Poliszémia

A poliszémia vagy a szavak poliszémiája abból adódik, hogy a nyelv a valóság végtelen sokféleségéhez képest korlátozott rendszert képvisel, így Vinogradov akadémikus szavaival élve: „A nyelv számtalan jelentést kénytelen elosztani egy, ill. az alapfogalmak újabb rubrikája.” (Vinogradov „orosz nyelv” 1947). Különbséget kell tenni az egy-egy lexikai-szemantikai változatban előforduló szóhasználatok és a szó tényleges különbsége között. Így például a (das)Ol szó számos különféle olajat jelölhet, kivéve a tehénolajat (amelyre létezik egy vaj szó). Ebből azonban nem következik, hogy különböző olajokat jelölve az Ol szónak minden alkalommal más jelentése lesz: minden esetben ugyanaz lesz a jelentése, mégpedig az olaj (minden, kivéve a tehénét). Csakúgy, mint például a Tisch-tábla szó jelentése, függetlenül attól, hogy a szó ebben az esetben milyen típusú táblázatot jelöl. Más a helyzet, ha az Ol szó olajat jelent. Itt már nem az olaj hasonlósága a különböző olajfajtákhoz való olajosság tekintetében, hanem az olaj különleges minősége - gyúlékonysága kerül előtérbe. És egyúttal a jelző szavak különböző fajtáküzemanyagok: Kohl, Holz stb. Ez lehetőséget ad arra, hogy két jelentést különböztessünk meg az Ol szótól (vagy más szóval két lexikális-szemantikai opciót): 1) olaj (nem állat) 2) olaj.
Jellemzően új jelentések keletkeznek a meglévő szavak egyikének egy új tárgyra vagy jelenségre való átvitelével. Így alakulnak ki az átvitt jelentések. Ezek vagy az objektumok hasonlóságán, vagy az egyik objektumnak a másikkal való kapcsolatán alapulnak. A névátvitelnek több fajtája ismert. Közülük a legfontosabb a metafora vagy a metonímia.
A metaforában az átvitel a dolgok színében, alakjában, a mozgás természetében stb. való hasonlóságon alapul. Minden metaforikus változás mellett megmarad némi jele az eredeti koncepciónak

Homonímia

A szó poliszémiája olyan nagy és sokrétű probléma, hogy a lexikológiai problémák sokfélesége kapcsolódik hozzá valamilyen módon. Különösen a homonímia problémája kerül kapcsolatba ezzel a problémával bizonyos szempontból.
A homonimák ugyanolyan hangzású, de eltérő jelentésű szavak. Egyes esetekben a homonimák olyan poliszémiából származnak, amely pusztulási folyamaton ment keresztül. De a homonimák véletlenszerű hangegybeesések eredményeként is keletkezhetnek. A kulcs, ami kinyitja az ajtót, és a kulcs a rugó vagy a kasza - frizura és kasza - mezőgazdasági szerszám - ezek a szavak eltérő jelentéseés különböző eredetűek, de hangzásukban véletlenül egybeestek.
A homonimákat lexikális (hivatkozzon egy szórészre pl. kulcs - zár kinyitásához és kulcs - rugó. forrás) morfológiai (lásd: Különböző részek beszéd, pl. három számnév, három felszólító módú ige), lexiko-grammatikai, amelyek az átalakítás eredményeként jönnek létre, amikor egy adott szó átmegy egy másik szófajba. például angolul nézd-nézz és nézd-nézz. Különösen sok lexiko-grammatikai homonima van benne angol nyelv.
A homofonokat és a homográfokat meg kell különböztetni a homonimáktól. A homofonok különböző szavak, amelyek bár írásmódjukban eltérőek, kiejtésükben megegyeznek, például: hagyma - rét, Seite - oldal és Saite - karakterlánc.
A homográfok annyira különböző szavak, amelyeknek ugyanaz az írásmódja, bár másképp ejtik őket (mind a hangösszetétel, mind a szó hangsúlyozási helye szempontjából), például Vár - vár.

Szinonímia

A szinonimák olyan szavak, amelyek jelentésükben közel állnak, de eltérően hangzanak, és egy fogalom árnyalatait fejezik ki.
A szinonimák három típusa létezik:
1. Fogalmi vagy ideográfiai. Lexikális jelentésükben különböznek egymástól. Ez a különbség a megjelölt attribútum (fagy - hideg, erős, erős, erős), jelölésének jellegében (párnázott kabát - steppelt kabát - bélelt kabát) -, a kifejezett koncepció terjedelmében (banner) nyilvánul meg. - zászló, merész - félkövér), a lexikális jelentések koherenciájában (barna - mogyoró, fekete - holló).
2. A szinonimák stilisztikai vagy funkcionálisak. A felhasználási körben különböznek egymástól, például szem - szem, arc - arc, homlok - homlok. Szinonimák érzelmileg - értékelő. Ezek a szinonimák nyíltan kifejezik a beszélő hozzáállását a kijelölt személyhez, tárgyhoz vagy jelenséghez. Például egy gyereket ünnepélyesen lehet gyereknek nevezni, szeretettel kisfiúnak és kisfiúnak, megvetően fiúnak és baleknak, valamint felfokozottan és lenézően kölyökkutyának, baleknak, kölyöknek.
3. Antonímák - egymással ellentétes szavak kombinációi lexikális jelentése, például: felső - alsó, fehér - fekete, beszéd - néma, hangos - halk.

Antonímia

Az antonimák három típusa létezik:
1. A fokozatos és összehangolt ellenkezés antonimája, például fehér - fekete, halk - hangos, közeli - távoli, jó - gonosz stb. Ezeknek az antonimáknak van valami közös jelentésük, ami lehetővé teszi, hogy szembeállítsák őket. Tehát a fekete-fehér fogalmak ellentétes színfogalmakat jelölnek.
2. Kiegészítő és megtérő ellentétek antonimája: háború - béke, férj - feleség, házas - hajadon, lehetséges - lehetetlen, zárt - nyitott.
3. A fogalmak dichotóm felosztásának antonimája. Gyakran ugyanazok a szavak: népi - nemzetellenes, legális - illegális, humánus - embertelen.
Érdekesség az ún szóközi antonímia, amikor az azonos anyaghéjjal rendelkező szavak jelentését szembeállítják egymással. Például az oroszban a pénzt kölcsön adni valakinek ige azt jelenti, hogy „kölcsön”, és valakitől pénzt kölcsönözni már azt jelenti, hogy pénzt kölcsönöz valakitől. A szavakon belüli jelentések szembeállítását enantiosémiának nevezzük.

6. A rendszer axiomatikus felépítése természetes számok. Axiomatikus módszer a matematikai elmélet felépítésére. Az axiómarendszerrel szemben támasztott követelmények: következetesség, függetlenség, teljesség. Peano axiomatikája. A természetes szám fogalma axiomatikus pozícióból. A Peano axiómarendszer modelljei. Természetes számok összeadása és szorzása axiomatikus pozíciókból. A természetes számok halmazának rendezettsége. A természetes számok halmazának tulajdonságai. Természetes számok halmazának kivonása és osztása axiomatikus pozíciókból. Módszer matematikai indukció. Nulla bevezetése és nemnegatív egész számok halmazának felépítése. Tétel a maradékkal való osztásról.

Alapfogalmak és definíciók

Szám - ez egy bizonyos mennyiség kifejezése.

Természetes szám egy végtelenül folytatódó sorozat eleme.

Természetes számok (természetes számok) - a számolás során természetesen felmerülő számok (mind a felsorolás, mind a számítás értelmében).

Kétféle megközelítés létezik a természetes számok meghatározására – a számokban használatos:

tételek felsorolása (számozása) (első, második, harmadik, ...);

cikkszám megjelölése (nincs tétel, egy tétel, két tétel, ...).

Axióma – ezek egy adott elmélet alapvető kiindulópontjai (magától értetődő alapelvei), amelyekből ennek az elméletnek a többi tartalmát dedukcióval, azaz tisztán logikai eszközökkel vonják ki.

Azt a számot, amelynek csak két osztója van (magának a számnak és egynek) nevezzük - prímszám.

Összetett szám olyan szám, amelynek kettőnél több osztója van.

§2. Természetes számok axiomatikája

A természetes számokat tárgyak megszámlálásával és mennyiségek mérésével kapjuk. De ha a mérés során a természetes számoktól eltérő számok jelennek meg, akkor a számlálás csak természetes számokhoz vezet. A számoláshoz olyan számsorra van szükség, amely eggyel kezdődik, és lehetővé teszi, hogy az egyik számról a másikra annyiszor váltson, ahányszor szükséges. Más szóval, szükségünk van a természetes sorozat egy szegmensére. Ezért a természetes számrendszer igazolási problémájának megoldása során mindenekelőtt arra a kérdésre kellett választ adni, hogy mi a szám a természetes sorozat elemeként. Erre két matematikus munkája adta meg a választ - a német Grassmann és az olasz Peano. Olyan axiomatikát javasoltak, amelyben a természetes számot egy végtelenül folytatódó sorozat elemeként indokolták.

A természetes számrendszer axiomatikus felépítése a megfogalmazott szabályok szerint történik.

Az öt axióma az alapfogalmak axiomatikus meghatározásának tekinthető:

1 természetes szám;

A következő természetes szám természetes szám;

1 nem követ semmilyen természetes számot;

Ha természetes szám A természetes számot követ bés túl a természetes számon Val vel, Azt bÉs Val vel azonosak;

Ha bármely állítás 1-re igazolt, és ha abból a feltételezésből, hogy természetes számra igaz n, ebből az következik, hogy igaz a következőkre n természetes szám, akkor ez a mondat minden természetes számra igaz.

Mértékegység– ez a természetes sorozat első száma , valamint a decimális számrendszer egyik számjegye.

Úgy gondolják, hogy az azonos jelű (meglehetősen közel a modern) kategóriájú egységek megjelölése először az ókori Babilonban jelent meg körülbelül ie 2 ezer évvel. e.

Az ókori görögök, akik csak a természetes számokat tekintették számoknak, mindegyiket egységek gyűjteményének tekintették. Maga az egység különleges helyet kapott: nem számított számnak.

I. Newton ezt írta: „...szám alatt nem annyira egységek gyűjteményét értjük, mint inkább egy mennyiségnek egy másik mennyiséghez való absztrakt viszonyát, amelyet konvencionálisan egységként fogadunk el.” Így az egyik már elfoglalta az őt megillető helyet a többi szám között.

A számokkal végzett aritmetikai műveleteknek sokféle tulajdonságuk van. Leírhatók szavakkal, például: „Az összeg nem változik a kifejezések helyének megváltoztatásával.” Leírhatod betűkkel: a+b = b+a. Speciális kifejezésekkel is kifejezhető.

Az aritmetika alaptörvényeit gyakran megszokásból alkalmazzuk, anélkül, hogy észrevennénk:

1) kommutatív törvény (kommutativitás), – a számok összeadásának és szorzásának tulajdonsága, azonosságokkal kifejezve:

a+b = b+a a*b = b*a;

2) kombinációs törvény (asszociativitás), - a számok összeadásának és szorzásának tulajdonsága, azonosságokkal kifejezve:

(a+b)+c=a+(b+c) (a*b)*c=a*(b*c);

3) elosztási törvény (distributivitás), - a számok összeadását és szorzását összekapcsoló, azonosságokkal kifejezett tulajdonság:

a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.

A szorzás kommutatív, kombinatív és disztributív (összeadáshoz kapcsolódó) törvényeinek bizonyítása után az elmélet továbbépítése aritmetikai műveletek a természetes számok felett nem jelent alapvető nehézséget.

Jelenleg fejben vagy papírlapon csak a legegyszerűbb számításokat végezzük, egyre inkább számítógépekre, számítógépekre bízva az összetettebb számítási munkákat. Azonban minden számítógép – egyszerű és összetett – működése a legegyszerűbb műveleten – a természetes számok összeadásán – alapul. Kiderült, hogy a legbonyolultabb számítások összeadásra redukálhatók, de ezt a műveletet sok milliószor kell elvégezni.

Axiomatikus módszerek a matematikában

A matematikai logika fejlődésének egyik fő oka az elterjedtség axiomatikus módszer a különféle matematikai elméletek felépítésében mindenekelőtt a geometria, majd az aritmetika, a csoportelmélet stb. Axiomatikus módszer olyan elméletként definiálható, amely meghatározatlan fogalmak és a köztük lévő kapcsolatok előre kiválasztott rendszerére épül.

