találjuk

ΣFx=-N1-RB=0; N 1 = -R B = -10 kN (kompresszió)

Az első szakaszon belüli hosszirányú erő értéke nem függ attól, hogy melyik levágási részt vettük figyelembe. Mindig célszerűbb figyelembe venni a gerenda azon részét, amelyre kisebb erő hat. A második, harmadik és negyedik szakaszon belüli szakaszok megrajzolása után hasonlóan találjuk:

a 2–2. szakaszhoz (17. ábra, c)

ΣFix=-N2+F3-RB=0; N 2 =F 3 -RB =60-10=50 kN (húzó).

a 3-3 szakasznál vegye figyelembe a gerenda bal oldalát (17. ábra,d)

ΣFix=-F1-N3=0; N 3 =F 1 =30 kN (feszültség).

a 4–4. szakaszhoz (17. ábra, e)

ΣFx=N4=0; N 4 =0 a gerenda ezen része nem deformálódik.

A belső hosszirányú erők karakterisztikus metszetekben történő meghatározása után elkészítjük a gerenda hosszában való eloszlásuk grafikonját. A hosszirányú erők változását ábrázoló grafikon ( N) az egyik szakaszról a másikra való áttéréskor, pl. a változás törvényét ábrázoló grafikon N a gerenda tengelye mentén, az ún hosszirányú erők diagramja.

A hosszirányú erődiagram a következő sorrendben készül. A szakaszokra tagolt gerendában a tengelyére merőleges vonalakat húzzunk a külső erők hatópontjain keresztül. A gerenda tengelyétől bizonyos távolságra húzzon a tengelyével párhuzamos egyenest: erre az egyenesre merőlegesen ábrázoljon egy kiválasztott skálán a hosszirányú erőnek megfelelő szakaszt minden szakaszra: pozitívan a diagram tengelyétől felfelé , negatív lefelé. A szegmensek végein keresztül rajzoljon a tengellyel párhuzamos vonalakat. A diagram tengelye vékony vonallal van megrajzolva, magát a diagramot pedig vastag vonalak körvonalazzák, a diagramot a tengelyére merőleges vékony vonalakkal sraffozzuk. Egy skálán minden vonal egyenlő a gerenda megfelelő szakaszában ható hosszirányú erővel. A diagramon plusz és mínusz jelek vannak feltüntetve, értéke pedig azokon a jellemző pontokon, ahol az erő változik. Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált erőket alkalmaznak, ugrások vannak a diagramon - a hosszirányú erő éles változása A hosszirányú erő „ugrása” megegyezik az ezen a szakaszon alkalmazott külső erővel, ami a helyesség ellenőrzése. az elkészített diagramról. A (18. ábra, b)-ban a hosszirányú erők diagramja készült egy adott lépcsős gerendára.

2. Normálfeszültségek meghatározása a gerenda keresztmetszetein és a normálfeszültségek diagramjának készítése.

A normál feszültségeket minden szakaszban a σ=N/A képlet határozza meg, az erőket behelyettesítve az értékébe (in N) és területek (in mm 2 ). Négyzet keresztmetszetek faanyagot az A=πd 2 /4 képlet határozza meg

A normál feszültségek az I–VI szakaszban egyenlőek:

I. mert N 4 = 0

Az egyes szakaszokon belül a feszültség azonos, mivel a hosszirányú erő és a keresztmetszeti terület értéke minden szakaszban azonos. A σ diagramot a tengelyével párhuzamos egyenesek vázolják. A számított értékeken alapuló diagramot a (18. ábra, c) mutatja.

3. Veszélyes szakasz biztonsági tényezőjének meghatározása.

A gerenda hossza mentén felépített normálfeszültségek diagramjából jól látható, hogy a legnagyobb feszültség a negyedik szakaszon belül jelentkezik σ max = 159,2 N/mm 2, ezért a biztonsági tényező

4. Metszetek elmozdulásának meghatározása és elmozdulási diagram készítése.

Az eltolási diagram elkészítéséhez elegendő az egyes szakaszok szélső szakaszainak elmozdulásait meghatározni. A szelvény elmozdulását a rúd e szakasz és a beágyazás között elhelyezkedő szakaszai deformációinak algebrai összegeként definiáljuk, azaz. rögzített szakasz.

A szakaszok abszolút elmozdulását a következő képletekkel számítjuk ki:

A hosszirányú elmozdulások diagramja a (18,d ábra) látható. A merevség ellenőrzésekor a kapott maximális ∆ értéket kell összehasonlítani l = 1,55 mm megengedhető [∆ l] adott sugárhoz.

18. ábra

6. példa

Lépcsőzetes gerendához (19. ábra) szüksége van:

1. Készítse el a hosszirányú erők diagramját!

2. Határozza meg a keresztmetszetek normálfeszültségeit és készítsen diagramot!

3. Készítse el a keresztmetszetek elmozdulásának diagramját!

Adott:

19. ábra

Megoldás.

1. Határozza meg a normál erőket!

Cselekmény AB:

Cselekmény IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.:

Cselekmény CD:

A hosszanti erők diagramja a 20. ábrán látható.

2. Határozza meg a normál feszültségeket!

Cselekmény AB:

Cselekmény IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.:

Cselekmény CD:

A σ normálfeszültségek diagramja a 20. ábrán látható.

3. Határozza meg a keresztmetszetek elmozdulásait!

A δ elmozdulási diagramot a 20. ábra mutatja.

20. ábra

7. példa

Lépcsőzetes acélrúdhoz (21. ábra) szüksége van:

1. Szerkessze meg az N hosszanti erők és a σ normálfeszültségek diagramjait!

2. Határozza meg a rúd ∆ hosszirányú alakváltozását! l.

E = 2∙105 MPa; A 1 = 120 mm 2; A 2 = 80 mm 2; A 3 = 80 mm 2; a 1 = 0,1 m; a 2 = 0,2 m; a 3 = 0,2 m; F1 = 12 kN; F 2 = 18 kN; F 3 = -12 kN.

Megoldás.

1. Diagramok készítéseNÉsσ

A szakaszos módszert használjuk.

