Amikor a szám megsokszorozza magát magamnak, munka hívott fokozat.

Tehát 2,2 = 4, 2 négyzete vagy második hatványa
2.2.2 = 8, kocka vagy harmadik hatvány.
2.2.2.2 = 16, negyedik fok.

Továbbá 10,10 = 100, a 10 második hatványa.
10.10.10 = 1000, harmadfok.
10.10.10.10 = 10000 negyedik hatvány.

És a.a = aa, a második hatványa
a.a.a = aaa, a harmadik hatványa
a.a.a.a = aaaa, a negyedik hatványa

Az eredeti számot hívják gyökér ennek a számnak a hatványai, mert ez az a szám, amelyből a hatványokat létrehozták.

Ez azonban nem teljesen kényelmes, különösen abban az esetben magas fokok, írd le a fokokat alkotó összes tényezőt. Ezért gyorsírási módszert alkalmazunk. A fokozat gyöke csak egyszer van írva, jobbra és a közelében egy kicsit feljebb, de valamivel kisebb betűtípussal, hányszor a gyökér tényezőként működik. Ezt a számot vagy betűt hívják kitevő vagy fokozat számok. Tehát a 2 egyenlő a.a-val vagy aa-val, mivel az a gyöket kétszer kell megszorozni önmagával, hogy megkapjuk az aa hatványt. Ezenkívül a 3 azt jelenti, hogy aaa, vagyis itt a ismétlődik háromszor szorzóként.

Az első fok kitevője 1, de általában nem írják le. Tehát egy 1-et a-ként írunk.

A fokozatokat nem szabad összetéveszteni együtthatók. Az együttható megmutatja, hogy milyen gyakran veszi az értéket Rész az egész. A teljesítmény azt mutatja, hogy egy mennyiséget milyen gyakran vesznek fel tényező munkában.
Tehát 4a = a + a + a + a. De a 4 = a.a.a.a

A hatványjelölési séma sajátos előnye, hogy lehetővé teszi számunkra a kifejezést ismeretlen fokozat. Ebből a célból szám helyett a kitevőt írjuk levél. A probléma megoldása során olyan mennyiséget kaphatunk, amelyről tudjuk néhány más nagyságrendű fok. De egyelőre nem tudjuk, hogy négyzet, kocka vagy más, magasabb fokozat. Tehát az a x kifejezésben a kitevő azt jelenti, hogy ez a kifejezés rendelkezik néhány fokozat, bár nem definiált milyen fokon. Tehát b m és d n felemelkedik m és n hatványaira. Ha megtaláltuk a kitevőt, szám betű helyett be van cserélve. Tehát, ha m=3, akkor b m = b 3 ; de ha m = 5, akkor b m =b 5.

Használatkor nagy előnyt jelent az értékek írásmódja is a hatalom használatával kifejezéseket. Így (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), vagyis az (a + b + d) trinom kockája . De ha ezt a kifejezést kockává emelés után írjuk le, akkor így fog kinézni
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ha veszünk egy olyan hatványsorozatot, amelynek kitevője 1-gyel nő vagy csökken, akkor azt találjuk, hogy a szorzat növekszik közös szorzó vagy vel csökken közös osztó , és ez a tényező vagy osztó az eredeti szám, amelyet hatványra emelünk.

Tehát a sorozatban aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
vagy 5, 4, 3, 2, 1;
a mutatók, ha jobbról balra számoljuk, 1, 2, 3, 4, 5; és értékeik különbsége 1. Ha elkezdjük jobb oldalon szaporodnak a-val sikeresen több értéket kapunk.

Tehát a.a = a 2 , második tag. És a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , harmadik tag. a 4 .a = a 5 .

Ha elkezdjük bal feloszt a,
kapunk egy 5:a = a 4 és egy 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

De ez a felosztási folyamat tovább folytatható, és új értékrendet kapunk.

Tehát a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

A teljes sor a következő lenne: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Vagy 5, 4, 3, 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Itt vannak az értékek jobb oldalon az egyikből van fordítottértékek egytől balra. Ezért ezeket a fokozatokat nevezhetjük inverz hatványok a. Azt is mondhatjuk, hogy a bal oldali hatványok a jobb oldali hatványok inverzei.