Egy matematikai elmélet axiomatikus felépítésében előzetesen meghatározatlan fogalmak és a köztük lévő kapcsolatok egy bizonyos rendszere kerül kiválasztásra. Ezeket a fogalmakat és összefüggéseket nevezzük alapnak. Ezután lépjen be axiómák azok. a vizsgált elmélet főbb rendelkezéseit, bizonyítás nélkül elfogadva. Az elmélet minden további tartalma logikusan az axiómákból származik. A matematikai elmélet axiomatikus felépítésére először Eukleidész vállalkozott a geometria felépítésében.

OZO MATEMATIKA 1. évfolyam 2. félév

1. példa: Indokoljuk meg a probléma megoldása során választott intézkedést: „Vettünk 4 csomag színes papírt, és 3 csomaggal több fehér papírt. Hány csomag fehér papírt vettél?

Megoldás. A problémában arról beszélünk körülbelül két szett. Legyen A színes papírcsomagok halmaza, B pedig fehér papírcsomagok halmaza. Feltétel szerint a színes papír csomagok száma ismert, i.e. n(A)=4, és meg kell találni a B halmaz méretét. Ezen kívül a feladat feltételeinek megfelelően a B halmazban kiválaszthatunk egy C részhalmazt, aminek a száma 3, azaz. n(C)=3. Tegyük ezt például az ábrán látható módon. 1.

1. kép

Ekkor a B \ C = B 1 különbség egyenlő lesz az A halmazzal, azaz. n(B 1) = n(A).

Így B halmaz a B 1 és C halmazok uniója, ahol B 1 C=Æ.

A probléma két diszjunkt halmaz uniójának méretének meghatározásában merül ki, és összeadással oldható meg: n(B) = n(B 1 C) = n(B 1) + n(C); n(B) = 4+3 = 7.

2. példa: A szám fogalmát nagyságmérőként használva indokolni fogjuk a cselekvés megválasztását a feladat megoldása során: „A szoknyához 3 m, a blúzhoz 2 m szövetet használtak. Hány méter szövet ment az egész öltönybe?

Megoldás: A probléma egy mennyiséggel – hosszúsággal – foglalkozik, amelyet 1 méteres mértékegység segítségével mérünk, mert a hossza folytonos, akkor a feladatválasztást szegmensekkel magyarázzuk el (2. ábra).

Legyen e=1m, az a szegmens a szoknyához használt anyag hosszát mutatja, a=3e. A b szegmens a blúzhoz használt anyag hosszát mutatja, b = 2e. Mert A feladatban meg kell találnia az összes felhasznált szövet mennyiségét, majd a c szegmens jelzi az összes felhasznált szövet mennyiségét: c = a + b.

2. ábra

a=3e b=2e m e (c)= m e (a)+m e (c) m e (c) = 2+3 m e (c) = 5 Válasz: 5 m.

3. példa: A számfogalmat nagyságmérőként használva indokolni fogjuk a cselekvés megválasztását a feladat megoldása során: „Az első dobozban 12 kg-mal, a másodikban 3 kg-mal kevesebb volt. Hány kilogramm süti volt a második dobozban?

Megoldás: A probléma a mennyiségi tömeggel foglalkozik, melynek mértékegysége 1 kilogramm, e = 1 kg, mert mennyiség, tömeg folytonos, akkor szegmensekkel magyarázzuk el a cselekvés megválasztását a feladat megoldásánál (3. ábra).

Legyen e = 1 kg, az a szegmens azt mutatja, hogy hány kilogramm süti volt az első dobozban, a = 12e.

A b szegmens azt mutatja, hogy a második dobozban hány kilogrammal volt kevesebb süti, mint az elsőben, b = 3e.

A c szegmens azt mutatja, hogy hány kilogramm süti volt a második dobozban, m e (c) - ? Ismeretes, hogy a második dobozban 3 kg-mal kevesebb süti van, mint az elsőben, pl. ugyanaz, de 3-mal kevesebb.

Legyen d=a, akkor c = d – b. a = 12e, ami azt jelenti, hogy d = 12e. m e (c) = m e (d)-m e (c) m e (c) = 12-3 m e (c) = 9

3. ábra

Válasz: A második dobozban 9 kilogramm süti volt.

Bármely matematikai elmélet axiomatikus megalkotásakor bizonyos szabályokat be kell tartani:

Az elmélet egyes fogalmait úgy választjuk meg fő-és definíció nélkül elfogadják;

Az elmélet minden fogalma, amely nem szerepel az alapvetőek listáján, definíciót kap, jelentését az alapvető és az előzőek segítségével magyarázzuk el benne. adott fogalmak;

Meg vannak fogalmazva axiómák- olyan javaslatok, amelyeket ebben az elméletben bizonyíték nélkül elfogadnak; feltárják az alapfogalmak tulajdonságait;

Minden olyan elméleti tételt, amely nem szerepel az axiómák listáján, bizonyítani kell; az ilyen állításokat tételeknek nevezzük, és a vizsgált tételt megelőző axiómák és tételek alapján bizonyítják.

Ha egy elmélet felépítése axiomatikus módszerrel történik, pl. a fent említett szabályok szerint, akkor azt mondják, hogy az elmélet felépített deduktív módon.

Egy elmélet axiomatikus felépítésében lényegében minden állítást axiómák bizonyításával vezetnek le. Ezért speciális követelményeket támasztanak az axiómarendszerrel szemben. Először is következetesnek és függetlennek kell lennie.

Az axiómarendszert ún következetes, ha két egymást kizáró mondat nem vezethető le logikailag belőle.

Ha egy axiómarendszer nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, akkor nem lehet alkalmas tudományos elmélet alátámasztására.

Az axióma következetes rendszerét ún független, ha ennek a rendszernek egyik axiómája sem következménye e rendszer más axiómáinak.

Ugyanannak az elméletnek axiomatikus megkonstruálásakor használhatjuk különböző rendszerek alapigazság. De egyenértékűnek kell lenniük. Ezenkívül egy adott axiómarendszer kiválasztásakor a matematikusok figyelembe veszik, hogy a jövőben milyen egyszerűen és világosan lehet bizonyítani a tételeket. De ha az axiómák megválasztása feltételes, akkor maga a tudomány vagy egy külön elmélet nem függ semmilyen feltételtől - ezek a való világ tükröződései.

A természetes számrendszer axiomatikus felépítése a megfogalmazott szabályok szerint történik. Ezt az anyagot tanulmányozva meg kell látnunk, hogyan vezethető le a természetes számok teljes aritmetikája az alapfogalmakból és axiómákból. Természetesen ennek bemutatása tanfolyamunkon nem lesz mindig szigorú – néhány bizonyítást nagy bonyolultságuk miatt kihagyunk, de minden ilyen esetet megbeszélünk.

Gyakorlat

1. Mi a lényege az elméletalkotás axiomatikus módszerének?

2. Igaz, hogy az axióma olyan állítás, amely nem igényel bizonyítást?

3. Nevezze meg az iskolai planimetria tantárgy alapfogalmait! Emlékezzen néhány axiómára ebből a tanfolyamból. Milyen fogalmak tulajdonságai vannak leírva bennük?

4. Határozzon meg egy téglalapot, általános fogalomként a paralelogrammát választva. Nevezzen meg három olyan fogalmat, amelynek meg kell előznie a „parallelogramma” fogalmát a geometria tanfolyamon!

5. Milyen mondatokat nevezünk tételeknek? Ne feledje, mi a tétel logikai felépítése, és mit jelent a tétel bizonyítása.

Alapfogalmak és axiómák. A természetes szám definíciója

A természetes számok aritmetikájának axiomatikus felépítésének alapfogalmaként a „közvetlenül követni” relációt veszik, egy nem üres halmazon definiálva. N. Ismertnek számít a halmaz fogalma, a halmazelem és más halmazelméleti fogalmak, valamint a logika szabályai is.

Az elemet közvetlenül követő elem A, jelöli A".

A „közvetlenül követni” attitűd lényegét a következő axiómák tárják fel.

1. axióma. Az N halmazban van egy elem, amely nem követi közvetlenül a halmaz egyik elemét sem. Egységnek nevezzük, és az 1-es szimbólummal jelöljük.

Axióma 2. Minden elemre és N-től csak egy elem van a", rögtön utána A.

Axióma 3. Minden elemre A Az N-ben legfeljebb egy elem van, amelyet közvetlenül követ A.

4. axióma. Minden részhalmaz M készletek N egybeesik N, ha a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1) 1 benne van M; 2) attól, hogy A tartalmazza M, ebből következik, hogy A" tartalmazza M.

A megfogalmazott axiómákat gyakran Peano-axiómáknak nevezik.

Az "azonnal követni" összefüggés és az 1-4 axiómák felhasználásával a következő definíciót adhatjuk a természetes számra.

Meghatározás. Egy csomó N, amelynek elemeire az 1-4 axiómákat kielégítő „közvetlenül követett” reláció jön létre, természetes számok halmazának nevezzük, elemeit pedig- természetes számok.

BAN BEN ezt a meghatározást semmit sem mondanak a halmaz elemeinek természetéről N. Szóval bármi lehet. Kiválasztás mint

Az N halmaz egy meghatározott halmaz, amelyen egy konkrét „azonnal követni” reláció van megadva, kielégítve az 1-4 axiómákat, kapjuk adott axiómarendszer modellje. A matematikában bebizonyosodott, hogy az összes ilyen modell között egy-egy megfeleltetés létesíthető, megőrizve a „közvetlen követés” relációt, és minden ilyen modell csak az elemek jellegében, elnevezésében és megnevezésében tér el. A Peano axiómarendszer standard modellje a társadalom történelmi fejlődésének folyamatában megjelent számok sorozata:

A sorozat minden számának megvan a maga megnevezése és neve, amelyet ismertnek tekintünk.

Ha a természetes számsorokat az 1-4 axiómák egyik modelljének tekintjük, meg kell jegyezni, hogy ezek ennek a sorozatnak a kialakulásának folyamatát írják le, és ez akkor történik meg, amikor az axiómákban feltárulnak a „közvetlenül követett” összefüggés tulajdonságai. . Így a természetes sorozat az 1-es számmal kezdődik (1. axióma); minden természetes számot közvetlenül egyetlen természetes szám követ (2. axióma); minden természetes szám közvetlenül legfeljebb egy természetes számot követ (3. axióma); az 1-es számból kiindulva és az egymást közvetlenül követő természetes számokhoz haladva megkapjuk ezeknek a számoknak a teljes halmazát (4. axióma). Vegyük észre, hogy a 4. axióma formálisan írja le a természetes sorozat végtelenségét, és ezen alapul a természetes számokra vonatkozó állítások bizonyítása.

Általában a Peano axiómarendszer modellje bármilyen megszámlálható halmaz lehet, például:!..

Vegyünk például egy olyan halmazsorozatot, amelyben az (oo) halmaz a kezdeti elem, és minden további halmazt az előzőből kapunk egy újabb kör hozzáadásával (108. ábra, a). Akkor N van egy halmaz, amely a leírt alakú halmazokból áll, és ez a Peano axiómarendszer modellje. Valóban, az N halmazban van egy elem (oo), amely nem követi azonnal ennek a halmaznak egyik elemét sem, azaz.

van egy egyedi készlet, amelyből beszerezhető A egy kör hozzáadásával, azaz minden halmazra teljesül a 2. axióma A legfeljebb egy halmaz létezik, amelyből halmaz keletkezik A egy kör hozzáadásával, azaz. A 3. axióma érvényes, ha MÌ Nés köztudott, hogy sokan A tartalmazza M, ebből következik, hogy egy halmaz, amelyben eggyel több kör van, mint a halmazban A, is tartalmazza M, Hogy M = N(és ezért teljesül a 4. axióma).