1. szakasz.

ΣХ = 0 → -N1 + F1 = 0; N 1 = F 1 = 12 kN;

2. szakasz.

ΣХ = 0 → -N 2 + F 2 + F 1 = 0;

N 2 = F 2 + F 1 = 18 + 12 = 30 kN;

3. szakasz

ΣХ = 0 → - N 3 - F 3 + F 2 + F 1 = 0;

N 3 = - F 3 + F 2 + F 1 = -12 + 18 + 12 = 18 kN;

2. Tervezési diagram a külső terhelés valós irányával és tervezési diagramok.

21. ábra

3. A rúd hosszirányú deformációjának meghatározása

8. példa

Mindkét végén mereven beágyazott és a tengely mentén erőkkel terhelt gerendához F 1 És F 2 a közbenső szakaszaiban rögzítve (22. ábra, A), kötelező

1) Készítsen diagramokat a hosszirányú erőkről,

2) Készítsen normál feszültségdiagramokat!

3) Készítsen diagramokat a keresztmetszetek elmozdulásáról!

4) Ellenőrizze a gerenda erősségét.

Adott: ha az anyag acél st 3, F = 80 kN, σ t = 240 MPa, A = 4 cm 2, a = 1 m, a szükséges biztonsági tényező [. n] = 1,4, E= 2∙10 5 MPa.

22. ábra

Megoldás.

1. A probléma statikus oldala.

Mert az erők F 1 És F 2 a rúd tengelye mentén a végein, erők hatására hat F 1 És F 2 csak vízszintes alátámasztási reakciók fordulhatnak elő beágyazásokban R AÉs R BAN BEN. Ebben az esetben van egy erőrendszerünk, amely egy egyenes mentén irányul (22. ábra, A), amelyre a statika csak egy egyensúlyi egyenletet ad.

ΣF ix = -RA + F 1 + F 2 – R B = 0; R A + R B = F 1 + F 2 = 3F (1)

Két ismeretlen reaktív erő létezik R AÉs R BAN BEN, ezért a rendszer egyszer statikusan határozatlan, azaz. szükség van egy további eltolási egyenlet létrehozására.

2. A probléma geometriai oldala.

A statikus határozatlanság feltárására, pl. az eltolási egyenlet összeállításakor az egyik végződést eldobjuk, például a jobb oldaliat (22. ábra, b). Statikusan meghatározható gerendát kapunk, egyik végén sapkával. Az ilyen gerendát főrendszernek nevezzük. Az eldobott támasz akcióját egy reakcióval helyettesítjük R BAN BEN = x. Ennek eredményeként egy statikailag meghatározott, az adott erőkön felül terhelt gerendát kapunk F 1 És F 2 ismeretlen reaktív erő R BAN BEN = X. Ezt a statikailag meghatározható gerendát ugyanúgy terheljük, mint az adott statikailag határozatlant, azaz. egyenértékű vele. E két gerenda egyenértékűsége lehetővé teszi, hogy kijelentsük, hogy a második gerenda ugyanúgy deformálódik, mint az első, azaz. elmozdulás ∆ BAN BEN– szakaszok BAN BEN egyenlő nullával, mivel valójában (egy adott nyalábban) mereven be van ágyazva: ∆ BAN BEN = 0.

Az erők hatásának függetlenségének elve alapján (egy erőrendszer testre gyakorolt hatásának eredménye nem függ alkalmazásuk sorrendjétől, ill. egyenlő az összeggel az egyes erők hatásának eredményei külön-külön) a szakasz elmozdulása BAN BEN Mutassuk be az erők hatására bekövetkező elmozdulások algebrai összegeként F 1 , F 2 És x, azaz a deformáció-kompatibilitási egyenlet a következőképpen alakul:

∆ B =∆ BF1 + ∆ BF2 + ∆ BX =0 (2)

A mozgások megjelölésénél az index első betűje jelzi, hogy melyik szakasz mozgása arról beszélünk; a második az oka ennek a mozgásnak (erők F 1 , F 2 És x).

3. A probléma fizikai oldala.

A Hooke-törvény alapján a szakasz eltolását fejezzük ki BAN BEN, ható erők révén F 1 , F 2 és ismeretlen reakció x.

Be (22. ábra, c, d, d), ábrák láthatók a gerenda mindegyik erővel történő külön-külön történő terhelésére és a szakasz mozgatására BAN BEN ezektől az erőktől.

Az alábbi diagramok segítségével meghatározzuk a mozgásokat:

egyenlő a szakasz meghosszabbodásával AC;

egyenlő a szakaszok meghosszabbodásával POKOLÉs DE;

egyenlő a rövidítő szakaszok összegével AD, DK, KV.

4. Szintézis.

A , , értékeit behelyettesítve a (2) egyenletbe, megkaptuk

Ennélfogva:

Helyettesítés R BAN BEN az (1) egyenletbe a következőket kapjuk:

RA + 66,7 = 3∙80 = 240

így R A = 240-66,7 = 173,3 kN, R A = 173,3 kN, így kiderül a statikus határozatlanság - van egy statikusan meghatározható, egyik végén beágyazott, ismert F 1, F 2 és X = 66,7 kN erőkkel terhelt gerendánk.

Megszerkesztjük a hosszirányú erők diagramját, mint egy statikusan meghatározott gerendánál. A metszetmódszer alapján a belső hosszirányú erők a jellemző területeken egyenlők:

N AC = RA = 173,3 kN;

N CE = RA - 2F = 173,3 - 80,2 = 13,3 kN;

N EB = -RA = -66,7 kN.

A hosszanti erők diagramja a (22. ábra, e). A normál feszültségek értékeit a jellemző szakaszokban a képlet határozza meg

Az oldalhoz AC

az oldal számára SD

az oldal számára DE

az oldal számára EC

az oldal számára HF

A résztvevők mindegyikén belül állandóak a feszültségek, pl. a "σ" diagram egyenes, a tengellyel párhuzamos fa (22. ábra, és).