Tehát 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. És 1:(1/a 3) = a 3.

Ugyanaz a felvételi terv alkalmazható polinomok. Tehát a + b esetén azt a halmazt kapjuk,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

A kényelem kedvéért a kölcsönös erők írásának egy másik formáját használják.

E forma szerint 1/a vagy 1/a 1 = a -1 . És 1/aaa vagy 1/a 3 = a -3 .
1/aa vagy 1/a 2 = a -2. 1/aaaa vagy 1/a 4 = a -4 .

És ahhoz, hogy egy teljes sorozatot hozzunk létre, amelyben az 1 a kitevők teljes különbsége, az a/a vagy az 1 olyan dolognak tekinthető, amelynek nincs fokozata, és 0-val írjuk.

Ezután figyelembe véve a közvetlen és inverz hatványokat
aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa helyett
írhat 4-et, 3-at, 2-t, 1-et, 0-t, -1-et, -2-t, -3-at, -4-et.
Vagy a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

És a csak egyedi diplomák sorozata így fog kinézni:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Egy fok gyökere egynél több betűvel is kifejezhető.

Így aa.aa vagy (aa) 2 az aa második hatványa.
És aa.aa.aa vagy (aa) 3 az aa harmadik hatványa.

Az 1-es szám minden hatványa azonos: 1.1 vagy 1.1.1. egyenlő lesz 1-gyel.

A hatványozás azt jelenti, hogy bármely szám értékét úgy találjuk meg, hogy a számot megszorozzuk önmagával. A hatványozás szabálya:

Szorozza meg a mennyiséget önmagával annyiszor, amennyit a szám hatványa jelez.

Ez a szabály közös minden olyan példában, amely a hatványozás folyamata során felmerülhet. De helyes magyarázatot adni arra vonatkozóan, hogy ez hogyan vonatkozik bizonyos esetekben.

Ha csak egy tagot emelünk hatványra, akkor azt annyiszor szorozzuk meg önmagával, amennyit a kitevő jelzi.

A negyedik hatványa 4 vagy aaaa. (195. cikk)
Az y hatodik hatványa y 6 vagy yyyyyy.
Az x N-edik hatványa x n vagy xxx..... n-szer megismétlődik.

Ha több kifejezésből álló kifejezést kell hatványra emelni, akkor az az elv, hogy több tényező szorzatának hatványa egyenlő ezen tényezők hatványra emelt szorzatával.

Tehát (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = y.ay.
De ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Tehát (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Ezért egy termék erejének megtalálásakor vagy a teljes termékkel egyszerre, vagy az egyes tényezőkkel külön-külön, majd ezek értékét megszorozzuk a hatványokkal.

1. példa A dhy negyedik hatványa (dhy) 4 vagy d 4 h 4 y 4.

2. példa A harmadik hatvány 4b, van (4b) 3, vagy 4 3 b 3 vagy 64b 3.

3. példa 6ad N-edik hatványa (6ad) n vagy 6 n a n d n.

4. példa 3m.2y harmadik hatványa (3m.2y) 3 vagy 27m 3 .8y 3.

A + és - által összekapcsolt tagokból álló binomiális mértékét a tagok szorzásával számítjuk ki. Igen,

(a + b) 1 = a + b, első fok.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, második hatvány (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, harmadik hatvány.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, negyedik hatvány.

Az a - b négyzete a 2 - 2ab + b 2.

Az a + b + h négyzete a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

1. feladat Keresse meg az a + 2d + 3 kockát!

2. feladat. Határozzuk meg b + 2 negyedik hatványát!

3. feladat Határozza meg x + 1 ötödik hatványát!

4. gyakorlat. Keresse meg a hatodik hatványt 1 - b.

Összeg négyzetek összegeketÉs különbségek a binomiálisok olyan gyakran előfordulnak az algebrában, hogy nagyon jól ismerni kell őket.

Ha a + h-t megszorozzuk önmagával vagy a -h-t önmagával,
kapjuk: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 is, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Ebből jól látható, hogy minden esetben az első és az utolsó tag a és h négyzete, a középső tag pedig a és h szorzatának kétszerese. Innentől a binomiálisok összegének és különbségének négyzete a következő szabály segítségével meghatározható.