Vegyük észre, hogy a természetes szám definíciójában egyik axióma sem hagyható ki - bármelyikre lehet olyan halmazt alkotni, amelyben a másik három axióma teljesül, de ez az axióma nem teljesül. Ezt az álláspontot egyértelműen megerősítik a 109. és 110. ábrán látható példák. A 109a. ábra egy halmazt mutat, amelyben a 2. és 3. axióma teljesül, de az 1. axióma nem teljesül (a 4. axiómának nem lesz értelme, mivel nincs elem a készlet, közvetlenül nem követ mást). A 109b. ábra egy halmazt mutat, amelyben az 1., 3. és 4. axióma teljesül, de az elem mögött A két elem következik azonnal, és nem egy, ahogy azt a 2. axióma megköveteli. A 109c. ábra egy halmazt mutat, amelyben az 1, 2, 4 axiómák teljesülnek, de az elem Val vel azonnal elemként következik A,és az elem mögött b. A 110. ábra egy halmazt mutat, amelyben az 1, 2, 3 axiómák teljesülnek, de a 4. axióma nem teljesül - a sugáron fekvő pontok halmaza, amely tartalmazza a közvetlenül utána következő számot, de nem esik egybe a teljes halmazzal. ábrán látható pontok.

Az a tény, hogy az axiomatikus elméletek nem beszélnek a vizsgált fogalmak „igazi” természetéről, első pillantásra túlságosan elvonttá és formálissá teszi ezeket az elméleteket – kiderül, hogy ugyanazokat az axiómákat különböző objektumkészletek és a köztük lévő eltérő kapcsolatok elégítik ki. Ez a látszólagos absztrakció azonban az axiomatikus módszer erőssége: minden ezekből az axiómákból logikusan levezetett állítások bármely objektumhalmazra alkalmazhatók, mindaddig, amíg az axiómákat kielégítő relációk vannak definiálva bennük.

Tehát egy természetes számrendszer axiomatikus felépítését az „azonnal következzen” alapreláció és a tulajdonságait leíró axiómák kiválasztásával kezdtük meg. Az elmélet további felépítése magában foglalja a természetes számok ismert tulajdonságainak és a velük végzett műveleteknek a figyelembevételét. Ezeket fel kell tárni definíciókban és tételekben, pl. pusztán logikailag a „közvetlenül követni” összefüggésből származnak, és az 1-4. axiómák.

Az első fogalom, amelyet a természetes szám meghatározása után bevezetünk, a „közvetlenül megelőzi” reláció, amelyet gyakran használnak a természetes szám tulajdonságainak figyelembevételekor.

Meghatározás. Ha egy b természetes szám közvetlenül követi az a természetes számot, akkor azt mondjuk, hogy az a szám közvetlenül megelőzi (vagy megelőzi) a b számot.

A „megelőzi” relációnak számos tulajdonsága van. Tételként fogalmazzák meg, és az 1-4 axiómák segítségével bizonyítják.

1. tétel. Az egységnek nincs előtte természetes szám.

Ennek az állításnak az igazsága közvetlenül az 1. axiómából következik.

2. tétel. Minden természetes szám A, 1-től eltérő, előtte van egy szám b, oly módon, hogy b ¢ = a.

Bizonyíték. Jelöljük azzal M a természetes számok halmaza, amely az 1-es számból és minden olyan számból áll, amelyeknek elődje van. Ha a szám A tartalmazza M, ez a szám A" ben is kapható M, mivel megelőzi A" a szám A. Ez azt jelenti, hogy sokan M 1-et tartalmaz, és attól, hogy a szám A sokakhoz tartozik M, ebből következik, hogy a szám A" tartozik M. Ezután a 4. axióma szerint a halmaz M egybeesik az összes természetes szám halmazával. Ez azt jelenti, hogy 1 kivételével minden természetes számnak van egy előtte.

Ne feledje, hogy a 3. axióma értelmében az 1-től eltérő számok előtt egyetlen szám szerepel.

A természetes számok elméletének axiomatikus felépítését nem veszik figyelembe sem a kezdetben, sem az in Gimnázium. A „közvetlenül következik” reláció azon tulajdonságai azonban, amelyek Peano axiómáiban tükröződnek, a matematika kezdeti kurzusának vizsgálatának tárgyát képezik. Már az első osztályban az első tíz számait figyelembe véve világossá válik, hogy az egyes számokat hogyan lehet megszerezni. A „követi” és „megelőzi” fogalmakat használjuk. Minden új szám a természetes számsor vizsgált szegmensének folytatásaként működik. A tanulók meg vannak győződve arról, hogy minden számot a következő követ, és ráadásul csak egy dolog, hogy a számok természetes sorozata végtelen. És természetesen az axiomatikus elmélet ismerete segít a tanárnak módszeresen és hozzáértően megszervezni a gyermekek számára a természetes számsor jellemzőinek asszimilációját.

Feladatok

1.Fogalmazható-e a 3. axióma a következőképpen: „Minden elemre A tól től N van egyetlen elem, amelyet közvetlenül a"?

2. Válassza ki a feltételt és a következtetést a 4. axiómában, írja le azokat az О, => szimbólumokkal.

3. Folytassa a természetes szám meghatározását: „A természetes szám a Î, Þ halmaz eleme.

Kiegészítés

Az axiomatikus elmélet felépítésének szabályai szerint a természetes számok összeadásának definícióját csak az „azonnal követni” relációval, valamint a „természetes szám” és „előző szám” fogalmával kell bevezetni.

Kezdjük az összeadás definícióját a következő megfontolásokkal. Ha bármely természetes számra A adjunk hozzá 1-et, megkapjuk a számot A", közvetlenül utána a, azaz. A + 1 = A",és ezért megkapjuk azt a szabályt, hogy tetszőleges természetes számhoz adjunk 1-et. De hogyan adjunk hozzá egy számot A természetes szám b, különbözik az 1-től? Használjuk a következő tényt: ha tudjuk, hogy 2 + 3 = 5, akkor a 2 + 4 összeg egyenlő a 6-tal, amely közvetlenül az 5-ös számot követi. Ez azért történik, mert a 2 + 4 összegben a második tag a szám közvetlenül a 3-as szám után Így az összeg A+ b" meg lehet találni, ha ismert az összeg A+ b. Ezek a tények képezik az alapját a természetes számok összeadásának definíciójának az axiomatikus elméletben. Ezenkívül az algebrai művelet fogalmát használja.

Meghatározás. A természetes számok összeadása egy algebrai művelet, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) ("A Î N ) a + 1=a",

2) (" A, b Î) a + b" = (a + b)".

Szám A+ b számok összegének nevezzük AÉs b,és maguk a számok AÉs b-feltételeket.

Mint ismeretes, bármely két természetes szám összege is természetes szám, és minden természetes szám esetén AÉs bösszeg A+ b- az egyetlen. Más szóval, a természetes számok összege létezik és egyedi. A definíció sajátossága, hogy nem tudni előre, hogy van-e olyan algebrai művelet, amelyik rendelkezik a megadott tulajdonságokkal, és ha létezik, akkor az egyedi? Ezért a természetes számok axiomatikus elméletének megalkotásakor a következő állítások bizonyítást nyernek:

3. tétel. A természetes számok összeadása létezik, és ez egyedi.

Ez a tétel két állításból (két tételből) áll:

1) létezik természetes számok összeadása;

2) a természetes számok összeadása egyedi.

A létezés és az egyediség általában összefügg, de legtöbbször függetlenek egymástól. Egy tárgy létezése nem jelenti annak egyediségét. (Például, ha azt mondod, hogy van egy ceruzád, ez nem jelenti azt, hogy csak egy van.) Az egyediség állítás azt jelenti, hogy nem lehet két objektum adott tulajdonságokkal. Az egyediséget gyakran ellentmondás bizonyítja: feltételezzük, hogy van két objektum, amely megfelel egy adott feltételnek, majd felépítjük a deduktív következtetések láncát, amely ellentmondáshoz vezet.

A 3. Tétel igazságának igazolására először bebizonyítjuk, hogy ha a halmazban N van egy 1. és 2. tulajdonságú művelet, akkor ez a művelet egyedi; akkor bebizonyítjuk, hogy létezik az 1. és 2. tulajdonságú összeadás művelete.

Az összeadás egyediségének bizonyítéka. Tegyük fel, hogy a halmazban N Két összeadási műveletnek van 1 és 2 tulajdonsága. Az egyiket +, a másikat Å jellel jelöljük. Ezekhez a műveletekhez a következőket kínáljuk:

1) egy + 1 = A"; 1) AÅ =a"\

2) a + b" = (a + b)" 2) AÅ b" = (aÅ b)".

Bizonyítsuk be

("a, bÎ N )a + b=aÅ b. (1)

Legyen a szám A véletlenszerűen választott, és b M b, amelyre igaz az (1) egyenlőség.

Könnyen ellenőrizhető, hogy 1 О M. Valóban, attól a ténytől A+ 1 = A"=AÅ 1 ebből az következik egy + 1 =aÅ 1.

Most bizonyítsuk be, hogy ha bÎ M, Hogy b" О М, azok. Ha a + b = aÅ b, Hogy A+ b" = aÅ b". Mert a + b - aÅ b, akkor a 2. axióma szerint (a + b)" = (aÅ b)",és akkor a + b" - (a + b)" = (aÅ b)" = aÅ b". Mivel sokan M 1-et és minden számmal együtt tartalmaz b számot is tartalmaz b¢ majd a 4. axióma szerint a halmaz M egybeesik N, ami egyenlőséget jelent (1) b. A szám óta Aönkényesen választották, akkor az (1) egyenlőség bármely természetesre igaz AÉs b, azok. + és Å műveletek egy halmazon N csak megnevezésekben térhetnek el egymástól.

Az összeadás létezésének igazolása. Mutassuk meg, hogy létezik az összeadás definíciójában megadott 1-es és 2-es tulajdonságú algebrai művelet.

Hadd M - azoknak és csak azoknak a számoknak a halmaza A, amelyeknél meg lehet határozni a + b hogy az 1. és 2. feltétel teljesüljön. Mutassuk meg, hogy 1 О M. Ehhez bármilyen b tegyük fel

1+b=b¢.(2)

1)1 + 1 = 1¢ - a (2) szabály szerint, azaz. érvényesül az egyenlőség egy + 1 = A" nál nél A= 1.

2)1 + b"= (b")¢b= (1 + b)"- szabály szerint (2), azaz az egyenlőség fennáll a + b"= (a + b)" nál nél a = 1.

Tehát 1 a halmazhoz tartozik M.

Tegyünk úgy, mintha A tartozik M. Ezen feltevés alapján megmutatjuk A" tartalmazza M, azok. hogy az összeadás definiálható A"és bármilyen szám b hogy az 1. és 2. feltétel teljesüljön, ehhez beállítjuk:

A"+ b =(egy + b)".(3)

Mivel feltételezve a szám a + b akkor a 2. axióma határozza meg, az egyetlen módja a szám is meg van határozva (A+ b)". Ellenőrizzük, hogy teljesül-e az 1. és 2. feltétel:

1)a" + 1 = (egy + 1)" = (A")".És így, A"+ 1 = (a")".

2)a" + b" = (a+ b¢)"= ((a + b)")"= (a" + b)".És így, a" + b" = = (a" + b)".

Tehát megmutattuk, hogy a készlet M 1-et és minden számmal együtt tartalmaz A számot tartalmaz A". A 4. axióma szerint arra a következtetésre jutunk, hogy a halmaz M sok természetes szám van. Így van egy szabály, amely bármilyen természetes számot megenged AÉs b egyedileg találni egy ilyen természetes számot a + b, hogy az összeadás definíciójában megfogalmazott 1. és 2. tulajdonság teljesül.

Mutassuk meg, hogy az összeadás definíciójából és a 3. Tételből hogyan vezethető le a jól ismert egyjegyű számok összeadási táblázata.

Állapodjunk meg a következő jelölésben: 1" = 2; 2" = 3; 3¢ =4; 4"=5 stb.

A következő sorrendben állítunk össze egy táblázatot: először tetszőleges egyjegyű természetes számhoz adunk egyet, majd kettőt, majd hármat stb.

1 + 1 = 1¢ az összeadás definíciójának 1. tulajdonsága alapján. De megegyeztünk abban, hogy 1¢-t 2-ként jelöljük, ezért 1 + 1 = 2.

Hasonlóképpen 2+1=2" = 3; 3 + 1=3" = 4 stb.

Tekintsük most azokat az eseteket, amikor a 2-es számot hozzáadjuk bármely egyértékű természetes számhoz.

1+2 = 1 + 1¢ - az elfogadott jelölést használtuk. De 1 + 1¢ = = (1 + 1)" az összeadás definíciójának 2. tulajdonsága szerint, 1 + 1 a 2, amint azt fentebb leírtuk.

1 +2 = 1 + 1" = (1 +1)" = 2" = 3.

Hasonlóképpen 2 + 2 = 2 + 1" = (2 + 1)" = 3" = 4; 3 + 2 = 3 + 1¢= (3 + 1)" = = 4" = 5 stb.