A szilárdság kiszámításakor azok a szakaszok érdekesek, amelyekben a legnagyobb feszültségek keletkeznek. A vizsgált példában ezek nem esnek egybe azokkal a szakaszokkal, amelyekben a legnagyobb igénybevétel a szakaszon jelentkezik EC, ahol σ max = - 166,8 MPa.

A problémakörülményekből az következik végső feszültség fa számára

σ pre = σ t = 240 MPa, ezért a megengedett feszültség

Ebből következik, hogy a tervezési feszültség σ = 166,8 MPa< 171,4 МПа, т.е. условие прочности выполняется. Разница между расчетным напряжением и допускаемым составляет:

Túl- vagy alulterhelés megengedett ±5%-on belül.

Eltolási diagram készítésekor elegendő a szelvények határaival egybeeső szakaszok elmozdulásait meghatározni, mivel a jelzett szakaszok között a diagram ∆ l lineáris karaktere van. A gerenda bal oldali becsípett végétől kezdjük az elmozdulási diagram felépítését, amelyben ∆ A = 0; mert mozdulatlan.

Tehát a gerenda jobb végén a szakaszban BAN BEN, diagram ordináta ∆ l egyenlő nullával, mivel egy adott gerendában ez a szakasz mereven be van szorítva, a ∆ diagramot a számított értékek felhasználásával szerkesztettük l(22. ábra, h).

9. példa

Rézből és acélból álló, F koncentrált erővel terhelt összetett lépcsős gerendához (23. ábra, A), határozza meg a belső hosszirányú erőket és készítse el diagramjaikat, ha az anyag rugalmassági modulusai ismertek: acélnál E c , réznél E M .

23. ábra

Megoldás.

1. Állítsa össze a statikus egyensúly egyenletét:

ΣZ=0;RB-F+RD=0. (1)

A probléma egyszer statikusan határozatlan, mert mindkét reakció csak egy egyenletből határozható meg.

2. A mozgások kompatibilitási feltételének azt kell kifejeznie, hogy a nyaláb teljes hossza nem változik, i.e. mozgások, például szakaszok

A σ=Eε Hooke törvényt alkalmazva, figyelembe véve azt a tényt, hogy egy gerenda tetszőleges keresztmetszetének mozgása számszerűen egyenlő a B beágyazás és a „mozgó” D szakasz között elhelyezkedő szakaszainak meghosszabbodásával vagy lerövidítésével, transzformálja a (2) egyenletet ) az űrlapra:

Ezért R D = 0,33 F. (4)

A (4)-et (1) behelyettesítve meghatározzuk

R B = F-R D = F-0,33 F = 0,67 F. (5)

Ekkor metszetmódszerrel az N i =ΣF i kifejezésnek megfelelően a következőt kapjuk:

NDC =-RD;NBC =RB.

Az egyértelműség kedvéért hozott döntéseket

l M = l; l c =2 l; A M = 4A C; E C =2E M .

figyelembe véve (4) N DC = -R D = -0,33F,

a (5) figyelembe vételével N BC =R B =0,67F kapunk.

Az N hosszirányú erők diagramja az ábrán látható. 16, b.

A szilárdsági számítást ezután a szilárdsági feltételnek megfelelően végezzük el

10. példa

Egy lépcsőzetesen változó keresztmetszetű gerenda, melynek tervezési diagramja a 24. ábrán látható, adott terhelés hatására központi (axiális) húzó-kompressziós állapotban van.

Kívánt:

1) A statikus határozatlanság feltárása;

2) Készítsen diagramokat a normálerőkről és normálfeszültségekről (a mennyiségek szó szerinti kifejezésében);

3) Válassza ki a gerenda keresztmetszetét a szilárdsági viszonyoknak megfelelően;

4) Készítsen diagramot a keresztmetszetek hosszirányú elmozdulásairól!

Hagyja figyelmen kívül a fa saját súlyának befolyását, és tekintse a tartószerkezeteket abszolút merevnek.

anyag – öntöttvas, megengedett feszültségek (számított ellenállások):

Elfogad:öntöttvashoz

Az F paramétert a szilárdsági feltételekből kell meghatározni, és a feladat 3. lépésének végrehajtásakor el kell fogadni a P paramétert.

A rúd különböző keresztmetszeteiben keletkező nem azonos, változásuk törvényét a rúd hosszában N(z) gráf formájában mutatjuk be, ún. hosszirányú erők diagramja. A hosszirányú erők diagramja a rúd értékeléséhez szükséges, és a veszélyes szakasz megtalálásához készült (az a keresztmetszet, amelyben a hosszirányú erő fellép legmagasabb érték ).

Hogyan készítsünk diagramot a hosszirányú erőkről?

A diagram elkészítéséhez az N-t használjuk. Mutassuk meg egy példán az alkalmazását (2.1. ábra).

Határozzuk meg az általunk tervezett keresztmetszetben fellépő N hosszirányú erőt.

Ezen a helyen vágjuk el a rudat, és gondolatban dobjuk el az alsó részét (2.1. ábra, a). Ezután az elvetett alkatrész hatását a rúd felső részén egy belső hosszirányú N erővel kell helyettesítenünk.

Hogy könnyebb legyen az érték kiszámítása, fedjük le egy papírral a szóban forgó rúd felső részét. Emlékezzünk vissza, hogy a keresztmetszetben fellépő N a rúd elutasított részére, vagyis a rúd általunk látott részére ható hosszirányú erők algebrai összegeként definiálható.

Ebben az esetben a következőket alkalmazzuk: a rúd fennmaradó részében feszültséget okozó erőket (amit egy papírlappal letakarunk) az említett algebrai összegbe „plusz” előjellel, az összenyomódást okozó erőket pedig „mínusz” jellel.

Tehát az N hosszirányú erő meghatározásához az általunk tervezett keresztmetszetben, egyszerűen össze kell adnunk az összes látható külső erőt. Mivel a kN erő megfeszíti a felső részt, a kN erő pedig összenyomja, akkor kN.

A mínusz jel azt jelenti, hogy ebben a szakaszban a rúd összenyomódik.

Található földi reakció R (2.1. ábra, b), és hozzon létre egy egyensúlyi egyenletet a teljes rúdra az eredmény ellenőrzéséhez.