Egy binomiális négyzete, amelynek mindkét tagja pozitív, egyenlő az első tag négyzete + mindkét tag szorzatának kétszerese + az utolsó tag négyzete.

Négyzet különbségek binomiális egyenlő az első tag négyzetével mínusz mindkét tag szorzatának kétszerese plusz a második tag négyzete.

1. példa: 2a + b négyzet, van 4a 2 + 4ab + b 2.

2. példa: Ab + cd négyzet, van egy 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

3. példa: 3d - h négyzet, van 9d 2 + 6dh + h 2.

4. példa Az a - 1 négyzet 2 - 2a + 1.

A binomiálisok magasabb hatványainak meghatározására szolgáló módszert lásd a következő szakaszokban.

Sok esetben hatásos az írás fokon szorzás nélkül.

Tehát a + b négyzete (a + b) 2.
A bc + 8 + x N-edik hatványa (bc + 8 + x) n

Ilyenkor a zárójel takar Minden fokozat alatti tagok.

De ha a fok gyöke többből áll szorzók, a zárójelek lefedhetik a teljes kifejezést, vagy kényelmességtől függően külön is alkalmazhatók a tényezőkre.

Így az (a + b)(c + d) négyzet vagy [(a + b).(c + d)] 2 vagy (a + b) 2 .(c + d) 2.

E kifejezések közül az elsőnél az eredmény két tényező szorzatának négyzete, a másodiknál ​​pedig a négyzeteinek szorzata. De egyenlőek egymással.

Az a.(b + d) kocka 3, vagy a 3.(b + d) 3.

Figyelembe kell venni az érintett tagok előtti táblát is. Nagyon fontos emlékezni arra, hogy ha egy diploma gyökere pozitív, akkor minden pozitív ereje is pozitív. De ha a gyökér negatív, az értékek együtt páratlan a hatványok negatívak, míg az értékek még fokok pozitívak.

A második fokozat (-a) +a 2
A harmadik fokozat (-a) az -a 3
A negyedik hatvány (-a) +a 4
Az ötödik hatvány (-a) az -a 5

Ezért bármelyik páratlan a fokozat azonos előjelű a számmal. De még a fokozat pozitív, függetlenül attól, hogy a szám negatív vagy pozitív előjelű.
Tehát +a.+a = +a 2
És -a.-a = +a 2

A már hatványra emelt mennyiséget a kitevők szorzásával ismét hatványsá emeljük.

A 2 harmadik hatványa a 2,3 = a 6.

Ha a 2 = aa; az aa kocka aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; ami a hatodik hatványa, de a 2 harmadik hatványa.

A 3 b 2 negyedik hatványa a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

A 4a 2 x harmadik hatványa 64a 6 x 3.

Az (a + b) 2 ötödik hatványa (a + b) 10.

A 3 N-edik hatványa egy 3n

(x - y) m N-edik hatványa (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 óra 4) 3 = a 9 b 6 óra 12

A szabály ugyanúgy vonatkozik negatív fokon.

1. példa A -2 harmadik hatványa a -3.3 =a -6.

A -2 esetén = 1/aa, és ennek a harmadik hatványa
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

A 2 b -3 negyedik hatványa a 8 b -12 vagy a 8 /b 12 .

A négyzet b 3 x -1, van b 6 x -2.

Az ax -m N-edik hatványa x -mn vagy 1/x.

Itt azonban emlékeznünk kell arra, hogy ha a jel előző fok "-", akkor azt "+"-ra kell változtatni, ha a fok páros szám.

Példa 1. Az -a 3 négyzet +a 6. Az -a 3 négyzete -a 3 .-a 3, ami az előjelek szorzási szabályai szerint +a 6.

2. De az -a 3 kocka az -a 9. -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 esetén.

3. Az N-edik hatvány -a 3 egy 3n.

Itt az eredmény lehet pozitív vagy negatív attól függően, hogy n páros vagy páratlan.

Ha töredék Hatványra emeljük, majd a számlálót és a nevezőt hatványra emeljük.

Az a/b négyzete a 2 /b 2 . A törtek szorzásának szabálya szerint
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Az 1/a második, harmadik és n-edik hatványa 1/a 2, 1/a 3 és 1/a n.

