Ahol C 1 és C 2 ismeretlen.
Minden y ismert szám, amelyet x = x 0 értékkel számolunk. Ahhoz, hogy a rendszernek legyen megoldása bármely jobb oldalra, szükséges és elegendő, hogy a fő meghatározó 0-tól eltérő legyen.
Vronszkij meghatározója. Ha a determináns 0, akkor a rendszernek csak akkor van megoldása, ha a kezdeti feltételek aránya megvan. Ebből tehát az következik, hogy a kiindulási feltételek megválasztása a törvény hatálya alá tartozik, így bármely kezdeti feltételek nem fogadható el, és ez sérti a Cauchy-probléma feltételeit.
Ha , akkor a Wronski-determináns nem egyenlő 0-val, bármely x 0 érték esetén.
Bizonyíték. Legyen a determináns egyenlő 0-val, de válasszuk a kezdeti nem nulla feltételeket y=0, y’=0. Ekkor a következő rendszert kapjuk:
Ennek a rendszernek végtelen számú megoldása van, ha a determináns 0. C 11 és C 12 a rendszer megoldásai.
Ez ellentmond az első esetnek, ami azt jelenti, hogy a Wronski-determináns nem egyenlő 0-val egyetlen x 0 esetén sem, ha . Mindig lehetőség van egy adott megoldás kiválasztására az általános megoldás közül.
33. sz. jegy
Tétel egy 2. rendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldásának szerkezetére bizonyítással.
Tétel egy differenciálegyenlet általános megoldásáról:
ennek az egyenletnek a megoldásai, majd a függvény 
megoldás is. E tétel alapján egy homogén egyenlet általános megoldásának szerkezetére megállapítható: ha 1-nek és 2-nek olyan megoldása van a differenciálegyenletre, hogy arányaik nem egyenlők egy állandóval, akkor ezeknek a függvényeknek a lineáris kombinációja a a differenciálegyenlet általános megoldása. Egy triviális megoldás (vagy nulla) nem szolgálhat megoldásként erre az egyenletre.
Bizonyíték:
34. sz. jegy
Tétel egy 2. rendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldásának szerkezetére bizonyítással.
Legyen adott a jobb oldali egyenlet: . Egyenlet jobb oldal nélkül
ha függvény helyett 0-t teszünk, akkor karakterisztikának nevezzük.
Tétel egy jobb oldali egyenlet általános megoldásának szerkezetére.
T.1 Közös döntés a jobb oldali egyenletek összeállíthatók a jobb oldal nélküli egyenlet általános megoldásának és valamilyen konkrét megoldásnak az összegeként adott egyenlet.
Bizonyíték.
Jelöljük ennek az egyenletnek az általános és néhány konkrét megoldását. Vegyük a függvényt 
. Nekünk van
, 
.
Az y, y', y'' kifejezéseket behelyettesítve az egyenlet bal oldalába, azt kapjuk: Az első szögletes zárójelben lévő kifejezés egyenlő 0-val. A második zárójelben lévő kifejezés pedig egyenlő az f(x) függvénnyel ). Ezért a függvény 
ennek az egyenletnek van megoldása.
35. sz. jegy
Lineárisan homogén differenciál egyenletek 2. sorrendben állandó együtthatók, F.S.R. és általános megoldás különböző valós gyökök esetén, karakterisztikus egyenletek bizonyítással.
Vegyünk egy másodrendű homogén lineáris egyenletet állandó együtthatókkal:
,
ahol a számok.
Próbáljuk meg az egyenletet a forma függvényével kielégíteni. Innentől a következőket kapjuk:
Ebből láthatjuk, hogy mi lesz ennek az egyenletnek a megoldása, ha r a gyök másodfokú egyenlet. Ezt az egyenletet karakterisztikusnak nevezzük. Karakterisztikus egyenlet létrehozásához le kell cserélni y-t eggyel, és minden deriváltot r-re kell cserélni a derivált nagyságrendjének hatványára.
1) A karakterisztikus egyenlet gyökerei valódiak és különbözőek.