A mozgások meghatározása

Gyakorlat

Egy adott statikailag meghatározott acélgerendához a következők szükségesek:

1) készítsen diagramokat a hosszirányú erőkről Nés normál feszültségek σ, beírás Általános nézet a kifejezés minden szakaszához Nés σ, és ezek értékeinek feltüntetése a diagramokon a jellemző szakaszokban;

2) határozza meg a gerenda teljes elmozdulását, és készítse el a keresztmetszetek δ elmozdulásának diagramját az E = 2·10 MPa rugalmassági modulus mellett.

A munka célja – megtanulják a hosszirányú erők és normálfeszültségek diagramjainak elkészítését, az elmozdulások meghatározását.

Elméleti háttér

A gerenda terhelési típusai, amelyeknél csak egy belső jelenik meg a keresztmetszetében teljesítménytényező- hívott nyújtás vagy tömörítés . Eredő külső erők a keresztmetszet súlypontjában kerül alkalmazásra, és a hossztengely mentén hat. A belső erők meghatározása szakaszos módszerrel történik. A gerenda keresztmetszetében fellépő normálerő a keresztmetszet síkjában ható normálfeszültségek eredője

N = ∑F (5.1).

A hosszirányú erők nagysága a gerenda különböző szakaszaiban nem azonos. A hosszirányú erők nagyságának változását ábrázoló grafikont a gerenda hosszirányú metszetében ún. hosszirányú erők diagramja.

A feszültségeloszlás törvénye kísérletből meghatározható. Megállapítást nyert, hogy ha téglalap alakú hálót helyezünk a rúdra, akkor hosszirányú terhelés után a háló megjelenése nem változik, továbbra is téglalap alakú marad, és minden vonal egyenes. Ebből arra következtethetünk, hogy a hosszanti alakváltozások eloszlása egyenletes a keresztmetszetben, és a Hooke-törvény alapján ( σ = Eε) és normálfeszültségek S = állandó. Ekkor N = S·F, amelyből képletet kapunk a keresztmetszet normálfeszültségeinek meghatározására húzás közben

σ = MPa (5,2)

A – a vizsgált farész körüli terület;

N az ezen a területen belüli belső erők eredője (a szakaszos módszer szerint).

A rúd szilárdságának biztosításához a szilárdsági feltételnek teljesülnie kell - a szerkezet akkor lesz erős, ha a terhelt szerkezet bármely pontján a maximális feszültség nem haladja meg az anyag tulajdonságai és az üzemi feltételek által meghatározott megengedett értéket. szerkezet, vagyis

σ ≤ [σ ], τ ≤ [τ] (5.3)

Ha egy gerenda deformálódik, a hossza -kal, a keresztirányú mérete pedig -kal változik. Ezek az értékek a fa kezdeti méretétől is függenek.

Ezért fontolgatják

– hosszanti deformáció; (5.4)

– keresztirányú deformáció. (5.5)

Kísérletileg kimutatták, hogy ahol μ = 0, …, 0,5 – Poisson-hányados. Példák: μ=0 – parafa, μ=0,5 – gumi, – acél.

A rugalmas alakváltozás határain belül teljesül a Hooke-törvény: , ahol E a rugalmassági modulus, vagy Young-modulus.

Munkarend

1. A gerendát az erőhatások által korlátozott szakaszokra osztjuk (a szakaszokat a laza végétől számozzuk);

2. A metszet módszerrel meghatározzuk az egyes szakaszok keresztmetszetében a hosszirányú erők nagyságát: N = ∑F;

3. Válasszon ki egy léptéket, és készítse el a hosszirányú erők diagramját, pl. a gerenda képe alatt (vagy a közelében) a tengelyével párhuzamos egyenest húzunk, és ebből az egyenesből merőleges szakaszokat húzunk, amelyek a kiválasztott léptékben a hosszirányú erőknek felelnek meg (pozitív értéket teszünk felfelé (vagy jobbra). ), negatív érték – lefelé (vagy balra).

4. Meghatározzuk a gerenda teljes elmozdulását, és elkészítjük a keresztmetszetek δ elmozdulásának diagramját.

5. Válaszoljon a biztonsági kérdésekre.

Ellenőrző kérdések

1. Mit nevezünk rúdnak?

2. Milyen típusú rúd terhelését nevezzük axiális feszültségnek (kompressziónak)?

3. Hogyan számítható ki a hosszirányú erő értéke a rúd tetszőleges keresztmetszetében?

4. Mi a hosszirányú erők diagramja, és hogyan épül fel?

5. Hogyan oszlanak meg a normálfeszültségek egy központilag megfeszített vagy központilag összenyomott rúd keresztmetszetein, és milyen képlettel határozzák meg ezeket?

6. Mit nevezünk egy rúd megnyúlásának (abszolút hosszirányú deformáció)? Mi a relatív longitudinális nyúlás? Mekkora az abszolút és relatív hosszanti alakváltozás mérete?

7. Mekkora az E rugalmassági modulus? Hogyan befolyásolja az E értéke a rúd alakváltozását?

8. Fogalmazd meg Hooke törvényét! Írjon képleteket a rúd abszolút és relatív hosszirányú alakváltozásaira!

9. Mi történik a rúd keresztirányú méreteivel, ha megnyújtják (összenyomják)?

10. Mi a Poisson-hányados? Milyen határok között változik?

11. Milyen célból hajtják végre? mechanikai vizsgálatok anyagok? Milyen feszültségek veszélyesek a képlékeny és rideg anyagokra?

Kivitelezési példa

Készítse el a hosszirányú erők és normálfeszültségek diagramjait terhelt acélgerendára (5.1. ábra). Határozza meg a gerenda nyúlását (rövidülését), ha E

5.1. ábra

Adott: F = 2 kH, F = 5 kH, F = 2 kH, A = 2 cm, A, l= 100 mm, l = 50 mm, l= 200 mm,

1. példa Készítsen diagramot egy változó keresztmetszetű oszlophoz (ábra). A). A szakaszok hossza 2 m Terhek: koncentrált =40 kN, =60 kN, =50 kN; eloszlás =20 kN/m.