Példák binomiálisok, amelyben az egyik kifejezés egy tört.

1. Keresse meg x + 1/2 és x - 1/2 négyzetét.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Az a + 2/3 négyzete a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Négyzet x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Az x - b/m négyzete x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Korábban azt mutatták be törtegyütthatóáthelyezhető a számlálóból a nevezőbe vagy a nevezőből a számlálóba. A kölcsönös erők írásának sémáját használva egyértelmű, hogy bármilyen szorzó mozgatható is, ha a fokozat előjele megváltozik.

Tehát az ax -2 /y törtben áthelyezhetjük x-et a számlálóból a nevezőbe.
Ekkor ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2.

Az a/3-mal törtben y-t a nevezőből a számlálóba léptethetünk.
Ekkor a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Ugyanígy áthelyezhetünk egy pozitív kitevővel rendelkező tényezőt a számlálóba, vagy egy negatív kitevővel rendelkező tényezőt a nevezőbe.

Tehát ax 3 /b = a/bx -3. x 3 esetén az inverz x -3 , ami x 3 = 1/x -3 .

Ezért bármely tört nevezője teljesen eltávolítható, vagy a számláló egyre csökkenthető anélkül, hogy a kifejezés jelentése megváltozna.

Tehát a/b = 1/ba -1 vagy ab -1 .

Fokozatképletek komplex kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.

Szám c van n-egy szám hatványa a Amikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. A fokokat ugyanazzal az alappal megszorozva a mutatóik összeadódnak:

a m·a n = a m + n .

2. Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk, kitevőjüket levonjuk:

3. 2 vagy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők fokozatainak szorzatával:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

(a/b) n = a n /b n.

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

(a m) n = a m n .

Minden fenti képlet igaz balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Egy arány gyöke egyenlő az osztalék és a gyökosztó hányadával:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeli a gyökér fokát be n egyszer és egyben beépül n A hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha a gyökér fokát csökkenti n egyidejűleg vonjuk ki a gyökeret n-gyökszám hatványa, akkor a gyök értéke nem változik:

Egy fok negatív kitevővel. Egy bizonyos, nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy osztjuk ugyanazon szám hatványával egyenlő kitevővel abszolút érték nem pozitív indikátor:

Képlet a m:a n =a m - n nem csak arra használható m> n, hanem azzal is m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n =a m - n igazságossá vált, amikor m=n, nulla fok megléte szükséges.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely szám hatványa, nem egyenlő nullával, nulla kitevővel egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Valós szám emelésére A fokig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m- ennek a számnak a hatványa A.

szorzás segítségével találhatjuk meg. Például: 5+5+5+5+5+5=5x6. Egy ilyen kifejezésről azt mondják, hogy az egyenlő tagok összegét egy szorzatba hajtjuk. És fordítva, ha ezt az egyenlőséget jobbról balra olvassuk, azt találjuk, hogy kibővítettük az egyenlő tagok összegét. Hasonlóképpen összecsukhatja több egyenlő tényező szorzatát 5x5x5x5x5x5=5 6.

Vagyis a hat azonos tényező 5x5x5x5x5x5 szorzata helyett 5 6-ot írnak, és azt mondják, hogy „öt a hatodik hatványhoz”.

Az 5 6 kifejezés egy szám hatványa, ahol:

5 - fokozatalap;

6 - kitevő.

Azokat a műveleteket, amelyekkel egyenlő tényezők szorzatát hatványra redukáljuk, nevezzük hatalomra emelése.

BAN BEN Általános nézet fokot "a" bázissal és "n" kitevővel így írjuk

Az a szám n hatványra emelése azt jelenti, hogy meg kell találni n tényező szorzatát, amelyek mindegyike egyenlő a-val

Ha az „a” fok alapja 1, akkor bármely n természetes szám fokértéke 1 lesz. Például 1 5 =1, 1 256 =1

Ha az „a” számot felemeli első fokozat, akkor megkapjuk magát az a számot: a 1 = a

Ha bármilyen számot emel a nulla fok, akkor a számítások eredményeként kapunk egyet. a 0 = 1

Egy szám második és harmadik hatványa különlegesnek számít. Neveket találtak ki nekik: a második fokozatot hívják négyzetre a számot, harmadik - kocka ez a szám.