Ebben az esetben mindkét gyök felfogható az r függvény indikátoraként. Itt azonnal két egyenletet kaphat. Nyilvánvaló, hogy arányuk nem egyenlő állandó értékkel.
Az általános megoldást valós és különböző gyökök esetén a következő képlet adja meg:
.
36. sz. jegy
Lineáris homogén 2. rendű differenciálegyenletek állandó együtthatókkal, F.S.R. és általános megoldás több gyök esetén, karakterisztikus egyenletek bizonyítással.
A valós egyenlet gyökerei valósak és egyenlőek.
Ingyenes sejtértékelés– (lásd a lehetséges módszert)
Kerékpár – olyan cellasorozat a szállítási táblázatban (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…(i k ,j 1), amelyben kettő és csak két szomszédos cella van egy sorban vagy oszlopban találhatók, és az első és az utolsó cella is ugyanabban a sorban vagy oszlopban található.
(?) Permutáció a ciklus mentén - (eltolódás a ciklus mentén t értékkel)- a „+” jellel jelölt ciklus összes páratlan cellájában a térfogat növekedése t-vel és a szállítási mennyiség csökkenése a „-” jellel jelölt összes páros cellában t-vel.
^ A referenciaterv optimálisságának feltétele.
Az optimális szállítási terv megfelel az f(X)= min lineáris célfüggvény minimumának a fogyasztási és ellátási korlátozások mellett.
32. szám. Fogalmazzuk meg a k rendű differenciaegyenlet definícióját és általános megoldását! Adja meg a k rendű lineáris differenciaegyenlet definícióját állandó együtthatókkal! Tételek megfogalmazása homogén és inhomogén lineáris differenciaegyenletek általános megoldására (bizonyítás nélkül).
F(n; x n; x n +1 ;…; x n + k) = 0 alakú egyenlet, ahol k rögzített és n tetszőleges természetes szám,xn; x n +1 ;…; x n + k – valamilyen ismeretlen kifejezései számsor, k rendű differenciaegyenletnek nevezzük.
Egy differenciaegyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes olyan sorozatot (x n), amely kielégíti az egyenletet.
Egy k-edrendű egyenlet általános megoldása az x n = φ(n, C 1 , C 2 , …, C k ), k független tetszőleges C 1 , C 2 , …, C k állandótól függően. A k konstans száma megegyezik a különbségi egyenlet nagyságrendjével, a függetlenség pedig azt jelenti, hogy egyik állandó sem fejezhető ki a többivel.
Tekintsünk egy k rendű lineáris differenciaegyenletet állandó együtthatókkal:
a k x n+k + a k-1 x n+k-1 + … + a 1 x n+1 + a 0 x n = f n , ahol a i R (a k ≠ 0, a 0 ≠ 0) és
(fn) – adott számokatés a következetesség.
^ Az általános megoldási tétel nem homogén egyenlet.
Egy lineáris inhomogén differenciaegyenlet x n általános megoldása ezen egyenlet konkrét megoldásának x n * és a megfelelő homogén egyenlet n általános megoldásának összege.
^ Tétel egy homogén egyenlet általános megoldásáról.
Legyen x n 1 ,…, x n k egy lineáris homogén differenciaegyenlet k lineárisan független megoldásából álló rendszer. Ekkor ennek az egyenletnek az általános megoldását a következő képlet adja meg: x n = C 1 x n 1 + … + C k x n k.
33. sz. Ismertessen egy algoritmust egy homogén lineáris különbségi egyenlet megoldására állandó együtthatókkal! Fogalmazza meg a következő fogalmak definícióit: lineáris differenciaegyenlet alapvető megoldási halmaza, karakterisztikus egyenlet, Casoratti-determináns.
A gyökerek ismerete karakterisztikus egyenlet lehetővé teszi egy homogén differenciaegyenlet általános megoldásának megalkotását. Tekintsük ezt egy másodrendű egyenlet példáján: A kapott megoldások könnyen átvihetők magasabb rendű egyenletek esetére.