Ha ezt a folyamatot folytatjuk, megkapjuk az egyjegyű számok összeadásának teljes táblázatát.

A természetes számrendszer axiomatikus felépítésének következő lépése az összeadás tulajdonságainak bizonyítása, és először az asszociativitás, majd a kommutativitás stb.

4. tétel.(" ABCО N )(a + b)+ Val vel= A+ (b+ Val vel).

Bizonyíték. Legyen a természetes számok AÉs b véletlenszerűen választott, és Val vel különféle természetes jelentéseket vesz fel. Jelöljük azzal M mindazoknak és csak azoknak a természetes számoknak a halmaza, amelyekre az egyenlőség (a+b) +c = a+(b+c) jobb.

Először bizonyítsuk be, hogy 1 О M, azok. ügyeljünk arra, hogy az egyenlőség igazságos legyen (A+ b)+ 1 = A+ (b+ 1) Valóban, az összeadás definíciója szerint megvan (a + b)+ 1 = (A+ b)"= A+ b"= A+ (b+ 1).

Most bizonyítsuk be, hogy ha c О М, akkor c" О M, azok. egyenlőségtől (A+ b)+ c = a+ (b + c) egyenlőség következik (A+ b)+ Val vel"= A+ (b + c"). (A+ b)+ Val vel"= ((A + b)+ Val vel)". Aztán az egyenlőség alapján (A+ b) + c= a + (b + c)írható: ((A+ b)+ c)" = (a+ (b+ Val vel))". Ahonnan az összeadás definíciója szerint ezt kapjuk: ( a + (b+ c))" = a + (b + c)" = a + (b + c") .

M 1-et tartalmaz, és attól, hogy Val vel tartalmazza M, ebből következik, hogy Val vel" tartalmazza M. Ezért a 4. axióma szerint M= N, azok. egyenlőség ( A + b)+ Val vel= a + (b + c) igaz bármely természetes számra Val vel,és mivel a számok AÉs bönkényesen választották ki, akkor minden természetes számra igaz AÉs b, Q.E.D.

5. tétel.("a, bÎ N) a+ b= b+ A.

Bizonyíték. Két részből áll: először bebizonyítják, hogy (" aО N) A+1 = 1+aÉs akkor mi van(" a, bО N ) a + b=b+ A.

1 .Bizonyítsuk be, hogy (" A TOVÁBB) a+ 1=1+a. Hadd M - mindazok és csak azok a számok halmaza A, amelyre egyenlőség A+ 1 = 1 + A igaz.

Mivel 1+1=1 + 1 igaz egyenlőség, ezért 1 a halmazhoz tartozik M.

Most bizonyítsuk be, hogy ha AÎ M, Hogy A"Î M, vagyis az egyenlőségtől egy + 1 = 1 + A egyenlőség következik a" + 1 = 1 + A". Igazán, a" + 1 = (egy + 1) + 1 az összeadás első tulajdonságával. Ezután az (a + 1) + 1 kifejezés átalakítható (1 + a) + 1, az egyenlőség használatával A+ 1 = 1 + A. Ekkor az asszociációs törvény alapján a következőket kapjuk: (1 + A)+ 1 = 1 + (A+ 1). És végül az összeadás definíciójával a következőket kapjuk: 1 +(a + 1) = 1 +a".

Így megmutattuk, hogy a halmaz M 1-et és minden számmal együtt tartalmaz A számot is tartalmaz A". Ezért az axióma szerint A, M = I, azok. egyenlőség A+ 1 = 1 + A igaz minden természetesre A.

2 . Bizonyítsuk be, hogy (" a, bÎ N ) A+ b = b+ A. Hadd A - egy tetszőlegesen választott természetes szám, és b különféle természetes jelentéseket vesz fel. Jelöljük azzal M mindazok és csak azok a természetes számok halmaza b, amelyre egyenlőség a + b =b+ A igaz.

Mióta b = 1 kapjuk az egyenlőséget A+ 1 = 1 + A, amelynek igazságát az (1) bekezdés bizonyítja, akkor az 1. tartalmazza M.

Most bizonyítsuk be, hogy ha b tartozik M, majd és b" is tartozik M, azok. egyenlőségtől A+ b =b+ A egyenlőség következik A+ b"= b"+ A. Valójában az összeadás definíciója szerint a következőket kapjuk: A+ b"= (A+ b)". Mert A+ b= b+ A, Hogy (A+ b)" =(b+ A)". Tehát a kiegészítés meghatározása szerint: (b+ A)"= b+ A"= b+ (a+ 1). Az alapján, hogy egy + 1 = 1 + A, kapunk: b+ (a + 1) = b+ (1 + A). Az asszociatív tulajdonság és az összeadás definíciója segítségével végrehajtjuk a transzformációkat: b + (1 + a) = (b+1) + a = b" + a.

Tehát bebizonyítottuk, hogy 1 benne van a halmazban Més minden számmal együtt b Egy csomó M számot is tartalmaz b¢, azonnal követi b¢. A 4. axióma alapján ezt kapjuk M= ÉS, azok. egyenlőség a+ b= b+ A igaz bármely természetes számra b, valamint bármely természetes A, mert választása önkényes volt.

6. tétel.("a,bÎ N) a + b¹ b.

Bizonyíték. Hadd A - véletlenszerűen kiválasztott természetes szám, és b különféle természetes jelentéseket vesz fel. Jelöljük azzal M azoknak és csak azoknak a természetes számoknak a halmaza b, amelyre a 6. Tétel igaz.

Bizonyítsuk be, hogy 1 О M. Valóban, azóta A+ 1 = A"(az összeadás definíciója szerint), és az 1 nem követ semmilyen számot (1. axióma), akkor A+ 1 ¹ 1.

Most bizonyítsuk be, hogy ha bÎ M, Hogy b"Î M, azok. honnan a +bÎ b ebből következik, hogy a + b"¹ b". Valójában az összeadás definíciója szerint a + b" = (a + b)", hanem azért, mert a +bÎ b, Hogy (a + b)"¹ b"és ezért, a +b¢=b¢.

Az axióma szerint 4 halmaz van MÉs N egybeesnek tehát bármely természetes számra a +bÎ b, Q.E.D.

A természetes számrendszer axiomatikus felépítésénél figyelembe vett összeadási megközelítés az alap Általános Iskola matematika. A számok 1 összeadásával való megszerzése szorosan összefügg a természetes sorozat felépítésének elvével, és az összeadás második tulajdonságát például a következő esetekben használjuk: 6 + 3 = (6+ 2)+ 1=8 + 1 = 9.

Minden bizonyított tulajdonságot tanulmányoznak a kezdeti matematikai kurzuson, és kifejezések átalakítására használják.

Feladatok

1. Igaz-e, hogy minden természetes számot az előzőből kapunk, ha hozzáadunk egyet?

2. Az összeadás definíciójával keresse meg a kifejezések jelentését:

a) 2 + 3; b) 3 + 3; c) 4 + 3.

3. Milyen transzformációk hajthatók végre az összeadás asszociatív tulajdonságával?

4. Alakítson át egy kifejezést az összeadás asszociatív tulajdonságával:

a) (12 + 3) + 17; b) 24 + (6 + 19); c) 27+13+18.

5. Bizonyítsd (" a, bÎ N) a + b¹ A.

6. Nézze meg, hogyan fogalmazzák meg az általános iskolai matematikát különböző tankönyvekben:

a) az összeadás kommutatív tulajdonsága;

b) az összeadás asszociatív tulajdonsága.

7 .Az egyik általános iskolai tankönyv egy konkrét példa (4 + 3) + 2 segítségével megvizsgálja a szám összeghez adásának szabályát, és a következő módszereket javasolja az eredmény megtalálásához:

a) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;

b) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;

c) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9.

Indokolja az elvégzett átalakításokat! Lehetséges-e azt mondani, hogy a szám összeghez adásának szabálya az összeadás asszociatív tulajdonságának következménye?

8 .Ismeretes, hogy a + b= 17. Mi egyenlő:

A) a + (b + 3); b) (A+ 6) + b; c) (13+ b)+a?

9 .Írd le lehetséges módjai a forma kifejezésének értékének kiszámítása a + b + c. Indokolja meg ezeket a módszereket, és mutassa be konkrét példákkal!

Szorzás

Az axiomatikus elmélet felépítésének szabályai szerint a természetes számok szorzata a „közvetlenül követhető” összefüggés és a korábban bevezetett fogalmak segítségével határozható meg.

Kezdjük a szorzás definícióját a következő megfontolásokkal. Ha bármilyen természetes szám A szorozzuk meg 1-gyel, kapjuk A, azok. egyenlőség van a× 1 = Aés megkapjuk a szabályt bármely természetes szám 1-gyel való szorzására. De hogyan szorozzuk meg a számot A természetes számra b, különbözik az 1-től? Használjuk a következő tényt: ha tudjuk, hogy 7×5 = 35, akkor a 7×6 szorzat megtalálásához elegendő 7-et hozzáadni 35-höz, hiszen 7×6=7×(5 + 1) = 7×5 + 7. Így a munka a×b" megtalálható, ha a mű ismert: a×b" = a×b+ A.

A feljegyzett tények képezik a természetes számok szorzásának meghatározásának alapját. Ezenkívül az algebrai művelet fogalmát használja.

Meghatározás. A természetes számok szorzása egy algebrai művelet, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) ("a Î N) a× 1= a;

2) ("a, Î N) a×b"= а×b+ A.

Szám а×b hívott munka számok AÉs b,és maguk a számok AÉs b-szorzók.

Ennek a definíciónak, valamint a természetes számok összeadásának definíciójának az a sajátossága, hogy nem tudni előre, hogy van-e olyan algebrai művelet, amely rendelkezik a jelzett tulajdonságokkal, és ha létezik, akkor egyedi-e. Ebben a tekintetben ezt a tényt bizonyítani kell.

7. tétel. A természetes számok szorzása létezik, és ez egyedi.

Ennek a tételnek a bizonyítása hasonló a 3. tétel bizonyításához.

A szorzás definícióját, a 7. tételt és az összeadási táblázatot felhasználva származtathatunk szorzótáblát egyjegyű számokhoz. Ezt a következő sorrendben tesszük: először 1-gyel, majd 2-vel stb.

Könnyen belátható, hogy az 1-gyel való szorzást az 1. tulajdonság hajtja végre a szorzás definíciójában: 1×1 = 1; 2×1=2; 3×1=3 stb.

Tekintsük most a 2-vel való szorzás eseteit: 1×2 = 1×1"= 1×1 + 1 = 1 + 1=2 - az 1×2 szorzatról az 1×1¢ szorzatra való átmenetet hajtjuk végre. a korábban elfogadott jelölés szerint az 1 × 1 kifejezésről az 1 × 1+1 kifejezésre történő átmenet - a szorzás második tulajdonsága alapján az 1 × 1 szorzatot a már kapott eredménynek megfelelően 1-gyel helyettesítjük; a táblázatot és végül az 1+1 kifejezés értékét megtaláljuk az összeadási táblázatnak megfelelően.

2×2 = 2×1" = 2 × 1 +2 = 2 + 2 = 4;

3 × 2 = 3 × 1 ¢ = 3 × 1 + 3 = 3 + 3 = 6.

Ha ezt a folyamatot folytatjuk, megkapjuk az egyjegyű számok teljes szorzótábláját.

Mint ismeretes, a természetes számok szorzása az összeadáshoz képest kommutatív, asszociatív és disztributív. Egy elmélet axiomatikus felépítésénél célszerű ezeket a tulajdonságokat bizonyítani, kezdve a disztributivitástól.

De mivel a kommutativitás tulajdonságát a későbbiekben igazoljuk, az összeadásnál figyelembe kell venni a jobb és a bal oldali disztributivitást.

8. tétel. ("ABCÎ N) (A+ b)×c =a×c+ b×с.

Bizonyíték. Legyen természetes számok a és b véletlenszerűen választott, és Val vel különféle természetes jelentéseket vesz fel. Jelöljük azzal M mindazoknak és csak azoknak a természetes számoknak a halmaza, amelyekre az egyenlőség (a + b)×c = a×c+ b×с.

Bizonyítsuk be, hogy 1 О M, azok. az egyenlőség ( a + b)× 1 = A×1+ b× 1 igaz. A szorzás definíciójának 1. tulajdonsága szerint a következőket kapjuk: (a + b)× 1=a+b=a× 1+ b×1.