Rizs. 1. Az N hosszirányú erők diagramja

Megoldás: A szakaszos módszert használjuk. Figyelembe vesszük (egyenként) az oszlop levágott (felső) részének egyensúlyát (ábra). 1 V).

A rúd levágott részének egyenletéből a metszet tetszőleges szakaszában a hosszirányú erő

(),

=0 kN-nél;

= 2 m kN,

a szekciók részeiben rendre:

KN,

Tehát négy szakaszon a hosszirányú erők negatívak, ami az oszlop összes szakaszának kompressziós deformációját (rövidülését) jelzi. A számítási eredmények alapján elkészítjük a hosszirányú erők diagramját (1. ábra). b), tiszteletben tartva a léptéket. A diagram elemzéséből az következik, hogy a terheléstől mentes területeken a hosszirányú erő állandó, a terhelt területeken változó, a koncentrált erők alkalmazási pontjain pedig hirtelen változik.

2. példaKészítsen diagramot N za 2. ábrán látható rúdhoz.

Rizs. 2.Rúdterhelési séma

Megoldás: A rudat csak koncentrált axiális erők terhelik, így a hosszirányú Kényszerítés minden területen állandó. A telkek határábanN zszakadásokon megy keresztül. Vegyük a kör irányát a szabad végétől (szakasz.E) becsípni (mp.A). Helyszín bekapcsolva DEa hosszirányú erő pozitív, mivel az erő nyújtást okoz, azaz.NED = + F. Keresztmetszetben D a hosszirányú erő hirtelen megváltozik -ról NDE= NED= F előtt N D C= N D E – 3 F= – 2 F(az infinitezimális elem egyensúlyi feltételéből találjuk megdz, két szomszédos terület határán van kiosztvaCDÉs DE).

Vegye figyelembe, hogy az ugrás egyenlő az alkalmazott erő nagysága3 Fés elküldték negatív oldalaN z, mivel az erő 3F kompressziót okoz. Helyszín bekapcsolva CD nekünk van N CD= N DC= – 2 F. Keresztmetszetben C hosszanti erő hirtelen megváltozik tól től N CD= – 2 F előtt N CB =N CD+ 5 F= 3 F. Az ugrás nagysága megegyezik az alkalmazott erővel 5F. Az oldalon belülCBa hosszirányú erő ismét állandóN CB =N Kr. e=3 F. Végül részbenBAN BEN a diagramon N zismét egy ugrás: a hosszirányú erő megváltozik tól től N Kr. e= 3 F előtt N VA= Kr.e. – 2 F= F. Az ugrás iránya lefelé (negatív értékek felé), mivel az erő 2Fa rúd összenyomódását okozza. DiagramN za 2. ábrán látható.

Megoldás.

1. N diagram felépítése.

Cselekmény AB, szakasz 1-1 . A szelvénytől jobbra P 1 húzóerő van (15. ábra, A). A korábban említett szabálynak megfelelően azt kapjuk

N AB =+P 1 =40 kN.

Cselekmény Nap, szakasz 2-2 . Tőle jobbra két különböző irányú erő van. Az előjelszabályt figyelembe véve azt kapjuk

N B C =+P 1 -P 2 =40-90=-50 kN.

Cselekmény CD, 3-3. szakasz: hasonlóan kapjuk

N C D =+P 1 -P 2 -P 3 =40-90-110=-160 kN.

A talált értékek alapján N A kiválasztott léptékben diagramot készítünk, figyelembe véve, hogy az egyes szakaszokon belül a hosszirányú erő állandó (15. ábra, b)

Pozitív értékek N a diagramokat a tengely felől felfelé, a negatívakat lefelé tesszük.

2. Feszültségdiagram készítéseσ .

Kiszámoljuk a feszültségeket a keresztmetszetben a gerenda minden szakaszára:

A normál feszültségek kiszámításakor a hosszirányú erők értékeit N előjeleiket figyelembe véve a diagramból veszik ki. A plusz jel a nyújtásnak, a mínusz jel a kompressziónak felel meg. A feszültségdiagram az ábrán látható. 15, V.

3. Hosszirányú elmozdulások diagramjának felépítése.

Az eltolási diagram elkészítéséhez kiszámoljuk a gerenda egyes szakaszainak abszolút nyúlását a Hooke-törvény segítségével:

Meghatározzuk a szakaszok mozgását, a rögzített fix végtől kezdve. Szakasz D a tömítésben található, nem tud mozogni, és mozgása nulla:

Szakasz VAL VEL elmozdul a szakasz hosszának megváltoztatása következtében CD. Szakasz áthelyezése VAL VEL képlet határozza meg

∆ C =∆ l CD = -6,7∙10 -4 m.

Negatív (nyomó) erővel a pont VAL VEL balra fog mozogni.

Szakasz áthelyezése BAN BEN a hosszúság változásának eredménye DCÉs C.B.. Kiterjesztéseiket hozzáadva azt kapjuk

∆B =∆ l CD +∆ l BC = -6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 = -8,8∙10 -4 m.

Hasonlóan érvelve kiszámítjuk a szakasz elmozdulását A:

∆ A =∆ l CD +∆ l BC +∆ l AB = -6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 +0,57∙10 -4 = -8,23∙10 -4 m.

A kiválasztott skálán ábrázoljuk az eredeti tengelytől számított elmozdulások értékeit. A kapott pontokat egyenesekkel összekötve eltolási diagramot építünk (15. ábra, G).

4. A fa szilárdságának ellenőrzése.

A szilárdsági feltétel a következő formában van írva:

A feszültségdiagramból megtaláljuk a maximális feszültséget σ max, a maximumot abszolút értékben választva:

σ max =267 MPa.

Ez a feszültség a területre hat DC, amelynek minden része veszélyes.

A megengedett feszültség kiszámítása a következő képlettel történik:

σ max és [σ] összehasonlításával azt látjuk, hogy a szilárdsági feltétel nem teljesül, mivel a maximális feszültség meghaladja a megengedettet.

4. példa

Válassza ki az öntöttvas rúd téglalap keresztmetszetének méreteit a szilárdság és a merevség feltételei közül (lásd 16. ábra, A).