A karakterisztikus egyenlet D=b 2 -4ac diszkriminansának értékétől függően a következő esetek lehetségesek:
C 1 , C 2 tetszőleges állandók.
A k-edrendű lineáris homogén differenciaegyenlet megoldásainak halmaza k-dimenziós lineáris tér, és bármely k lineárisan független megoldás halmaza (az úgynevezett alaphalmaz) az alapja. A homogén egyenlet megoldásai lineáris függetlenségének jele, hogy a Casoratti-determináns nem egyenlő nullával:
Az egyenletet egy homogén lineáris egyenlet karakterisztikus egyenletének nevezzük.
№ 34. Adott egy lineáris differenciaegyenlet állandó együtthatókkal X n +2 – 4x n +1 + 3x n = n 2 2 n + n 3 3 n.
^ Milyen formában kell keresni az adott megoldást? Magyarázd meg a választ.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n +n 3 3 n Milyen formában kell keresni az adott megoldást? A választ meg kell magyarázni.
X n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 2 n + n 3 3 n
X n +2 -4x n +1 +3x n =0
X n =C 1 3 n + C 2 1 n
X 1 n =(a 1 n 2 +b 1 n+C 1) 2 n
X 2 n =(d 2 n 3 +a 2 n 2 +b 2 n+C 2) n2 n
X n = C 1 3 n + C 2 1 n + X 1 n + X 2 n
35. sz. Adott egy lineáris különbségi egyenlet állandó együtthatókkal x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n. Milyen formában kell keresni az adott megoldást?
x n +2 -4x n +1 +3x n =n 2 +2 n +3 n
1) x n +2 -4x n +1 +3x=0
λ 1 = 3, λ 2 = 1
x n o =C 1 (3) n + C 2 (1) n = C 1 (3) n + C 2
2) f(n)=2n, g(n)=3n, z(n)=n2
Az alap óta exponenciális fok f(n)=2 n, egyenlő 2, nem esik egybe a karakterisztikus egyenlet egyik gyökével sem, a megfelelő konkrét megoldást Y n =C(2) n alakban keressük. Az alap óta exponenciális függvény g(n)=3 n , egyenlő 3-mal, egybeesik a karakterisztikus egyenlet egyik gyökével, akkor keressük a megfelelő konkrét megoldást X n =Bn(3) n formában. Mivel z(n)=n 2 polinom, ezért egy adott megoldást polinom formájában fogunk keresni: Z n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3 .
36. sz. Adott egy lineáris differenciaegyenlet x n +2 +2x n +1 +4x n =cos+3 n +n 2 állandó együtthatókkal. Milyen formában kell keresni az adott megoldást?
x n +2 +2x n +1 +4x n =cos +3 n +n 2
1) x n+2 +2x n+1 +4x n =0
λ1 =-1+i, λ2 =-1-i
Mivel az f(n)=3 n exponenciális hatvány 3-mal egyenlő alapja nem esik egybe a karakterisztikus egyenlet egyik gyökével sem, ezért a megfelelő konkrét megoldást Y n =B(3) n formában keressük. . Mivel g(n)=n 2 polinom, egy adott megoldást polinom formájában fogunk keresni: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Ccos
37. sz. Adott egy lineáris különbségi egyenlet állandó együtthatókkal x n +2 +2x n +1 +4x n = cos+3 n +n 2 . Milyen formában kell keresni az adott megoldást?
x n +2 +2x n +1 +4x n = cos +3 n +n 2
λ1 =-1+i, λ2 =-1-i
X n 0 =(2) n (C 1 cos + C 2 sin )
2) f(n)=3n, g(n)=n2, z(n)=cos
Mivel az f(n)=3 n exponenciális hatvány 3-mal egyenlő alapja nem esik egybe a karakterisztikus egyenlet egyik gyökével sem, ezért a megfelelő konkrét megoldást Y n =B(3) n formában keressük. . Mivel g(n)=n 2 polinom, ezért egy adott megoldást polinom formájában fogunk keresni: X n =A 1 n 2 +A 2 n+A 3. Z n = Cncos
#38: Ismertesse a Samuelson-Hicks modellt. Milyen közgazdasági feltételezések támasztják alá? Milyen esetben a Hicks-egyenlet megoldása stacionárius sorozat?