Most bizonyítsuk be, hogy ha Val velÎ M, Hogy Val vel"Î M, azok. amely az egyenlőségből ( a + b)c = a×c+ b×с egyenlőség következik (A+ b) × c" = a × c"+ b×с". A szorzás definíciója szerint a következőket kapjuk: ( a + b) × c"= (a + b)×s+ (a + b). Mert (a + b) × c = a × c + b × c, Az ( a + b)×c+ (a+b)= (a×c + b×c) + (a+ b). Az összeadás asszociatív és kommutatív tulajdonságát felhasználva végrehajtjuk a transzformációkat: ( a× Val vel+ b×с)+ (A+ b) =(a× Val vel + b×с+ A)+ b =(a×с + a + b×с)+ b= = ((a×c+ a) + b×с)+ b = (a×c+ a) + (b×с+ b).És végül a szorzás definíciója alapján kapjuk: (a × c+ a) + (b×с+ b) =a × c"+ b×с".

Tehát megmutattuk, hogy a készlet M 1-et tartalmaz, és mivel c-t tartalmaz, ebből az következik Val vel" tartalmazza M. A 4. axióma alapján ezt kapjuk M= N. Ez azt jelenti, hogy az egyenlőség ( a + b)×c = a×c + b×c minden természetes számra igaz Val vel, valamint bármely természetes aÉs b, mivel véletlenszerűen választották ki őket.

9. tétel. (" a, b, cÎ N) a×(b + c) =a×b + a×c.

Ez a baloldali disztributivitás tulajdonsága az összeadás tekintetében. Hasonló módon bizonyított, mint ahogyan a helyes eloszlás érdekében.

10. tétel.(" ABCÎ N)(a×b)×c=a×(b×c).

Ez a szorzás asszociatív tulajdonsága. Bizonyítása a szorzás definícióján és a 4-9. tételeken alapul.

11. tétel. ("a,b,Î N) a×b.

Ennek a tételnek a bizonyítása formailag hasonló az összeadás kommutatív tulajdonságának bizonyításához.

A szorzás axiomatikus elméletben figyelembe vett megközelítése a szorzás tanításának alapja az általános iskolában. Az 1-gyel való szorzást általában definiálják, és a szorzás második tulajdonságát az egyjegyű szorzótáblákban és számításokban használják.

A kezdeti kurzusban a szorzás összes általunk figyelembe vett tulajdonságát tanulmányozzuk: kommutativitást, asszociativitást és eloszlást.

Feladatok

1 . A szorzás definíciójával keresse meg a kifejezések jelentését:

a) 3×3; 6) 3x4; c) 4×3.

2. Írja fel a szorzás bal oldali eloszlási tulajdonságát az összeadásra vonatkozóan, és igazolja! Milyen kifejezéstranszformációk lehetségesek ez alapján? Miért vált szükségessé a szorzás bal és jobb oldali eloszlásának figyelembe vétele az összeadáshoz képest?

3. Bizonyítsa be a természetes számok szorzásának asszociatív tulajdonságát! Milyen kifejezéstranszformációk lehetségesek ez alapján? Ezt a tulajdonságot tanítják az általános iskolában?

4. Igazolja a szorzás kommutatív tulajdonságát! Mondjon példákat a matematika elemi kurzusban való használatára!

5. Milyen szorzási tulajdonságok használhatók egy kifejezés értékének megtalálásához:

a) 5×(10 + 4); 6)125×15×6; c) (8×379)×125?

6. Ismeretes, hogy 37 - 3 = 111. Ezzel az egyenlőséggel számítsuk ki:

a) 37×18; b)185×12.

Indokolja meg az összes végrehajtott átalakítást.

7 . Határozza meg egy kifejezés értékét írásos számítások elvégzése nélkül. Válaszát indokolja:

a) 8962×8 + 8962×2; b) 63402×3 + 63402×97; c) 849+ 849×9.

8 . Milyen szorzási tulajdonságokat alkalmaznak az általános iskolások a következő feladatok elvégzésekor:

Meg lehet-e mondani számítás nélkül, hogy mely kifejezések lesznek azonos értékűek:

a) 3×7 + 3×5; b) 7×(5 + 3); c) (7 + 5) × 3?

Igazak-e az egyenlőségek:

a) 18×5×2 = 18× (5×2); c) 5×6 + 5×7 = (6 + 7) × 5;

b) (3×10)×17 = 3×10×17; d) 8×(7 + 9) = 8×7 + 9×8?

Összehasonlítható-e a kifejezések értéke számítások elvégzése nélkül:

a) 70×32+ 9×32... 79×30 + 79×2;

b) 87×70 + 87×8 ... 80×78 +7×78?

Axiomatikus módszer a matematikában.

A természetes sorozat axiomatikus elméletének alapfogalmai és összefüggései. Természetes szám definíciója.

Természetes számok összeadása.

Természetes számok szorzása.

A természetes számok halmazának tulajdonságai

Természetes számok kivonása és osztása.

Axiomatikus módszer a matematikában

Bármely matematikai elmélet axiomatikus felépítésénél a következő szabályokat kell betartani: bizonyos szabályokat:

1. Az elmélet egyes fogalmait úgy választjuk meg fő-és definíció nélkül elfogadják.

2. Meg vannak fogalmazva axiómák, amelyek ebben az elméletben bizonyítás nélkül elfogadottak, felfedik az alapfogalmak tulajdonságait.

3. Meg van adva az elmélet minden olyan fogalma, amely nem szerepel az alapvetőek listáján meghatározás, jelentését a fő és az azt megelőző fogalmak segítségével magyarázza.

4. Minden olyan elméleti tételt, amely nem szerepel az axiómák listáján, bizonyítani kell. Az ilyen javaslatokat ún tételekés bizonyítsd be azokat a vizsgálandót megelőző axiómák és tételek alapján.

Az axiómarendszernek a következőnek kell lennie:

a) következetes: biztosnak kell lennünk abban, hogy egy adott axiómarendszerből minden lehetséges következtetést levonva soha nem jutunk ellentmondásba;

b) független: egyetlen axióma sem lehet e rendszer más axiómáinak következménye.

V) teljes, ha annak keretein belül mindig be lehet bizonyítani akár egy adott állítást, akár annak tagadását.

Az axiomatikus elméletalkotás első tapasztalatának Eukleidész „Elemek” című művében (Kr. e. 3. század) a geometria bemutatását tekinthetjük. A geometria és algebra felépítésének axiomatikus módszerének kifejlesztéséhez jelentősen hozzájárult N.I. Lobacsevszkij és E. Galois. A 19. század végén. Peano olasz matematikus axiómarendszert dolgozott ki az aritmetika számára.

A természetes számok axiomatikus elméletének alapfogalmai és összefüggései. Természetes szám definíciója.

Alap (meghatározatlan) fogalomként egy bizonyos halmazban N van kiválasztva hozzáállás , és halmazelméleti fogalmakat is használ, valamint a logika szabályait.

Az elemet közvetlenül követő elem A, jelöli A".

A „közvetlenül követés” kapcsolat a következő axiómákat teljesíti:

Peano axiómái:

1. axióma. Bőségesen N közvetlenül van egy elem nem a következő ennek a készletnek egyetlen elemére sem. Hívjuk fel Mértékegységés a szimbólummal jelöljük 1 .

2. axióma. Minden elemhez A tól től N csak egy elem van A" , közvetlenül utána A .

3. axióma. Minden elemhez A tól től N legfeljebb egy elem van, amelyet azonnal követ A .

4. axióma. Bármely részhalmaz M készletek N egybeesik N , ha a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1) 1 tartalmazza M ; 2) attól, hogy A tartalmazza M , ebből következik, hogy A" tartalmazza M.

1. definíció. Egy csomó N , amelynek elemeire a kapcsolat létrejön "közvetlenül kövesse", amely megfelel az 1-4 axiómáknak, az úgynevezett természetes számok halmaza, elemei pedig azok természetes számok.

Ez a meghatározás semmit sem mond a halmaz elemeinek természetéről N . Szóval bármi lehet. Kiválasztás készletként N valamilyen konkrét halmaz, amelyre egy konkrét „közvetlenül követett” reláció adott, kielégítve az 1-4 axiómákat, kapjuk ennek a rendszernek a modellje alapigazság.

A Peano axiómarendszer standard modellje a társadalom történeti fejlődésének folyamatában kialakult számsor: 1,2,3,4,... A természetes sorozat az 1-es számmal kezdődik (1. axióma); minden természetes számot közvetlenül egyetlen természetes szám követ (2. axióma); minden természetes szám közvetlenül legfeljebb egy természetes számot követ (3. axióma); az 1-es számból kiindulva és az egymást közvetlenül követő természetes számokhoz haladva megkapjuk ezeknek a számoknak a teljes halmazát (4. axióma).

Tehát elkezdtük a természetes számrendszer axiomatikus felépítését az alap kiválasztásával „közvetlenül követni” kapcsolatés tulajdonságait leíró axiómák. Az elmélet további felépítése magában foglalja a természetes számok ismert tulajdonságainak és a velük végzett műveleteknek a figyelembevételét. Ezeket fel kell tárni definíciókban és tételekben, pl. pusztán logikailag a „közvetlenül követni” összefüggésből származnak, és az 1-4. axiómák.

Az első fogalom, amelyet a természetes szám definiálása után bevezetünk: hozzáállás "közvetlenül megelőzi" , amelyet gyakran használnak a természetes sorozat tulajdonságainak mérlegelésekor.

2. definíció. Ha természetes szám b közvetlenül következik természetes szám A, azt a számot A hívott közvetlenül megelőző(vagy előző) szám b .

Az „előzetes” viszony megvan számos ingatlan.

1. Tétel. Az egységnek nincs előtte természetes szám.

2. Tétel. Minden természetes szám A, az 1-től eltérő, egyetlen szám előtt áll b, oly módon, hogy b"= A.

A természetes számok elméletének axiomatikus felépítését sem az általános, sem a középiskolákban nem veszik figyelembe. A „közvetlenül következik” reláció azon tulajdonságai azonban, amelyek Peano axiómáiban tükröződnek, a matematika kezdeti kurzusának vizsgálatának tárgyát képezik. Már az első osztályban az első tíz számait figyelembe véve világossá válik, hogy az egyes számokat hogyan lehet megszerezni. A „követi” és „megelőzi” fogalmakat használjuk. Minden új szám a természetes számsor vizsgált szegmensének folytatásaként működik. A tanulók meg vannak győződve arról, hogy minden számot a következő követ, és ráadásul csak egy dolog, hogy a számok természetes sorozata végtelen.

Természetes számok összeadása

Az axiomatikus elmélet felépítésének szabályai szerint a természetes számok összeadásának definícióját csak a reláció segítségével kell bevezetni. "közvetlenül követni"és fogalmak "természetes szám"És "előző szám".

Kezdjük az összeadás definícióját a következő megfontolásokkal. Ha bármely természetes számra A adjunk hozzá 1-et, megkapjuk a számot A", azonnal követi A, azaz A+ 1= a"és ezért megkapjuk azt a szabályt, hogy tetszőleges természetes számhoz adjunk 1-et. De hogyan adjunk hozzá egy számot A természetes szám b, különbözik az 1-től? Használjuk a következő tényt: ha tudjuk, hogy 2 + 3 = 5, akkor az összeg 2 + 4 = 6, ami közvetlenül az 5-ös szám után következik. Ez azért van így, mert a 2 + 4 összegben a második tag a közvetlenül utána következő szám. a 3. így 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Összességében nekünk van, .

Ezek a tények képezik az alapját a természetes számok összeadásának definíciójának az axiomatikus elméletben.

3. definíció. Természetes számok összeadása egy algebrai művelet, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Szám a + b hívott számok összege AÉs b , és maguk a számok AÉs b - feltételeket.

GOUVPO

Tula állam Pedagógiai Egyetem

L. N. Tolsztojról nevezték el

NUMERIKUS RENDSZEREK

Tula 2008

Numerikus rendszerek

A kézikönyv egy pedagógiai egyetem matematikai szakainak hallgatói számára készült, és a „Numerikus rendszerek” kurzus állami szabványával összhangban készült. Indulj el elméleti anyag. A tipikus feladatok megoldásait elemzik. A gyakorlati órák során megoldási feladatokat biztosítunk.