Adott: F=40 kN; l=0,4 m; [σp]=350 MPa; [σs]=800 MPa; E=1,2∙105 MPa; [∆l]=l/200; h/b=2, ahol h a magasság, b a keresztmetszet szélessége.

16. ábra

Megoldás.

1. Belső erők diagramjának megalkotásaN

A rúd 3 részre van osztva a külső terhelés és a keresztmetszeti terület változásától függően. A metszetmódszerrel minden szakaszban meghatározzuk a hosszirányú erőt.

Az 1. szakaszban: N 1 = -F = -40 kN.

A 2. szakaszon: N 2 = -F+3F=2F=80 kN.

A 3. szakaszban: N 3 = -F+3F-2F=F=40 kN.

Diagram Nábrán látható. 16, b.

2. A normál feszültségek diagramjának készítése

Határozzuk meg a rúd szakaszainak feszültségeit.

1. oldalon:

A 2. oldalon:

A 3. oldalon:

ábrán látható a σ diagram. 16, V.

3. A keresztmetszeti terület meghatározása a szilárdsági feltételből

Az 1. szakasz feszültségei egyenlőek

Ennélfogva,

A 2. szakasz feszültségei egyenlőek

Az erőviszonyoknak megfelelően

A 3. szakaszban a feszültségek egyenlőek

Ennélfogva,

A szükséges keresztmetszeti területet a szakítószilárdsági feltételből kell venni:

Adott h/b=2 arány esetén a keresztmetszeti területet a következőképpen írhatjuk fel: A=h∙b=2b 2 . A keresztmetszeti méretek egyenlőek lesznek:

4. A keresztmetszeti terület meghatározása a merevségi feltételből

vagy

1. oldalon:

A 2. oldalon:

A 3. oldalon:

A teljes rúd abszolút deformációja:

A ∆ merevségi feltételből l≤[∆l], meg fogjuk találni

, ahol

A keresztmetszeti méretek egyenlőek lesznek:

A szilárdságra és merevségre vonatkozó számítások eredményeit összevetve az A = 2,65 cm 2 keresztmetszeti terület nagyobb értéket fogadjuk el.

5. Eltolási diagram készítése𝜆

a szakasz:

b szakasz:

szakasz a következővel:

d szakasz:

A λ eltolási diagram a 16. ábrán látható, G.

5. példa

Lépcsőzetes faanyaghoz (17. ábra, A) E=2∙10 5 MPa, σ T = 240 MPa mellett meg kell határozni:

1. Belső hosszirányú erők a hossza mentén, és készítse el a hosszirányú erők diagramját.

2. Normál feszültségek a keresztmetszetekben és készítsd el a normálfeszültségek diagramját!

3. Biztonsági határ a veszélyes szakaszhoz.

4. Metszetek eltolása és eltolási diagram készítése.

Adott: F 1 = 30 kN; F 2 = 20 kN; F 3 = 60 kN; l 1 = 0,5 m; l 2 = 1,5 m; l 3 = 1 m; l 4 = 1 m; l 5 = l 6 = 1 m; d1 = 4 cm; d 2 = 2 cm.

17. ábra

Megoldás.

1. Hosszirányú erők meghatározása a gerenda jellemző metszeteiben, és a hosszanti erők diagramjának elkészítése.

ΣF ix =-F 1 -F 2 +F 3 -R B =0

Hol van R B = -F 1 -F 2 +F 3 = -30-20+60 = 10 kN

A metszet módszerrel minden szakaszra meghatározzuk a hosszirányú erő nagyságát és előjelét. Rajzoljuk meg az 1–1 szakaszt, és vegyük figyelembe a gerenda jobb oldali levágott részének egyensúlyát (17,b ábra). Az egyes szakaszokban a belső erők feltételesen az elutasított rész felé irányulnak. Ha a belső hosszanti erő pozitív a helyszínen, húzó alakváltozás lép fel; negatív – tömörítés.

A megfelelő vágott részt figyelembe véve azt találjuk

ΣFx=-N1-RB=0; N 1 = -R B = -10 kN (kompresszió)

a 2–2. szakaszhoz (17. ábra, c)

ΣFix=-N2+F3-RB=0; N 2 =F 3 -RB =60-10=50 kN (húzó).

a 3-3 szakasznál vegye figyelembe a gerenda bal oldalát (17. ábra,d)

ΣFix=-F1-N3=0; N 3 =F 1 =30 kN (feszültség).

a 4–4. szakaszhoz (17. ábra, e)

ΣFx=N4=0; N 4 =0 a gerenda ezen része nem deformálódik.

2. Normálfeszültségek meghatározása a gerenda keresztmetszetein és a normálfeszültségek diagramjának készítése.

A normál feszültségeket minden szakaszban a σ=N/A képlet határozza meg, az erőket behelyettesítve az értékébe (in N) és területek (in mm 2 ). A gerenda keresztmetszeti területét az A=πd 2 /4 képlet határozza meg

A normál feszültségek az I–VI szakaszban egyenlőek:

I. mert N 4 = 0

3. Veszélyes szakasz biztonsági tényezőjének meghatározása.

4. Metszetek elmozdulásának meghatározása és elmozdulási diagram készítése.

A szakaszok abszolút elmozdulását a következő képletekkel számítjuk ki:

18. ábra

6. példa

Lépcsőzetes gerendához (19. ábra) szüksége van:

1. Készítse el a hosszirányú erők diagramját!

2. Határozza meg a keresztmetszetek normálfeszültségeit és készítsen diagramot!

3. Készítse el a keresztmetszetek elmozdulásának diagramját!

Adott:

19. ábra

Megoldás.

1. Határozza meg a normál erőket!

Cselekmény AB:

Cselekmény IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.:

Cselekmény CD:

A hosszanti erők diagramja a 20. ábrán látható.

2. Határozza meg a normál feszültségeket!

Cselekmény AB:

Cselekmény IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.:

Cselekmény CD:

A σ normálfeszültségek diagramja a 20. ábrán látható.

3. Határozza meg a keresztmetszetek elmozdulásait!

A δ elmozdulási diagramot a 20. ábra mutatja.