A Samuelson-Hicks konjunktúra-modell feltételezi a beruházási volumenek egyenes arányosságát a nemzeti jövedelem növekedésével (gyorsítási elv), azaz.
ahol V>0 együttható a gyorsulási tényező,
I t - a beruházás összege a t időszakban,
X t -1 ,X t -2 - a nemzeti jövedelem értéke (t-1) és (t-2) időszakban.
Azt is feltételezik, hogy a kereslet ebben a szakaszban 
az előző szakaszban a nemzeti jövedelem összegétől függ 
lineárisan 
. A kereslet és kínálat egyenlőségének feltétele a forma 
. Ezután elérkezünk a Hicks-egyenlethez
ahol a, b a kereslet lineáris kifejezésének együtthatói ebben a szakaszban:
Álló sorrend 
csak a Hicks-egyenlet megoldása 
; tényező 
Keynes-szorzónak (a teljes költségmátrix egydimenziós analógja) nevezik.
№ ^
39. Ismertesse a pókpiaci modellt! Milyen közgazdasági feltételezések támasztják alá? Keresse meg a webpiaci modell egyensúlyi állapotát!
40. Fogalmazza meg a kuponos kötvény aktuális értékének meghatározásának problémáját! Mi a Cauchy-probléma egy differenciaegyenlethez? Keressen egyensúlyi megoldást a kupon kötvény aktuális értékének meghatározására vonatkozó Cauchy-problémára. Ellenőrizze, hogy a talált érték megegyezik-e az aktuálisan befizetendő összeggel, hogy a kuponösszeget minden kuponperiódusban végtelenül hosszú ideig, adott kamattal, egy kuponperiódusra megkapja.
Hadd F
– a kuponos kötvény névértéke (azaz a kibocsátó által a visszaváltáskor kifizetett pénzösszeg, amely egybeesik az utolsó kamatszelvény-periódus végével), K
– a kupon értéke (azaz az egyes kuponperiódusok végén kifizetett pénzösszeg), x 
- a kötvény aktuális értéke az n-edik kamatperiódus végén,
Azok. p 
egybeesik azzal az összeggel, amelyet pillanatnyilag be kell fizetni ahhoz, hogy egy kuponperiódusra adott kamat mellett végtelen hosszú ideig megkapja a kuponösszeget minden kuponperiódusban.
Tétel inhomogén lineáris ódák normál rendszerének általános megoldásáról (az általános megoldás szerkezetéről).
Tekintsünk egy n-edrendű közönséges differenciálegyenletekből álló inhomogén lineáris rendszert
Itt 
A 
A következő igaz általános megoldási szerkezeti tétel ennek az inhomogén lineáris ODE-rendszernek.
Ha mátrix A(x) és vektorfüggvény b
(x) folyamatosak a [ a,
b], elengedni Φ
(x) egy homogén lineáris rendszer megoldásainak alapmátrixa, majd az inhomogén rendszer általános megoldása Y"
= A(x) Y
+ b(x) a következő formában van: 
Ahol C- tetszőleges állandó oszlopvektor, x 0 - tetszőleges fix pont a szakaszból.
A fenti képletből könnyen előállítható egy képlet a Cauchy-probléma megoldására lineáris inhomogén ODE-rendszerre - a Cauchy-képlet.
A Cauchy-probléma megoldása, Y(x 0) = Y A 0 egy vektorfüggvény
Tetszőleges állandók variációs módszere inhomogén lineáris ódák normál rendszerének részmegoldásának megtalálására.
Inhomogén lineáris ODE-k rendszerének definíciója. ODU rendszer típus:
hívott lineáris heterogén . Hadd
Rendszer (*) vektor-mátrix formában: .- a rendszer homogén, egyébként inhomogén.
Maga a módszer.