Összeállította -

A fizikai és matematikai tudományok kandidátusa, a TSPU Algebra és Geometria Tanszékének docense. L. N. Tolsztoj, A. Ignatov

Ellenőrző -

A fizikai és matematikai tudományok kandidátusa, a tanszék professzora matematikai elemzés TSPU névadója. L. N. Tolsztoj I. V. Denisov

Oktatási kiadás

Numerikus rendszerek

Összeállította

IGNATOV Jurij Alekszandrovics

© Yu Ignatov, 2008

NUMERIKUS RENDSZEREK

Ez a kurzus a matematika alapjait fedi le. Az alap szigorú axiomatikus felépítését biztosítja számrendszerek: természetes, egész, racionális, valós, összetett, valamint kvaterniók. A formális axiomatikus rendszerek elméletén alapul, amelyet a matematikai logika során tárgyalunk.

Minden bekezdésben először a tételek vannak számozva. Ha egy másik bekezdés tételére kell hivatkozni, lépésenkénti számozást alkalmazunk: a bekezdésszám a tételszám elé kerül. Például az 1.2.3. Tétel az 1.2. bekezdés 3. tétele.

Egész számok

Természetes számok axiomatikus elmélete

Az axiomatikus elméletet a következő elemek határozzák meg:

Állandók halmaza;

Funkcionális szimbólumok halmaza a műveletek jelzésére;

Állítási szimbólumok halmaza a relációk ábrázolására;

A fenti elemeket összekötő axiómák listája.

Egy formális axiomatikus elmélethez a következtetés szabályait is jelzik, amelyek segítségével a tételeket bizonyítjuk. Ebben az esetben minden állítást képletek formájában írunk le, amelyek jelentése nem számít, és ezeken a képleteken transzformációkat hajtunk végre a adott szabályokat. Egy szubsztantív axiomatikus elméletben a következtetés szabályai nincsenek megadva. A bizonyítást szokásos logikai konstrukciók alapján hajtják végre, amelyek figyelembe veszik a bizonyított állítások jelentését.

Ez a kurzus értelmes elméleteket épít fel alapvető numerikus rendszerekről.

Az axiomatikus elméletekkel szemben támasztott legfontosabb követelmény a következetesség. A konzisztencia bizonyítása egy másik elméletben szereplő elmélet modelljének megalkotásával történik. Ezután a vizsgált elmélet konzisztenciája annak az elméletnek a konzisztenciájára redukálódik, amelyben a modellt felépítették.

Egész számok rendszerénél a modell természetes számrendszer keretein belül, racionális számoknál egész számok rendszerén belül épül fel, stb. Az eredmény egy axiomatikus elméletek láncolata, amelyben mindegyik elmélet az előzőre épül. De ebben a láncban az első elmélethez, nevezetesen a természetes számok elméletéhez nincs hova modellt építeni. Ezért egy természetes számrendszerhez olyan elméletet kell felállítani, amelynél a modell létezése kétségtelen, bár szigorúan bizonyítani lehetetlen.

Az elméletnek nagyon egyszerűnek kell lennie. Ebből a célból a természetes számok rendszerét csak az objektumok megszámlálásának eszközének tekintjük. Az összeadási, szorzási és sorrendi relációk műveleteit a jelzett formájú elmélet felépítése után kell meghatározni.

A számoláshoz a természetes számok rendszerének olyan sorozatnak kell lennie, amelyben az első elem (egység) definiálva van, és minden elemhez a következőt. Ennek megfelelően a következő elméletet kapjuk.

Állandó: 1 (egység).

Funkció szimbólum: "¢". Az unáris "követés" műveletet jelöli, azaz A¢ – a következő szám A. Ráadásul a szám A hívott előző Mert A¢.

Nincsenek speciális predikátum karakterek. A szokásos egyenlőségi relációt és halmazelméleti összefüggéseket használjuk. Az axiómák nem kerülnek feltüntetésre.

Az elmélet alapjául szolgáló halmazt jelöljük N.

Axiómák:

(N1) (" a) a¢ ¹ 1 (az egyik nem követ semmilyen számot).

(N2) (" a)("b) (a¢ = b¢ ® a = b) (minden számnak legfeljebb egy elődje van).

(N3) M Í N, 1О M, ("a)(aÎ M ® a¢Î M) Þ M = N(matematikai indukció axiómája).

A fenti axiomatikát (kis változtatásokkal) Peano olasz matematikus javasolta a 19. század végén.

Nem nehéz néhány tételt levezetni az axiómákból.

1. tétel (matematikai indukció módszere). Hadd R(n) – egy halmazon meghatározott állítmány N. Legyen igaz R(1) és (" n)(P(n)® P(n¢)). Akkor R(n) azonosan igaz predikátum a következőre N.

Bizonyíték. Hadd M– természetes számok halmaza n, amelyekre R(n) igaz. Ezután 1О M tétel feltételei szerint. Következő, ha nÎ M, Azt P(n) definíció szerint igaz M, P(n¢) a tétel feltételei szerint igaz, és n¢Î M a-priory M. Az indukciós axióma minden premisszája teljesül, ezért M = N. Definíció szerint M, ez azt jelenti R(n) igaz az összes számra N. A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel. Bármilyen szám A Az 1-esnek van előzménye, és csak egy.

Bizonyíték. Hadd M– az 1-et tartalmazó természetes számok halmaza és minden olyan szám, amelynek elődje van. Ezután 1О M. Ha aÎ M, Azt a¢Î M, mert a¢-nek van előzménye (a feltételt itt nem is használjuk aÎ M). Tehát az indukció axiómája szerint M = N. A tétel bizonyítást nyert.

3. tétel. Bármely szám különbözik a következőtől.

Gyakorlat. A természetes számok meghatározása után 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6, bizonyítsuk be, hogy 2 ¹ 6.

Természetes számok összeadása

A következő rekurzív definíciót adjuk a természetes számok összeadásához.

Meghatározás. A természetes számok összeadása egy bináris művelet, amely természetes számokra vonatkozik AÉs b megfelel a számnak a+b, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

(S1) A + 1 = A¢ bárkinek A;

(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ bármely AÉs b.

Bizonyítani kell, hogy ez a definíció helyes, vagyis létezik olyan művelet, amely kielégíti az adott tulajdonságokat. Ez a feladat nagyon egyszerűnek tűnik: elég az indukciót végrehajtani b, számolva A rögzített. Ebben az esetben ki kell választani egy készletet Mértékeket b, amelyre a művelet a+b meghatározva van, és teljesíti az (S1) és (S2) feltételeket. Az induktív átmenet végrehajtásakor fel kell tételeznünk, hogy for b művelet végrehajtása megtörtént, és igazolja, hogy az elvégzésre került b¢. De az (S2) tulajdonságban, aminek meg kell elégednie b, már van link a címre a+b¢. Ez azt jelenti, hogy ez a tulajdonság automatikusan feltételezi a következő művelet létezését a+b¢, és ezért a következő számoknál: elvégre for a+b¢ tulajdonságnak (S2) is teljesülnie kell. Azt gondolhatnánk, hogy ez csak megkönnyíti a problémát, ha triviálissá teszi az induktív lépést: a bizonyított állítás egyszerűen megismétli az induktív hipotézist. De a nehézség itt az indukciós alap bizonyítása. Értékért b= 1, akkor az (S1) és (S2) tulajdonságoknak is teljesülniük kell. De az (S2) tulajdonság, mint látható, feltételezi a művelet meglétét minden 1-et követő értékre. Ez azt jelenti, hogy az indukció alapjának ellenőrzése nem egy, hanem az összes szám bizonyítását feltételezi, és az indukció elveszti értelmét: Az indukció alapja egybeesik a bizonyított állítással.

A fenti érvelés nem jelenti azt, hogy a rekurzív definíciók helytelenek, vagy minden alkalommal gondos indoklást igényelnek. Ezek igazolására a természetes számok tulajdonságait kell használni, amelyek még csak ebben a szakaszban jönnek létre. Ezek megállapítása után a rekurzív definíciók érvényessége bizonyítható. Egyelőre bizonyítsuk be az összeadás létezését indukcióval A: az (S1) és (S2) képletekben nincs kapcsolat a for összeadás között AÉs A¢.

1. tétel. A természetes számok összeadása mindig megvalósítható, és egyedülálló módon.

Bizonyíték. a) Először az egyediséget bizonyítjuk. Javítsuk ki A. Aztán a műtét eredménye a+b van egy függvény b. Tegyük fel, hogy két ilyen függvény létezik f(b) És g(b), amelyek (S1) és (S2) tulajdonságokkal rendelkeznek. Bizonyítsuk be, hogy egyenlőek.

Hadd M– jelentéskészlet b, amelyekre f(b) = g(b). Tulajdon szerint (S1)
f(1) = A + 1 = A¢ és g(1) = A + 1 = A¢ azt jelenti f(1) = g(1) és 1О M.

Hagyja most bÎ M, vagyis f(b) = g(b). Tulajdon szerint (S2)

f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),

Eszközök, b¢Î M. Az indukció axiómája szerint M = N. Az egyediség bebizonyosodott.

b) Most indukcióval be A bizonyítsuk be a művelet létezését a+b. Hadd M– ezen értékek halmaza A, amelyre a művelet a+b az (S1) és (S2) tulajdonságokkal mindenre definiálva van b.

Hadd A= 1. Adjunk példát egy ilyen műveletre. Definíció szerint 1 +-ot feltételezünk b == b¢. Mutassuk meg, hogy ez a művelet teljesíti az (S1) és (S2) tulajdonságokat. (S1) alakja 1 + 1 = 1¢, ami megfelel a definíciónak. Ellenőrzés (S2): 1 + b¢ =( b¢)¢ =
= (1+ b)¢, és (S2) teljesül. Tehát 1О M.

Hagyja most AÎ M. Bizonyítsuk be A¢Î M. Definíció szerint hiszünk
a¢ + b = (a+ b)¢. Akkor

a¢ + 1 = (a+ 1)¢ = ( A¢)¢,

a¢ + b¢ = ( a+ b¢)¢ = (( a+ b)¢)¢ = ( a¢ + b)¢,

és az (S1) és (S2) tulajdonságok teljesülnek.

És így, M = N, és az összeadás minden természetes számra definiálva van. A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel. A természetes számok összeadása asszociatív, azaz

(a+b) + c = a + (b+c).

Bizonyíték. Javítsuk ki AÉs bés hajtsa végre az indukciót Val vel. Hadd M- ezeknek a számoknak egy halmaza Val vel, amelyre az egyenlőség igaz. Az (S1) és (S2) tulajdonságok alapján a következőkkel rendelkezünk:

(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = a+(b+ 1) Þ 1О M.

Hagyja most Val velÎ M. Akkor

(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( a+(b + c))¢ = a+(b + c)¢ = a+(b + c¢),

És c¢Î M. Az axióma szerint (N3) M = N. A tétel bizonyítást nyert.

3. tétel. A természetes számok összeadása kommutatív, azaz

a + b = b + a. (1)

Bizonyíték. Javítsuk ki Aés hajtsa végre az indukciót b.

Hadd b= 1, vagyis az egyenlőséget igazolni kell

A + 1 = 1 + A. (2)

Ezt az egyenlőséget indukcióval igazoljuk A.

Nál nél A= 1 egyenlőség triviális. Legyen ez azért A, bizonyítsuk be A¢. Nekünk van

A¢ + 1 = ( A + 1) + 1 = (1 + A) + 1 = (1 + A)¢ = 1 + A¢.

Az induktív átmenet befejeződött. A matematikai indukció elve alapján a (2) egyenlőség mindenkire igaz A. Ez bizonyítja az indukció alapjának állítását b.

Most teljesüljön az (1) képlet erre b. Bizonyítsuk be b¢. Nekünk van

a +b¢ = ( a +b)¢ = ( b + a)¢ = b + a¢ = b + (a + 1) = b + (1 + a) = (b + 1) + a = b¢ + a.

A matematikai indukció elvét alkalmazva a tétel bizonyítást nyer.

4. tétel.a + b ¹ b.

A bizonyíték gyakorlat.

5. tétel. Bármilyen számhoz AÉs b az alábbi esetek közül csak egy fordul elő:

1) a = b.

2) Van egy szám k oly módon, hogy a = b + k.

3) Van egy szám l oly módon, hogy b = a + l.