20. ábra

7. példa

Lépcsőzetes acélrúdhoz (21. ábra) szüksége van:

1. Szerkessze meg az N hosszanti erők és a σ normálfeszültségek diagramjait!

2. Határozza meg a rúd ∆ hosszirányú alakváltozását! l.

E = 2∙105 MPa; A 1 = 120 mm 2; A 2 = 80 mm 2; A 3 = 80 mm 2; a 1 = 0,1 m; a 2 = 0,2 m; a 3 = 0,2 m; F1 = 12 kN; F 2 = 18 kN; F 3 = -12 kN.

Megoldás.

1. Diagramok készítéseNÉsσ

A szakaszos módszert használjuk.

1. szakasz.

ΣХ = 0 → -N1 + F1 = 0; N 1 = F 1 = 12 kN;

2. szakasz.

ΣХ = 0 → -N 2 + F 2 + F 1 = 0;

N 2 = F 2 + F 1 = 18 + 12 = 30 kN;

3. szakasz

ΣХ = 0 → - N 3 - F 3 + F 2 + F 1 = 0;

N 3 = - F 3 + F 2 + F 1 = -12 + 18 + 12 = 18 kN;

2. Tervezési diagram a külső terhelés valós irányával és tervezési diagramok.

21. ábra

3. A rúd hosszirányú deformációjának meghatározása

8. példa

Mindkét végén mereven beágyazott és a tengely mentén erőkkel terhelt gerendához F 1 És F 2 a közbenső szakaszaiban rögzítve (22. ábra, A), kötelező

1) Készítsen diagramokat a hosszirányú erőkről,

2) Készítsen normál feszültségdiagramokat!

3) Készítsen diagramokat a keresztmetszetek elmozdulásáról!

4) Ellenőrizze a gerenda erősségét.

Adott: ha az anyag acél st 3, F = 80 kN, σ t = 240 MPa, A = 4 cm 2, a = 1 m, a szükséges biztonsági tényező [. n] = 1,4, E= 2∙10 5 MPa.

22. ábra

Megoldás.

1. A probléma statikus oldala.

ΣF ix = -RA + F 1 + F 2 – R B = 0; R A + R B = F 1 + F 2 = 3F (1)

Két ismeretlen reaktív erő létezik R AÉs R BAN BEN, ezért a rendszer egyszer statikusan határozatlan, azaz. szükség van egy további eltolási egyenlet létrehozására.

2. A probléma geometriai oldala.

Az erők hatásának függetlenségének elve alapján (egy erőrendszer testre gyakorolt hatásának eredménye nem függ alkalmazásuk sorrendjétől, és egyenlő az egyes erők hatásának eredményének összegével külön-külön ), a szakasz elmozdulása BAN BEN Mutassuk be az erők hatására bekövetkező elmozdulások algebrai összegeként F 1 , F 2 És x, azaz a deformáció-kompatibilitási egyenlet a következőképpen alakul:

∆ B =∆ BF1 + ∆ BF2 + ∆ BX =0 (2)

A mozgások megjelölésénél az index első betűje jelzi, hogy melyik szakasz mozgását tárgyaljuk; a második az oka ennek a mozgásnak (erők F 1 , F 2 És x).

3. A probléma fizikai oldala.

A Hooke-törvény alapján a szakasz eltolását fejezzük ki BAN BEN, ható erők révén F 1 , F 2 és ismeretlen reakció x.

Be (22. ábra, c, d, d), ábrák láthatók a gerenda mindegyik erővel történő külön-külön történő terhelésére és a szakasz mozgatására BAN BEN ezektől az erőktől.

Az alábbi diagramok segítségével meghatározzuk a mozgásokat:

egyenlő a szakasz meghosszabbodásával AC;

egyenlő a szakaszok meghosszabbodásával POKOLÉs DE;

egyenlő a rövidítő szakaszok összegével AD, DK, KV.

4. Szintézis.

A , , értékeit behelyettesítve a (2) egyenletbe, megkaptuk

Ennélfogva:

Helyettesítés R BAN BEN az (1) egyenletbe a következőket kapjuk:

RA + 66,7 = 3∙80 = 240

Megszerkesztjük a hosszirányú erők diagramját, mint egy statikusan meghatározott gerendánál. A metszetmódszer alapján a belső hosszirányú erők a jellemző területeken egyenlők:

N AC = RA = 173,3 kN;

N CE = RA - 2F = 173,3 - 80,2 = 13,3 kN;

N EB = -RA = -66,7 kN.

A hosszanti erők diagramja a (22. ábra, e). A normál feszültségek értékeit a jellemző szakaszokban a képlet határozza meg

Az oldalhoz AC

az oldal számára SD

az oldal számára DE

az oldal számára EC

az oldal számára HF

A résztvevők mindegyikén belül állandóak a feszültségek, pl. A "σ" diagram a gerenda tengelyével párhuzamos egyenes (22. ábra, és).

A problémakörülményekből az következik, hogy a gerenda maximális feszültsége

σ pre = σ t = 240 MPa, ezért a megengedett feszültség

Túl- vagy alulterhelés megengedett ±5%-on belül.

9. példa

23. ábra

Megoldás.

1. Állítsa össze a statikus egyensúly egyenletét:

ΣZ=0;RB-F+RD=0. (1)

A probléma egyszer statikusan határozatlan, mert mindkét reakció csak egy egyenletből határozható meg.

2. A mozgások kompatibilitási feltételének azt kell kifejeznie, hogy a nyaláb teljes hossza nem változik, i.e. mozgások, például szakaszok

Ezért R D = 0,33 F. (4)

A (4)-et (1) behelyettesítve meghatározzuk

R B = F-R D = F-0,33 F = 0,67 F. (5)

Ekkor metszetmódszerrel az N i =ΣF i kifejezésnek megfelelően a következőt kapjuk:

NDC =-RD;NBC =RB.

Az egyértelműség kedvéért hozott döntéseket

l M = l; l c =2 l; A M = 4A C; E C =2E M .

figyelembe véve (4) N DC = -R D = -0,33F,

a (5) figyelembe vételével N BC =R B =0,67F kapunk.