Legyen egy lineáris inhomogén rendszer 
, majd lineáris homogén rendszer, ami egy lineáris inhomogénnek felel meg. Legyen a döntési rendszer alapmátrixa, 
, ahol C egy tetszőleges konstans vektor, a rendszer általános megoldása. Keressünk megoldást az (1) rendszerre a formában 
, ahol C(x) egy ismeretlen (még) vektorfüggvény. Azt akarjuk, hogy a (3) vektorfüggvény az (1) rendszer megoldása legyen. Ekkor az azonosságnak igaznak kell lennie:
(egy tetszőleges konstans vektor, amelyet az integráció eredményeként kapunk, egyenlőnek tekinthető 0-val). Itt az x 0 pontok tetszőlegesek.
Látjuk tehát, hogy ha a (3)-ban C(t)-nek vesszük 
, akkor a vektorfüggvény 
megoldás lesz az (1) rendszerre.
A lineáris inhomogén rendszer (1) általános megoldása a formába írható 
. Legyen szükséges olyan megoldást találni az (1) rendszerre, amely kielégíti a kezdeti feltételt 
. A kiindulási adatok (5) helyettesítése (4) azt adja 
. Ezért a Cauchy-probléma (1)-(5) megoldása így írható fel: 
. Abban a speciális esetben, amikor az utolsó képlet a következő alakot veszi fel: 
.
Konstans együtthatójú homogén lineáris egyenlet normálrendszerének alapvető megoldási rendszere a karakterisztikus egyenlet egyszerű valós gyökei esetén.
Normál lineáris homogén rendszernsorrend állandó együtthatókkal
-
vagy 
,A keresett függvények lineáris kombinációinak együtthatói állandóak. Ez a rendszer mátrix formájú 
–mátrix forma, ahol A egy konstans mátrix. Mátrix módszer: Tól től karakterisztikus egyenlet 
különböző gyököket fogunk találni, és minden gyökérre (a többszörösségét figyelembe véve) meghatározzuk a megfelelő megoldást. Az általános megoldás a következő: 
. Ebben az esetben 1) ha -
akkor az 1 többszörösének valós gyöke 
, ahol az A mátrix sajátértékének megfelelő sajátvektora, azaz. 2)
–
multiplicitásgyök, akkor ennek a gyöknek megfelelő rendszermegoldást keresünk vektor formájában 
(**), amelynek együtthatói 
egy lineáris egyenletrendszerből határozzuk meg, amelyet úgy kapunk, hogy a (**) vektort az eredeti rendszerbe behelyettesítve azonos x hatványokon egyenlővé tesszük az együtthatókat.
Az NLOS megoldások alaprendszere tetszőleges n lineárisan független megoldás gyűjteménye
Alapvető megoldási rendszer a homogén lineáris ODE-k normál rendszerére állandó együtthatóval abban az esetben, ha a karakterisztikus egyenlet minden gyöke egyszerű, de vannak összetett gyökök.
A kérdést eltávolítottuk.
A rendszer általános képe
, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - rendszer együtthatók; - ingyenes tagok; - változók;
Ha mind = 0, akkor a rendszert homogénnek nevezzük.
A rendszer általános megoldása lineáris egyenletek
1. definíció. Homogén rendszer m lineáris algebrai egyenletek Mert n az ismeretleneket egyenletrendszernek nevezzük
típus (1) vagy mátrix forma (2)
ahol A egy adott mxn méretű együtthatók mátrixa,
n oszlop ismeretlen, - nulla m magasságú oszlop.
Egy homogén rendszer mindig konzisztens (a kiterjesztett mátrix egybeesik A-val), és nyilvánvaló megoldásai vannak: x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Ezt a megoldást nevezzük nullának ill jelentéktelen. Bármilyen más megoldást hívunk, ha van ilyen nem triviális.
1. tétel. Ha az A mátrix rangja egyenlő az ismeretlenek számával, akkor az (1) rendszernek egyedi (triviális) megoldása van.
Valójában Cramer tétele szerint r=n és a megoldás egyedi.