Bizonyíték. A 4. Tételből következik, hogy ezen esetek közül legfeljebb egy fordul elő, mivel nyilvánvalóan az 1) és 2), valamint az 1) és 3) eset nem fordulhat elő egyszerre. Ha a 2) és 3) eset egyidejűleg történt, akkor a = b + k=
= (A + l) + k = A+ (l + k), ami ismét ellentmond a 4. Tételnek. Bizonyítsuk be, hogy ezek közül az esetek közül legalább egy mindig előfordul.

Válasszon egy számot AÉs M – sok ilyen b, amelyek mindegyikére adott a 1), 2) vagy 3) eset fordul elő.

Hadd b= 1. Ha a= 1, akkor van 1. esetünk). Ha A¹ 1, akkor az 1.1.2 Tétel szerint megvan

a = k" = k + 1 = 1 + k,

vagyis 2) esetünk van arra b= 1. Tehát 1 tartozik M.

Hadd b tartozik M. Ezután a következő esetek lehetségesek:

- A = b, Eszközök, b" = b + 1 = A+ 1, azaz 3) esetünk van a számára b";

- A = b+k,és ha k= 1, akkor A = b+ 1 = b", vagyis az 1) eset fordul elő b";

ha k Akkor az 1. sz k = t"És

a = b + t" = b + (t + 1)= b + (1+m) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,

vagyis a 2) eset azért fordul elő b";

- b = a+ l, és b" =(a + l)¢ = A + l¢, azaz 3) esetünk van b".

Minden esetben b" tartozik M. A tétel bebizonyosodott.

Gyakorlat. Az összeg definíciója alapján bizonyítsd be, hogy 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

Természetes számok szorzása

Meghatározás. A természetes számok szorzása egy bináris művelet, amely természetes számokra vonatkozik AÉs b megfelel a számnak ab(vagy a×b), amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

(P1) A×1 = A bárkinek A;

(P2) ab" = ab + a bármilyen AÉs b.

A szorzás definíciójával kapcsolatban az előző bekezdésben az összeadás meghatározásával kapcsolatban megfogalmazott megjegyzések továbbra is érvényesek. Konkrétan még nem derül ki belőle, hogy van-e megfelelés a definícióban megadott tulajdonságokkal. Ezért a következő tétel, hasonlóan az 1.2.1. Tételhez, alapvető fontosságú.

1. tétel. A természetes számoknak csak egy szorzata van. Más szóval, a szorzás mindig megvalósítható és egyértelmű.

A bizonyítás nagyon hasonló az 1.2.1. Tételhez, és gyakorlatként kínáljuk.

A következő tételekben megfogalmazott szorzás tulajdonságai könnyen bebizonyíthatók. Az egyes tételek bizonyítása az előzőeken alapul.

2. tétel.(Jobb elosztási törvény): ( a+b)c = ac + bc.

3. tétel. A szorzás kommutatív: ab = ba.

4. tétel.(Baloldali elosztási törvény): c(a+b)= сa + сb.

5. tétel. A szorzás asszociatív: a(időszámításunk előtt) = (ab)c.

Meghatározás. A félgyűrű olyan rendszer, ahol + és × az összeadás és szorzás bináris műveletei, amelyek kielégítik az axiómákat:

(1) egy kommutatív félcsoport, azaz az összeadás kommutatív és asszociatív;

(2) – félcsoport, azaz a szorzás asszociatív;

(3) a jobb és bal disztributivitás érvényesül.

Algebrai szempontból a természetes számok rendszere az összeadás és szorzás tekintetében félgyűrűt alkot.

Gyakorlat. Bizonyítsa be a termék definíciója alapján, hogy
2×2 = 4, 2×3 = 6.

Feladatok

Bizonyítsd be az azonosságokat:

1. 1 2 + 2 2 + ... + n 2 = .

2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .

Keresse meg az összeget:

3. .

4. .

5. .

6. 1x1! + 2x2! + ... + n×n!.

Bizonyítsuk be az egyenlőtlenségeket:

7. n 2 < 2n для n > 4.

8. 2n < n! Mert n³ 4.

9. (1 + x)n³ 1 + nx, Ahol x > –1.

10. nál nél n > 1.

11. nál nél n > 1.

12. .

13. Keresse meg a hibát az indukciós bizonyításban, hogy minden szám egyenlő. Egyenértékű állítást bizonyítunk: bármely halmazában n számok, minden szám egyenlő egymással. Nál nél n= 1 állítás igaz. Legyen igaz rá n = k, bizonyítsuk be n = k+ 1. Vegyünk egy tetszőleges halmazt
(k+ 1) számok. Vegyünk ki belőle egy számot A. Bal k számok, induktív hipotézis szerint egyenlők egymással. Konkrétan két szám egyenlő bÉs Val vel. Most vegyük ki a számot a készletből Val velés kapcsolja be A. A kapott készletben még van k számok, ami azt jelenti, hogy egyenlők is egymással. Különösen, a = b. Eszközök, a = b = c, és ennyi ( k+ 1) a számok egyenlőek egymással. Az induktív átmenet befejeződött, és az állítás bizonyítást nyert.

14. Bizonyítsuk be a matematikai indukció továbbfejlesztett elvét:

Hadd A(n) a természetes számok halmazának predikátuma. Hadd A(1) igaz és igazságból A(k) minden számhoz k < m követi az igazságot A(m). Akkor A(n) mindenkire igaz n.

Megrendelt készletek

Emlékezzünk vissza a sorrendi relációhoz kapcsolódó alapvető definíciókra.

Meghatározás. Az f reláció („fent”) egy halmazon M hívott rendelési viszony, vagy egyszerűen sorrendben, ha ez a reláció tranzitív és antiszimmetrikus. Rendszer b M, fñ hívják megrendelt készlet.

Meghatározás. szigorú rend, ha antireflexív, és laza rend, ha reflexív.

Meghatározás. Az f rendű relációt relációnak nevezzük lineáris sorrend, ha be van kötve, akkor az a ¹ bÞ a f bÚ b f a. A nem lineáris sorrendet ún részleges.

Meghatározás. Legyen á M A– részhalmaz M. Elem T készletek A hívott a legkisebb, ha kisebb, mint a halmaz összes többi eleme A, vagyis

("xÎ A)(x ¹ T® x f T).

Meghatározás. Legyen á M, fñ – megrendelt készlet, A– részhalmaz M. Elem T készletek A hívott minimális, ha készletben A nincs kisebb elem, azaz (" xÎ A)(x ¹ T® Ø T f x).

A legnagyobb és maximális elemet hasonlóan határozzuk meg.

Feladatok

1. Bizonyítsuk be, hogy a tranzitív és az antireflexív reláció sorrendi reláció.

2. Bizonyítsuk be, hogy az M oszthatósági összefüggés a halmazon N részleges sorrendi összefüggés van.

3. Bizonyítsuk be, hogy egy halmaznak legfeljebb egy legnagyobb és legfeljebb egy legkisebb eleme lehet.

4. Keresse meg az oszthatósági reláció összes minimális, maximum, legnagyobb és legkisebb elemét a halmazban (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10).

5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy halmaznak van legkisebb eleme, akkor ez az egyetlen minimális elem.

6. Hányféleképpen határozhatunk meg lineáris sorrendet egy három elemből álló halmazon? lineáris és szigorú? lineáris és laza?

7. Legyen á M, fñ egy lineárisan rendezett halmaz. Bizonyítsuk be, hogy a feltétel által meghatározott > reláció

a > b Û a f b & a¹ b

szigorú lineáris rendű reláció.

8. Legyen á M, fñ egy lineárisan rendezett halmaz. Bizonyítsuk be, hogy a feltétel által meghatározott ³ reláció

a ³ b Û a f b Ú a= b,

nem szigorú lineáris rendű reláció.

Meghatározás. Lineárisan rendezett halmaz b M, fñ, amelyben minden nem üres részhalmaznak a legkisebb eleme van egészen rendezett. Az f relációt ebben az esetben relációnak nevezzük teljes rendelés.

Az 1.4.6. Tétel szerint a természetes számok rendszere egy teljesen rendezett halmaz.

Meghatározás. Legyen á M A elemmel elválasztott intervallum, úgynevezett készlet R a az összes alábbi elemet Aés különbözik attól A, vagyis

R a = {x Î Mï a f x, x¹ a}.

Különösen, ha A akkor a minimális elem R a = Æ.

1. tétel.(A transzfinit indukció elve). Legyen á M, fñ egy teljesen rendezett készlet és A Í M. Legyen minden elemnél A tól től M hozzátartozásától A az intervallum összes eleme R a ezt követi AÎ A. Akkor A = M.

Bizonyíték.

Hadd A" = M\A a halmazok halmazelméleti különbsége MÉs A. Ha A"= Æ, akkor A = M,és a tétel állítása teljesül. Ha A"¹ Æ , akkor, mivel M egy teljesen megrendelt készlet, akkor a készlet A" a legkisebb elemet tartalmazza T. Ebben az esetben az összes megelőző elem Tés különbözik attól T, nem tartozik A"és ezért tartoznak A.És így, Р m Í A. Ezért a tétel feltételei szerint T Î A,és ezért T Ï A", a feltételezéssel ellentétben.

Legyen á A; fñ egy rendezett halmaz. Ezt feltételezzük A– véges halmaz. Minden elemével A készletek A hasonlítsunk össze néhány pontot T (A) adott síkról úgy, hogy ha egy elem A azonnal követi az elemet b, majd pont T (a) pont felett lesz elhelyezve Tuberkulózis)és kösse össze őket egy szegmenssel. Ennek eredményeként egy ennek a rendezett halmaznak megfelelő gráfot kapunk.

Feladatok

9. Legyen á M, fñ egy teljesen rendezett készlet, b Î KisasszonyÎ M. Bizonyítsd be, hogy ill P b = R s, vagy Pb Ì R s, vagy R s Ì Pb.

10. Legyen á M, f 1 с és b L, f 2 ñ teljesen rendezett halmazok úgy, hogy
M Ç L=Æ . Bőségesen M È L Határozzuk meg az f bináris relációt a következő feltételekkel:

1) ha a, bÎ M, Hogy, a f b Û a f 1 b;

2) ha a, bÎ L, Hogy, a f b Û a f 2 b;

3) ha AÎ M, bÎ L, Hogy, a f b.

Bizonyítsuk be, hogy a rendszer b MÈ L, fñ egy teljesen rendezett készlet.

Rendezett félcsoportok

Meghatározás.Félcsoport algebra á A, *ñ, ahol * egy asszociatív bináris művelet.

Meghatározás. Félcsoport á A, *ñ-t redukciós félcsoportnak nevezzük, ha kielégíti a tulajdonságokat

a*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.

Meghatározás.Rendezett félcsoport rendszernek nevezzük b A, +, fñ, ahol:

1) rendszer b A, +ñ – félcsoport;

2) rendszer b A, fñ – rendezett halmaz;

3) az f reláció monoton a félcsoport művelethez képest, azaz
a f b Þ a+c f b + c, c + a f c+b.

Rendezett félcsoport á A, +, fñ nevezzük rendelt csoport, ha rendszer b A, +ñ – csoport.

A rendelés típusainak megfelelően a kapcsolatokat határozzák meg lineárisan rendezett félcsoport, lineárisan rendezett csoport, részben rendezett félcsoport, szigorúan rendezett félcsoport stb.

1. tétel. Rendezett félcsoportban á A, +, fñ egyenlőtlenségek összeadhatók, azaz a f időszámításunk előtt f d Þ a+c f b+d.

Bizonyíték. Nekünk van

a f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d,

honnan tranzitivitással a+c f b+d. A tétel bizonyítást nyert.

1. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a természetes számok rendszere a szorzás és az oszthatóság szempontjából részben rendezett félcsoport.

Könnyen belátható, hogy a rendszer b N, +, >ñ – szigorúan rendezett félcsoport, b N A , +, ³ñ egy nem szigorúan rendezett félcsoport. Mondhatunk példát az á félcsoport ilyen rendezésére N, +ñ, amelyben a sorrend se nem szigorú, se nem nem szigorú.

2. gyakorlat. Határozzuk meg az f sorrendet a természetes számok rendszerében a következőképpen: a f b Û a ³ b & a¹ 1. Bizonyítsuk be, hogy b N, +, fñ egy rendezett félcsoport, amelyben a sorrend sem nem szigorú, sem nem nem szigorú.

1. példa Hadd A– eggyel nem egyenlő természetes számok halmaza. Határozzuk meg az f in arányt A a következő módon:

a f b Û ($ kÎ N)(a = b+k) & b 3. sz.