Bármely szám hatványra emelhető - pozitív, negatív vagy nulla. Ebben az esetben a következő szabályok nem érvényesek:

Ha egy pozitív szám hatványát megtaláljuk, az eredmény egy pozitív szám.

Ha nullát számítunk a természetes hatványra, akkor nullát kapunk.

x m · x n = x m + n

például: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Nak nek osztja el a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal Nem az alapot változtatjuk, hanem kivonjuk a kitevőket:

x m / x n = x m - n , Ahol, m > n,

például: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Számításkor hatalmat hatalommá emelni Nem az alapot változtatjuk, hanem a kitevőket szorozzuk meg egymással.

(m ) n = y m n

például: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

például:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

szerinti számítások végzésekor tört hatványra emelése a tört számlálóját és nevezőjét egy adott hatványra emeljük

(x/y)n = x n / y n

például: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

A számítási sorrend, ha fokot tartalmazó kifejezésekkel dolgozik.

A zárójel nélküli, de hatványokat tartalmazó kifejezések számításánál mindenekelőtt hatványozást, majd szorzást és osztást végeznek, és csak ezután végeznek összeadást és kivonást.

Ha zárójeleket tartalmazó kifejezést kell kiszámítani, akkor először a zárójelben lévő számításokat végezze el a fent jelzett sorrendben, majd a többi műveletet ugyanabban a sorrendben balról jobbra haladva.

A gyakorlati számításokban nagyon széles körben használnak kész hatványtáblázatokat a számítások egyszerűsítésére.

Folytatva a beszélgetést egy szám erejéről, logikus, hogy kitaláljuk, hogyan találjuk meg a hatvány értékét. Ezt a folyamatot ún hatványozás. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan történik a hatványozás, miközben az összes lehetséges kitevőt érintjük - természetes, egész, racionális és irracionális. És a hagyomány szerint részletesen megvizsgáljuk a számok különféle hatalmakba emelésének példáit.

Oldalnavigáció.

Mit jelent a "hatványosítás"?

Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mit nevezünk hatványozásnak. Itt van a vonatkozó meghatározás.

Meghatározás.

Hatványozás- ez egy szám hatványértékének megállapítása.

Így az a szám hatványának r kitevőjű megtalálása és az a szám r hatványra emelése ugyanaz. Például, ha a feladat „számítsa ki a hatvány (0,5) 5 értékét”, akkor a következőképpen lehet újrafogalmazni: „Emelje fel a 0,5-öt 5-ös hatványra.”

Most közvetlenül léphet azokhoz a szabályokhoz, amelyek alapján a hatványozás történik.

Egy szám természetes hatványra emelése

A gyakorlatban a alapú egyenlőséget általában a formában alkalmazzák. Azaz, amikor egy a számot m/n törthatványra emelünk, először az a szám n-edik gyökét veszik fel, majd az eredményt m egész hatványra emeljük.

Nézzük meg a törthatványra emelés példáit.

Példa.

Számítsa ki a fokozat értékét!

Megoldás.

Két megoldást mutatunk be.

Első út. A törtkitevős fok definíciója szerint. Kiszámoljuk a fok értékét a gyökérjel alatt, majd kivonjuk a kockagyököt: .

Második út. A tört kitevővel rendelkező fok definíciója alapján és a gyökök tulajdonságai alapján a következő egyenlőségek igazak: . Most kivonjuk a gyökeret , végül egész hatványra emeljük .

Nyilvánvalóan a törthatványra emelés kapott eredményei egybeesnek.

Válasz:

Vegye figyelembe, hogy a tört kitevőt fel lehet írni decimális vagy vegyes szám, ezekben az esetekben a megfelelő közönséges törtre kell cserélni, majd hatványra emelni.

Példa.

Számítsd ki (44,89) 2.5.

Megoldás.

Írjuk be a kitevőt a formába közönséges tört(ha szükséges, lásd a cikket): . Most végrehajtjuk az emelést törthatványra:

Válasz:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Azt is el kell mondani, hogy a számok racionális hatványokra emelése meglehetősen munkaigényes folyamat (főleg, ha a törtkitevő számlálója és nevezője kellően nagy számokat tartalmaz), amelyet általában számítástechnikával hajtanak végre.