2. tétel. Ahhoz, hogy egy homogén rendszernek nullától eltérő megoldása legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszermátrix rangja legyen kevesebb szám ismeretlen ( a megoldások számáról szóló tételből következik).
Þ ha vannak nem nulla megoldások, akkor a megoldás nem egyedi, akkor a rendszer meghatározója egyenlő nullával, majd r Ü ha r 3. tétel. Egy n egyenletből álló, n ismeretlent tartalmazó homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nullától eltérő megoldása, ha detA = 0. Þ ha vannak nem nulla megoldások, akkor végtelen sok megoldás van, akkor a megoldások számáról szóló tétel szerint r Ü ha detA = 0, akkor r 4. tétel. Ahhoz, hogy egy homogén rendszernek nullától eltérő megoldása legyen, szükséges, hogy a rendszer egyenleteinek száma kevesebb legyen, mint az ismeretlenek száma. Mivel egy együttható mátrix rangja nem lehet nagyobb, mint a sorok száma (valamint az oszlopok száma), akkor r 2. definíció. Az eredeti együtthatómátrix bázisoszlopain található rendszerváltozókat hívjuk alapvető változók, és a rendszer többi változóját hívjuk meg ingyenes. 4. definíció. Magán döntés Az AX = B inhomogén rendszert a kapott X oszlopvektornak nevezzük nullaértékeket ingyenes változók. 6. tétel. Inhomogén rendszer általános megoldása Az AX = B lineáris egyenletek alakja , ahol az AX = B egyenletrendszer egy adott megoldása, és az AX = 0 homogén rendszer FSR-je. A nem homogén lineáris egyenletrendszer a következő formájú rendszer: Kibővített mátrixa. Tétel (inhomogén rendszerek általános megoldásáról). · ha , ahol a (2) rendszer változóinak száma, akkor a (2) megoldás létezik és egyedi; · ha , akkor a (2) rendszer általános megoldása alakja , ahol az (1) rendszer általános megoldása, ún. általános homogén oldat, a (2) rendszer sajátos megoldása, ún privát inhomogén megoldás. A homogén lineáris egyenletrendszer a következő formájú rendszer: Az (1) rendszer nulladik megoldását ún triviális megoldás. A homogén rendszerek mindig kompatibilisek, mert mindig van egy triviális megoldás. Ha van a rendszernek nullától eltérő megoldása, akkor azt hívják nem triviális. A homogén rendszer megoldásainak linearitása van: Tétel (homogén rendszerek lineáris megoldásáról). Tétel (az általános megoldás szerkezetéről). · ha , ahol a rendszerváltozók száma, akkor csak triviális megoldás létezik; · ha , akkor a vizsgált rendszernek vannak lineárisan független megoldásai: , és annak közös döntés alakja: , ahol néhány állandó van. 2. Permutációk és helyettesítések. N-edrendű meghatározó. A determinánsok tulajdonságai. A determináns definíciója - th order. Adjunk meg egy elsőrendű négyzetmátrixot: Meghatározás. Az A mátrix elemeinek szorzatát, minden sorból és oszlopból egyet, az A mátrix determinánsának tagjának nevezzük.3 Ha a determinánsban bármely két sor vagy két oszlop felcserélődik, akkor a determináns előjelét megváltoztatja. az ellenkező. 