Az N hosszirányú erők diagramja az ábrán látható. 16, b.

A szilárdsági számítást ezután a szilárdsági feltételnek megfelelően végezzük el

10. példa

Egy lépcsőzetesen változó keresztmetszetű gerenda, melynek tervezési diagramja a 24. ábrán látható, adott terhelés hatására központi (axiális) húzó-kompressziós állapotban van.

Kívánt:

1) A statikus határozatlanság feltárása;

2) Készítsen diagramokat a normálerőkről és normálfeszültségekről (a mennyiségek szó szerinti kifejezésében);

3) Válassza ki a gerenda keresztmetszetét a szilárdsági viszonyoknak megfelelően;

4) Készítsen diagramot a keresztmetszetek hosszirányú elmozdulásairól!

Hagyja figyelmen kívül a fa saját súlyának befolyását, és tekintse a tartószerkezeteket abszolút merevnek.

anyag – öntöttvas, megengedett feszültségek (számított ellenállások):

Elfogad:öntöttvashoz

Az F paramétert szilárdsági viszonyokból kell meghatározni, a P paramétert pedig a feladat 3. lépésének végrehajtásakor fogadja el:

Jegyzet:

1) A tervezési diagramon a gerenda alsó vége és a tartó között rés van a gerenda terhelése előtt. Az együtthatót 1-gyel egyenlőnek kell venni.

2) Ha a P 1 vagy P 2 erők egyike hiányzik a tervezési diagramból, akkor a megfelelő együtthatót (α 1 vagy α 2) nullának kell tekinteni.

3) A feladat 3. lépésének végrehajtásakor a megengedett feszültség módszerét kell használni

24. ábra

Megoldás:

1) A gerenda terhelése következtében beágyazódásaiban a tengely mentén irányú reakciók lépnek fel (25. ábra). Meghatározzuk a reakciót a tömítésben. Először felfelé irányítjuk.

25. ábra

Hozzunk létre egy egyensúlyi egyenletet:

Ez az egyenlet egyedi, és két ismeretlen erőt tartalmaz. Következésképpen a rendszer egyszer statikusan határozatlan.

Statikus határozatlanság kiterjesztése:

Fejezzük ki a nyúlásokat erőkkel:

Helyettesítsük be az egyensúlyi egyenletbe:

Így feltárul a statikus határozatlanság.

2) Ossza fel a gerendát 3 részre (26. ábra), a szabad végétől kezdve; a szelvények határai olyan szakaszok, ahol külső erők hatnak, valamint olyan helyek, ahol a keresztmetszet méretei megváltoznak.

26. ábra

Készítsünk egy tetszőleges 1-1 szakaszt az I. szakaszban, és a gerenda felső részét elvetve vegyük figyelembe a fennmaradó alsó rész egyensúlyi feltételeit, külön is bemutatva (27. ábra, b).

A fennmaradó részre egy R B erő hat a szükséges erővel. A többire ható erőket a Z tengelyre vetítve megkapjuk.

Rajzoljunk egy tetszőleges 2 - 2 szakaszt a II. szakaszba, és a gerenda felső részét elvetve vegyük figyelembe a fennmaradó alsó rész egyensúlyi feltételeit, külön bemutatva (27. ábra, V).

Rajzoljunk egy tetszőleges 3-3 metszetet a III. szakaszba, és a gerenda felső részét elvetve vegyük figyelembe a fennmaradó alsó rész egyensúlyi feltételeit, külön bemutatva (27. ábra, G).

Készítsünk egy grafikont (diagramot), amely megmutatja, hogyan változik N a nyaláb hossza mentén (27. ábra, d).

A normál feszültségek diagramját úgy kapjuk meg, hogy az N értékeit elosztjuk a gerenda megfelelő keresztmetszeti területeire, pl.

Az I. szakaszhoz:

A II. szakaszhoz:

A III. szakaszhoz:

Készítsük el a normálfeszültségek diagramját (27. ábra, e).

3) A szilárdsági számításokat szilárdsági feltételekkel végezzük. A szerkezet szilárdsági feltétele a következőképpen van felírva:

hol vannak a legnagyobb számított húzó- és nyomófeszültségek a szerkezetben;

– a megengedett feszültségek húzásban és nyomóerőben, ill.

A gerenda keresztmetszetének kiválasztása ebben az esetben a harmadik szakasz szilárdsági feltétele szerint történik, mert A legnagyobb húzófeszültségek ezen a területen jelentkeznek:

Elfogadjuk

Az F paraméter talált értékével meghatározzuk a gerendaszelvények keresztmetszeti területeit:

Az öntöttvas gerendák szakaszait nem nyomószilárdság alapján választjuk ki, mert a nyomófeszültségek legnagyobb értékei kisebbek, mint a húzófeszültségek, és

4) Készítsünk diagramot a keresztmetszetek hosszirányú elmozdulásairól! A szakaszok rugalmas nyúlásainak összegzésével készül, a rögzített végtől kezdve.

Határozzuk meg a gerenda szakaszok hosszának változását a következő képlettel:

MertIIIcselekmény–

MertIIcselekmény–

Merténcselekmény–

A tervezési diagramon szereplő állapot szerint a gerenda alsó vége és a tartó között rés van a gerenda terhelése előtt (I. szakasz). A feltétel együtthatója 1, akkor a rés egyenlő lesz.

Megtaláljuk a gerenda szakaszok tengelyirányú elmozdulásait a terület határai mentén:

Készítsük el a keresztmetszetek hosszirányú elmozdulásának diagramját (27. ábra, és).

27. ábra

11. példa

Statikailag határozatlan rúdhoz (28. ábra) szükséges a hosszirányú erők és normálfeszültségek diagramjainak elkészítése.

Adott: l 1 = 1 m; l 2 = 0,8 m F 2 = 15 · 10 -4 m 2 P = 190 kN = 190 · 10 3 N; ∆t= 30K; δ = 0,006 cm = 6 · 10 -5 m E = 1 · 10 5 MPa = 1 · 10 11 Pa; α= 17·10 -6 K.