Bizonyítsuk be, hogy a rendszer b A A , +, fñ egy részben és szigorúan rendezett félcsoport.

Bizonyíték. Nézzük a tranzitivitást:

a f b, b f c Þ a = b + k, b 3. sz. b = c + l, c¹ 3 Þ a = c +(k+l), c¹ 3 Þ a f c.

Mert a f b Þ a > b, akkor az antireflexivitás teljesül. A 2.1.1. gyakorlatból következik, hogy f szigorú sorrendű reláció. A sorrend részleges, mert a 3. és a 4. elemek nincsenek kapcsolatban.

Az f reláció az összeadás tekintetében monoton. Valóban, a feltétel a f b Þ a+c f b+c csak akkor sérthető meg
b+c= 3. De az összeg egyenlő lehet 3-mal, mivel lehetséges A nincs egység.

Két elemből álló csoport nem rendezhető lineárisan és szigorúan. Valójában legyen az elemei 0 és 1 (0 a csoport nullája). Tegyük fel, hogy 1 > 0. Ekkor azt kapjuk, hogy 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.

2. tétel. Minden lineárisan rendezett törölhető félcsoport lineárisan és szigorúan rendezhető.

Bizonyíték. Legyen á A, +, fñ egy rendezett félcsoport. A > szigorú sorrendű relációt a 2.1.5. gyakorlatban leírtak szerint határozzuk meg: a > b Û a f b & a¹ b. Mutassuk meg, hogy egy rendezett félcsoport definíciójából a 3) feltétel teljesül.

a > b Þ a f b, a¹ bÞ a+c f b+c.

Ha a+c = b+c akkor csökkentve azt kapjuk a = b, ami ellentmond a feltételnek
A > b. Eszközök, a+c ¹ b+c, És a+c > b+c. A 3) feltétel második részét is hasonlóképpen ellenőrizzük, ami bizonyítja a tételt.

3. tétel. Ha b A, +, fñ egy lineárisan és szigorúan rendezett félcsoport, akkor:

1) A + Val vel = b + c Û a = b Û c + a = Val vel + b;

2) A + Val vel f b + c Û A f b Û Val vel + a f Val vel + b.

Bizonyíték. Hadd A + Val vel = b + c. Ha a ¹ b, akkor a kapcsolat miatt A f b vagy
b f a. De akkor ennek megfelelően A + Val vel f b+ c vagy b + Val vel f a+ c, ami ellentmond a feltételnek A + Val vel = b + c. A többi esetet is hasonlóan kezelik.

Tehát minden lineárisan és szigorúan rendezett félcsoport törölhető félcsoport.

Meghatározás. Legyen á A, +, fñ egy rendezett félcsoport. Elem A készletek A pozitívnak (negatívnak) nevezzük, ha a + a¹ AÉs a+a f A(illetőleg A f a + a).

2. példa Bizonyítsuk be, hogy egy rendezett kommutatív félcsoport olyan eleme, amelynek törlése nagyobb, mint egy pozitív elem, nem feltétlenül pozitív.

Megoldás. Használjuk az 1. példát. Van 2 + 2 f 2, ami azt jelenti, hogy 2 pozitív elem. 3 = 2 + 1, ami 3 f 2-t jelent. Ugyanakkor a 3 + 3 f 3 összefüggés nem áll fenn, ami azt jelenti, hogy a 3 nem pozitív elem.

4. tétel. A törléssel rendelkező kommutatív félcsoport pozitív elemeinek összege pozitív.

Bizonyíték. Ha a + a f AÉs b+b f b, akkor az 1. Tétel szerint

a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f a + b.

Még ellenőrizni kell, hogy ( a + b)+ (a+b)¹ a + b. Nekünk van:

b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)

Tegyünk úgy, mintha ( a + b)+ (a+b)=a + b. Az (1)-be behelyettesítve azt kapjuk

a+b+b f a+b+a+b Þ a f a+a.

Az antiszimmetria miatt a = a + a. Ez ellentmond annak a ténynek, hogy az elem A pozitív.

5. tétel. Ha A egy lineárisan és szigorúan rendezett félcsoport pozitív eleme, akkor bármely b nekünk van a+b f b, b + a f b.

Bizonyíték. Nekünk van a+ a f A Þ a+ a+ b f a+ b. Ha ez nem igaz a+ b f b, akkor a linearitás miatt fennáll a+b=b vagy b f a+ b. Hozzáadás balról A, ennek megfelelően kapunk a+ a+ b= a+ b vagy a+ b f a+ a+ b. Ezek a feltételek ellentmondanak a sorrendi viszony antiszimmetriájának és szigorúságának.

6. tétel. Legyen á A, +, fñ – lineárisan és szigorúan rendezett félcsoport, AÎ AÉs A+ A¹ a. Aztán az elemek:

A, 2*A, 3*A, ...

mindenki más. Ha ebben az esetben a rendszer b A, +, fñ egy csoport, akkor minden elem különbözik:

0, A,–A, 2*A, - 2*a, 3*a, –3*A, ...

(alatt k*a, kÎ N , aÎ A, az összeget jelenti a+ …+ a, amely tartalmazza k feltételek)

Bizonyíték. Ha a + A f A, Azt a + A + A f a + a stb. Ennek eredményeként egy láncot kapunk ... f ka f… f 4 A f3 A f2 A f A. A tranzitivitás és az antiszimmetria miatt minden elem más benne. Csoportban a lánc a másik irányba is folytatható egy elem hozzáadásával - A.

Következmény. Egy véges, törléses félcsoport, ha elemeinek száma legalább 2, nem rendezhető lineárisan.

7. tétel. Legyen á A, +, fñ egy lineárisan rendezett csoport. Akkor

a f a Û b f b.

A bizonyíték gyakorlat.

Így minden lineárisan rendezett csoport vagy szigorúan, vagy nem szigorúan rendezett. Ezeknek a sorrendeknek a jelölésére a > és a ³ jeleket fogjuk használni.

Feladatok

3. Bizonyítsuk be, hogy egy lineárisan és szigorúan rendezett félcsoport pozitív elemeinek összege pozitív.

4. Bizonyítsuk be, hogy egy pozitív elemnél nagyobb félcsoport minden lineárisan és szigorúan rendezett eleme maga is pozitív.

5. Bizonyítsuk be, hogy egy rendezett félcsoport akkor és csak akkor lineárisan rendezett, ha bármely véges elemhalmazának csak egy legnagyobb eleme van.

6. Bizonyítsuk be, hogy egy lineárisan rendezett csoport pozitív elemeinek halmaza nem üres.

7. Legyen á A A , +, fñ lineárisan és szigorúan rendezett csoport. Bizonyítsuk be, hogy az elem A rendszerek A akkor és csak akkor pozitív, ha A > 0.

8. Bizonyítsuk be, hogy a természetes számok additív félcsoportjában csak egy lineáris és szigorú sorrend van, amelyben a pozitív elemek halmaza nem üres.

9. Bizonyítsuk be, hogy az egész számok multiplikatív félcsoportja nem rendezhető lineárisan.

Rendelt gyűrűk

Meghatározás. Rendszer b A, +, ×, fñ nevezzük félig rendelt, Ha

1) rendszer b A, +, ×ñ – félgyűrűs;

2) rendszer b A, +, fñ – rendezett félcsoport nem üres halmazzal A+ pozitív elemek;

3) a monotonitás fennáll a pozitív elemekkel való szorzás tekintetében, azaz ha Val velÎ A+ és A f b, Azt ac f időszámításunk előtt, kb f cb.

Pozitív elem félig rendelt A az á rendezett félcsoport bármely pozitív eleme A, +, fñ.

Megrendelt félig b A, +, ×, fñ nevezzük rendelt gyűrűt (terület), ha a félig b A, +, ×ñ – gyűrű (illetve mező).

Meghatározás. Legyen á A, +, ×, fñ – rendezett félgyűrű. A rendszer f sorrendje A hívott Archimedes,és a rendszer A - Arkhimédész elrendelte, ha bármi is legyen a pozitív elem AÉs b rendszerek A, megadhat ilyen természetes számot P, Mit na f b.

1. példa A természetes számok > (nagyobb, mint) relációjú félgyűrűzése lineáris, szigorúan és arkhimédeszi rendezett félegyezés.

Lineárisan rendezett gyűrűhöz b A, +, ×, 0, fñ rendszer b A, +, 0, fñ egy lineárisan rendezett csoport. Ez a 2.2.7. Tétel szerint azt jelenti, hogy f sorrendje szigorú vagy nem szigorú. Bőségesen A beírhat (2.1.5. és 2.1.6. gyakorlat) egy új lineáris sorrend, amely szigorú lesz, ha f sorrendje nem szigorú, és nem szigorú, ha f sorrendje szigorú. E megjegyzés kapcsán lineárisan rendezett gyűrűben AÁltalában két bináris sorrendű relációt veszünk figyelembe, amelyek közül az egyiket, a szigorút, a jellel jelöljük >, és a második, nem szigorú ³ jel.

További célokra érdemes felidézni, hogy egy lineárisan rendezett gyűrűben az elem A akkor és csak akkor pozitív A> 0 (2.2.7. gyakorlat).

1. tétel. Legyen b rendszer A,+,×,0,>ñ – lineárisan rendezett gyűrű. Aztán bármelyik elemhez A tól től A vagy A = 0, vagy A> 0 vagy – A > 0.

Bizonyíték. Az elemek közötti linearitás és szigorúság miatt
a+ aÉs A a relációk közül csak egy áll fenn a+ a>a, a+ a = a, a+ a < a. Az első esetben A– pozitív elem. A másodikban mindkét részhez hozzáadjuk - Aés megkapjuk A= 0. A harmadik esetben mindkét oldalhoz hozzáadjuk – a – a – aés megkapjuk –a < -a-a, ahol –a– pozitív elem.

2. tétel. Egy lineárisan rendezett gyűrű pozitív elemeinek összege és szorzata pozitív.

A bizonyíték gyakorlat.

3. tétel. Egy lineárisan rendezett gyűrűben bármely nullától eltérő elem négyzete pozitív.

A bizonyíték gyakorlat.

4. tétel. Lineárisan rendezett mezőben ha a> 0, akkor a –1 > 0.

A bizonyíték gyakorlat.

5. tétel. ( Rendelési kritérium) . Csenge á A, +, ×, 0ñ akkor és csak akkor lehet lineárisan és szigorúan rendezni (azaz bevezetni egy lineáris és szigorú sorrendet), ha a halmaz A van egy részhalmaza A+ , megfelel a feltételeknek:

1) AÎ A + Þ A¹ 0 & – AÏ A + ;

A¹ 0 Þ AÎ A + Ú – AÎ A + ;

2)a, bÎ A + Þ a+ bÎ A + & abÎ A + .

Bizonyíték. Először legyen á A,+,×,0,>ñ – lineárisan rendezett gyűrű. A kívánt részhalmazként A+ ebben az esetben az 1. és 2. tétel alapján a rendszer számos pozitív eleme megjelenhet A.

Hagyja most A+ a b gyűrű egy részhalmaza A,+,×,0ñ, kielégítve a tétel feltételeit. Próbáljunk meg bevezetni egy lineáris rendet > az á gyűrűben A,+,×,0ñ. Határozzuk meg ezt a kapcsolatot a következőképpen:

A > b Û a – b Î A + .

Könnyen ellenőrizhető, hogy az általunk bevezetett reláció összefüggő, antireflexív, antiszimmetrikus, tranzitív és monoton az összeadás és a szorzás tekintetében bármely elemmel. A + .

Egy csomó A+ a 4. Tétel feltételeiben említett tulajdonságokkal hívjuk a gyűrű pozitív része á A,+,×,0ñ. A jövőben a rend bevezetésekor bármelyik gyűrűben keresni fogjuk benne a „pozitív részt”. Ha van ilyen a gyűrűben, akkor a gyűrű rendelhető, ha nincs, akkor nem, ha több ilyen nem egybeeső pozitív rész van, akkor többféleképpen is rendelhető.

A fentiekből az következik, hogy ha egy lineárisan rendezett gyűrűt határozunk meg fő relációként, ahelyett bináris reláció> veheted az unáris relációt „pozitív rész”.

6. tétel. ( A lineáris sorrend egyediségének kritériuma) . Hadd A+ és A++ – a b gyűrű pozitív részei A,+,×,0ñ. Akkor

A + = A ++ Û A + Í A ++ .

Hasonló cikkek