Ennek a pontnak a befejezéseként a nulla szám törthatványra való emelésére fogunk összpontosítani. Az alak nulla törthatványának a következő jelentést adtuk: amikor van , és nullánál az m/n teljesítmény nincs meghatározva. Tehát a nullától a tört pozitív hatványhoz nulla, például, . És a nullának egy tört negatív hatványban nincs értelme, például a 0 -4,3 kifejezéseknek nincs értelme.

Irracionális hatalommá emelés

Néha szükségessé válik egy irracionális kitevővel rendelkező szám hatványának kiderítése. Ebben az esetben gyakorlati célokra általában elegendő egy bizonyos előjelre pontos fokértéket meghatározni. Rögtön jegyezzük meg, hogy a gyakorlatban ezt az értéket elektronikus számítógépek segítségével számítják ki, mivel irracionális teljesítményre emelése manuálisan nagyszámú körülményes számítást igényel. De továbbra is általánosságban leírjuk a cselekvések lényegét.

Egy irracionális kitevővel rendelkező a szám hatványának közelítő értékének meghatározásához a kitevő tizedes közelítését veszik, és kiszámítják a hatvány értékét. Ez az érték az a szám hatványának közelítő értéke irracionális kitevővel. Minél pontosabb egy szám tizedes közelítését veszi kezdetben, annál pontosabb lesz a fokérték a végén.

Példaként számítsuk ki a 2 hatvány közelítő értékét 1,174367... . Vegyük az irracionális kitevő következő decimális közelítését: . Most felemeljük a 2-t az 1,17 racionális hatványra (a folyamat lényegét az előző bekezdésben leírtuk), így 2 1,17 ≈2,250116 kapunk. És így, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ha például az irracionális kitevő pontosabb decimális közelítését vesszük, akkor az eredeti kitevő pontosabb értékét kapjuk: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika tankönyv 5. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9. osztálynak. oktatási intézmények.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10 - 11. évfolyamai számára.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).

A hatványozás a szorzással szorosan összefüggő művelet, ez a művelet egy szám ismételt szorzásának eredménye. Képzeljük el a következő képlettel: a1 * a2 * … * an = an.

Például a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Általában a hatványozást gyakran használják a matematika és a fizika különféle képleteiben. Ennek a függvénynek tudományosabb célja van, mint a négy főnek: Összeadás, kivonás, szorzás, osztás.

Szám hatványra emelése

Egy szám hatványra emelése nem bonyolult művelet. A szorzáshoz hasonló módon kapcsolódik, mint a szorzás és az összeadás kapcsolatához. Az an jelölés az „a” számok n-edik számának egymással való szorzatának rövid jelölése.

Legfeljebb a hatványozást vegyük figyelembe egyszerű példák, áttérve az összetettekre.

Például 42. 42 = 4 * 4 = 16. Négy négyzet (a második hatványhoz) tizenhat. Ha nem érti a 4 * 4 szorzást, akkor olvassa el a szorzásról szóló cikkünket.

Nézzünk egy másik példát: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Öt kocka (a harmadik hatványhoz) egyenlő százhuszonöttel.

Egy másik példa: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Kilenc kocka hétszázhuszonkilencnek felel meg.

Hatványozási képletek

A hatványra való helyes emeléshez emlékeznie kell és ismernie kell az alábbi képleteket. Ebben nincs semmi extra természetes, a lényeg, hogy megértsük a lényeget és akkor nem csak emlékezni fognak rájuk, de könnyűnek is tűnnek.

Egy monom hatványra emelése

Mi az a monomiális? Ez számok és változók szorzata bármilyen mennyiségben. Például a kettő egy monom. És ez a cikk pontosan az ilyen monomok hatalommá emeléséről szól.

A hatványozási képletekkel nem lesz nehéz kiszámítani a monom hatványozását.

Például, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Ha egy monomit hatványra emel, akkor a monom minden komponense hatványra lesz emelve.