4Ha egy mátrix nulla sort (oszlopot) tartalmaz, akkor ennek a mátrixnak a determinánsa egyenlő nullával.5 Ha egy mátrix két sora (oszlopa) egyenlő egymással, akkor ennek a mátrixnak a determinánsa egyenlő nullára.6 Ha egy mátrix két sora (oszlopa) arányos egymással, akkor ennek a mátrixnak a determinánsa egyenlő nullával.7 Egy háromszög mátrix determinánsa egyenlő a mátrixon lévő elemek szorzatával. a főátló.8 Ha minden elem k a determináns sora (oszlopa) összegként jelenik meg a k j + b k j, akkor a determináns a megfelelő determinánsok összegeként ábrázolható.9 A determináns nem változik, ha egy másik sor (vagy a megfelelő oszlop) megfelelő elemeit hozzáadjuk valamelyik sorának (vagy a megfelelő oszlopnak) az elemeihez. , megszorozva ugyanazzal a számmal.10. Hadd AÉs B azonos sorrendű négyzetmátrixok. Ekkor a mátrixok szorzatának determinánsa egyenlő a determinánsok szorzatával: Lineáris differenciálrendszerek egyenletek. A differenciálegyenletrendszert ún lineáris, ha az ismeretlen függvények és származékaik tekintetében lineáris. rendszer n- az elsőrendű lineáris egyenletek a következő formában vannak felírva: A rendszer együtthatók állandóak. Ezt a rendszert célszerű mátrix formában írni: , ahol egy argumentumtól függő ismeretlen függvények oszlopvektora. Ezen függvények deriváltjainak oszlopvektora. Ingyenes tagok oszlopvektora. Együttható mátrix. 1. tétel: Ha minden mátrix együttható A folytonosak valamilyen intervallumon és , majd mindegyik m valamelyik szomszédságában. Valójában ebben az esetben a rendszer jobb oldalai folytonosak az argumentumok halmazához képest, és parciális deriváltjaik az (az A mátrix együtthatóival megegyező) vonatkozásában korlátozottak a zárt intervallumon való folytonosság miatt. Módszerek az SLD-k megoldására 1.
Egy differenciálegyenlet-rendszer egy egyenletre redukálható az ismeretlenek kiiktatásával. Példa: Oldja meg az egyenletrendszert: Megoldás: kizárni z ezekből az egyenletekből. Az első egyenletből a . Behelyettesítve a második egyenletbe, Ez az egyenletrendszer (1)
egyetlen másodrendű egyenletre redukálva. Miután ebből az egyenletből megállapítottuk y, meg kell találni z, egyenlőség használatával. 2.
Egyenletrendszer ismeretlenek kiiktatásával történő megoldásakor általában magasabb rendű egyenletet kapunk, így sok esetben kényelmesebb a rendszert úgy megoldani, hogy megtaláljuk. integrált kombinációk. Folytatás 27b Példa: Oldja meg a rendszert Megoldás: Oldjuk meg ezt a rendszert Euler módszerével. Írjuk fel a jellemző megtalálásához szükséges meghatározót egyenlet: , (mivel a rendszer homogén, ahhoz, hogy nem triviális megoldása legyen, ennek a determinánsnak nullának kell lennie). Kapunk egy karakterisztikus egyenletet, és megtaláljuk a gyökereit: Az általános megoldás a következő: Leírjuk a megoldást: Leírjuk a megoldást: Az általános megoldást kapjuk: Ellenőrizzük: keressük meg: és cseréljük be ennek a rendszernek az első egyenletébe, azaz. . Kapunk: Lineáris diff. n-edrendű egyenletek. Tétel egy n-edrendű inhomogén lineáris egyenlet általános megoldásáról. Az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet a következő alakú egyenlet: (1)
Ha ennek az egyenletnek van együtthatója, akkor azzal elosztva a következő egyenlethez jutunk: (2)
. Általában a típusú egyenletek (2).
Tegyük fel, hogy az ur-i (2)
minden esély, valamint f(x) bizonyos időközönként folyamatos (a, b). Ezután a TS&E szerint az egyenlet (2)
egyedi megoldása van, amely kielégíti a kezdeti feltételeket: , , …, for . Itt - bármely pont az intervallumból (a, b),és minden - bármely megadott szám. Az egyenlet (2)
kielégíti a TC&E-t ,
ezért nem rendelkezik speciális megoldások. Def.: speciális azok a pontok, amelyeknél =0. A lineáris egyenlet tulajdonságai: Alapértelmezett: ha az egyenletben (2)
tegye f(x)=0, akkor a következő alakú egyenletet kapjuk: (3)
, ami az úgynevezett homogén egyenlet az inhomogén egyenlethez képest (2).