Ha egy olyan változót, amelynek már van hatványa, hatványra emelünk, a hatványok megszorozódnak. Például (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Negatív hatalommá emelés

A negatív hatvány egy szám reciproka. Mi a reciprok szám? Bármely X szám reciproka 1/X. Vagyis X-1=1/X. Ez a negatív fokozat lényege.

Tekintsük a (3Y)^-3 példát:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Miert van az? Mivel a fokban mínusz van, egyszerűen átvisszük ezt a kifejezést a nevezőbe, majd emeljük a harmadik hatványra. Egyszerű nem?

Törthatványra emelés

Kezdjük azzal, hogy egy konkrét példával vizsgáljuk meg a problémát. 43/2. Mit jelent a 3/2 fokozat? 3 – számláló, egy szám (jelen esetben 4) kockává emelését jelenti. A 2-es szám egy szám második gyökének kivonata (ebben az esetben a 4).

Ekkor megkapjuk a 43 = 2^3 = 8 négyzetgyökét. Válasz: 8.

Tehát egy törthatvány nevezője lehet 3 vagy 4, és a végtelenségig tetszőleges szám, és ez a szám határozza meg a négyzetgyök fokát. adott szám. Természetesen a nevező nem lehet nulla.

Gyökért hatalommá emelni

Ha a gyökér fokát magával a gyökér fokával megemeljük, akkor a válasz radikális kifejezés lesz. Például (√x)2 = x. És így mindenesetre a gyökér foka és a gyökéremelés mértéke egyenlő.

Ha (√x)^4. Ekkor (√x)^4=x^2. A megoldás ellenőrzéséhez a kifejezést törthatékonyságú kifejezéssé alakítjuk. Mivel a gyök négyzet, a nevező 2. Ha pedig a gyököt a negyedik hatványra emeljük, akkor a számláló 4. 4/2=2-t kapunk. Válasz: x = 2.

Mindenesetre a legjobb megoldás az, ha a kifejezést egyszerűen törthatékonyságú kifejezéssé konvertálja. Ha a tört nem törlődik, akkor ez a válasz, feltéve, hogy az adott szám gyökét nem izoláljuk.

Komplex szám hatványra emelése

Mi az a komplex szám? Összetett szám– a + b * i képlettel rendelkező kifejezés; a, b – valós számok. i egy olyan szám, amely négyzetre vetve a -1 számot adja.

Nézzünk egy példát. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Iratkozzon fel a „Fejtsd fel a fejszámolást, NEM a fejszámolást” kurzusra, hogy megtanulja, hogyan kell gyorsan és helyesen összeadni, kivonni, szorozni, osztani, négyzetszámokat kivonni és még gyököket is kivonni. 30 nap alatt megtanulja, hogyan használhat egyszerű trükköket az aritmetikai műveletek egyszerűsítésére. Minden lecke új technikákat, világos példákat és hasznos feladatokat tartalmaz.

Hatványozás online

Számológépünk segítségével kiszámolhatja egy szám hatványra emelését:

Hatványozás 7. évfolyam

Az iskolások csak a hetedik osztályban kezdenek hatalomra emelkedni.

A hatványozás a szorzással szorosan összefüggő művelet, ez a művelet egy szám ismételt szorzásának eredménye. Ábrázoljuk a következő képlettel: a1 * a2 * … * an=an.

Például, a=2, n=3: 2*2*2=2^3=8.

Példák a megoldásra:

Hatványozás bemutatása

Prezentáció a képességek növeléséről, hetedikesek számára. Az előadás tisztázhat néhány tisztázatlan pontot, de ezek a pontok valószínűleg nem tisztázódnak cikkünknek köszönhetően.

A lényeg

Csak a jéghegy csúcsát néztük, hogy jobban megértsük a matematikát - iratkozzon fel tanfolyamunkra: Gyorsuló fejszámolás - NEM fejszámolás.

A tanfolyamon nemcsak az egyszerűsített és gyors szorzás, összeadás, szorzás, osztás, százalékszámítás tucatnyi technikáját sajátítod el, hanem speciális feladatokban, oktatójátékokban is gyakorolhatod! A fejszámolás is nagy figyelmet és koncentrációt igényel, amelyet aktívan képeznek érdekes feladatok megoldása során.

Hasonló cikkek