Bemutatjuk a lineáris differenciáloperátort: (4).
Ezzel az operátorral röviden átírhatja az egyenletet (2)
És (3):
L(y)=f(x), L(y)=0. Operátor (4)
a következő egyszerű tulajdonságokkal rendelkezik: Ebből a két tulajdonságból következtethetünk: . Funkció y=y(x) az inhomogén egyenlet megoldása (2),
Ha L(y(x))=f(x), Akkor f(x) az egyenlet megoldásának nevezzük. Tehát az egyenlet megoldása (3)
függvénynek nevezzük y(x), Ha L(y(x))=0 a figyelembe vett intervallumokon. Fontolgat inhomogén lineáris egyenlet: , L(y)=f(x). Tegyük fel, hogy valamilyen módon találtunk egy adott megoldást, akkor . Mutassunk be egy új ismeretlen függvényt z képlet szerint: , ahol egy adott megoldás. Helyettesítsük be az egyenletbe: , nyissuk ki a zárójeleket és kapjuk meg: . A kapott egyenlet a következőképpen írható át: Mivel az eredeti egyenlet sajátos megoldása, akkor , akkor . Így homogén egyenletet kaptunk a vonatkozásban z. Ennek a homogén egyenletnek az általános megoldása egy lineáris kombináció: , ahol a függvények - alkotják a homogén egyenlet alapvető megoldási rendszerét. Helyettesítés z a helyettesítő képletbe a következőket kapjuk: Így az inhomogén egyenes általános megoldása. Az egyenlet egy homogén lineáris egyenlet általános megoldásának és egy inhomogén egyenlet néhány konkrét megoldásának összege. (folytatás a másik oldalon) 30. A differenciál megoldásának létezési tétele és egyedisége. egyenletek Tétel: Ha az egyenlet jobb oldala folytonos a téglalapban Bizonyíték: Tekintsük a teljes metrikus teret VAL VEL, amelynek minden pontja az intervallumon definiált lehetséges y(x) folytonos függvény Cseréljük ki a differenciálművet. egyenlet adott kezdeti feltételekkel egy ekvivalens integrál egyenlethez: A Lipschitz-egyenlőtlenség felhasználásával felírhatjuk, hogy a távolság . Most válasszunk egyet, amelyre a következő egyenlőtlenség érvényes: . Akkor úgy kell választani . Így azt mutattuk meg. A kontrakciós leképezések elve szerint egyetlen pont, vagy ami ugyanaz, egyetlen függvény létezik - egy differenciálegyenlet megoldása, amely kielégíti az adott kezdeti feltételeket.
Legyen (azaz a (2) rendszer konzisztens), akkor:
Legyenek az (1) homogén rendszer megoldásai, és legyenek tetszőleges állandók. Akkor is megoldás a vizsgált rendszerre.
Akkor hadd:
1
| | | | | | | | | | |
A TS&E feltételek teljesülnek. Következésképpen minden ilyen ponton egyetlen integrálgörbe halad át.
(1)
egyszerűsítés után a következőket kapjuk: 
.
;
- sajátvektor.
;
- sajátvektor.
;
.
- igazi egyenlőség.
(*) a funkcióhoz y– az eredeti egyenlet ismeretlen függvénye. Az eredeti egyenlet összes megoldását a (*) tartalmazza.
és korlátozott, és teljesíti a Lipschitz-feltételt is: , N=const, akkor létezik egy egyedi megoldás, amely kielégíti a kezdeti feltételeket és a szegmensen van definiálva 
, Ahol ., amelynek grafikonjai a téglalap belsejében helyezkednek el, és a távolságot a következő egyenlőség határozza meg: 
. Ezt a teret gyakran használják a matematikai elemzésben, és ún egyenletes konvergencia tere, mivel ennek a térnek a metrikájában a konvergencia egyenletes.
és vegye figyelembe az üzemeltetőt A(y), egyenlő ennek az egyenletnek a jobb oldalával: 
. Ez az operátor minden folyamatos funkcióhoz hozzárendel
Hasonló cikkek
