Online számológép.
A binomiális négyzetének elkülönítése és a négyzetes trinomiális faktorálása.

Ez a matematikai program megkülönbözteti a négyzetes binomiált a négyzetes trinomiálistól, azaz olyan átalakítást végez, mint:
$ax^2+bx+c \jobbra nyíl a(x+p)^2+q $ és másodfokú trinomit faktorizál: $ax^2+bx+c \jobbra nyíl a(x+n)(x+m) $

Azok. a problémák a $p, q$ és $n, m$ számok megtalálásában merülnek fel

A program nem csak a problémára ad választ, hanem megjeleníti a megoldás folyamatát is.

Ez a program hasznos lehet az általános iskolákban tanuló középiskolásoknak a vizsgákra, vizsgákra való felkészüléskor, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzéskor, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának kézben tartásához. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni? házi feladat matematikában vagy algebrában? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.

Ha nem ismeri a másodfokú trinomium megadásának szabályait, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.

Másodfokú polinom bevitelének szabályai

Bármely latin betű működhet változóként.
Például: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$ stb.

A számok egész vagy tört számként is megadhatók.
Ezenkívül a törtszámok nem csak tizedes, hanem közönséges tört formájában is beírhatók.

A tizedes törtek bevitelének szabályai.
Tizedesjegyben töredék ponttal vagy vesszővel elválasztható az egésztől.
Például beléphet tizedesjegyekígy: 2,5x - 3,5x^2

A közönséges törtek bevitelének szabályai.
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.

A nevező nem lehet negatív.

Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: /
A teljes részt az és jel választja el a törttől: &
Bemenet: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Eredmény: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2$

Egy kifejezés beírásakor használhat zárójelet. Ilyenkor a megoldásnál először a bevezetett kifejezés egyszerűsödik.
Például: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Példa egy részletes megoldásra

A binomiális négyzetének elkülönítése.$$ ax^2+bx+c \jobbra nyíl a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Válasz:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizáció.$$ ax^2+bx+c \jobbra nyíl a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \jobbra) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Válasz:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Döntsd el

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.

Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérlek várj mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Binomiális négyzetének elkülönítése négyzetes trinomiálistól

Ha az ax 2 +bx+c négyzetes trinomiális a(x+p) 2 +q-ként van ábrázolva, ahol p és q valós számok, akkor azt mondják, hogy től négyzetes trinomiális, a binomiális négyzet kiemelve.

A 2x 2 +12x+14 trinomikusból kivonjuk a binomiális négyzetét.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Ehhez képzeljük el a 6x-ot 2*3*x szorzataként, majd adjunk hozzá és vonjunk ki 3 2-t. Kapunk:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Hogy. Mi vonja ki a négyzetes binomiált a négyzetes hármasból, és megmutatta, hogy:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Másodfokú trinomiális faktorálása

Ha az ax 2 +bx+c négyzetháromtagot a(x+n)(x+m) formában ábrázoljuk, ahol n és m valós számok, akkor a műveletet végrehajtottnak mondjuk. másodfokú trinom tényezőezése.

Mutassuk meg egy példán, hogyan történik ez az átalakítás.

Tényezzük a másodfokú trinomit 2x 2 +4x-6.

Vegyük ki a zárójelből az a együtthatót, azaz. 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Alakítsuk át a zárójelben lévő kifejezést.
Ehhez képzelje el, hogy 2x a 3x-1x különbség, a -3 pedig -1*3. Kapunk:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Hogy. Mi faktorált a másodfokú trinomit, és megmutatta, hogy:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Ne feledje, hogy egy másodfokú trinom faktorálása csak akkor lehetséges, ha az ennek a trinomnak megfelelő másodfokú egyenletnek vannak gyökei.
Azok. esetünkben lehetséges a 2x 2 +4x-6 trinomit faktorozni, ha a 2x 2 +4x-6 =0 másodfokú egyenletnek vannak gyökei. A faktorizálás során megállapítottuk, hogy a 2x 2 + 4x-6 = 0 egyenletnek két gyöke van: 1 és -3, mert ezekkel az értékekkel a 2(x-1)(x+3)=0 egyenlet valódi egyenlőséggé változik.

Könyvek (tankönyvek) Az egységes államvizsga és az egységes államvizsga online tesztek kivonata Játékok, rejtvények Funkciógrafikonok rajzolása Orosz nyelv helyesírási szótára Ifjúsági szlengszótár Orosz iskolák katalógusa Oroszország középfokú oktatási intézményeinek katalógusa Orosz egyetemek katalógusa feladatokról

8 példát mutatunk be a faktoring polinomokra. Példákat tartalmaznak másodfokú és kétnegyedes egyenletek megoldására, példákat reciprok polinomokra, valamint példákat harmad- és negyedfokú polinomok egész gyökeinek megtalálására.

Tartalom

Lásd még: Polinomok faktorálási módszerei
Másodfokú egyenlet gyökerei
Köbös egyenletek megoldása

1. Példák másodfokú egyenlet megoldására

Példa 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Kivesszük x-et 2 zárójelen kívül:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Az egyenlet gyökerei:
, .

Példa 1.2

A harmadfokú polinom tényezője:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Vegyük ki az x-et a zárójelekből:
.
Az x másodfokú egyenlet megoldása 2 + 6 x + 9 = 0:
Megkülönböztetője: .
Mivel a diszkrimináns egyenlő nullával, akkor az egyenlet gyökei többszörösek: ;
.

Ebből megkapjuk a polinom faktorizációját:
.

1.3. példa

Az ötödfokú polinom tényezője:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Kivesszük x-et 3 zárójelen kívül:
.
Az x másodfokú egyenlet megoldása 2-2 x + 10 = 0.
Megkülönböztetője: .
Mivel a diszkrimináns kisebb, mint nulla, az egyenlet gyökei összetettek: ;
, .

A polinom faktorizálása a következőképpen alakul:
.

Ha érdekel minket a valós együtthatókkal való faktorizálás, akkor:
.

Példák faktorálási polinomokra képletekkel

Példák biquadratic polinomokra

2.1. példa

Tényező a biquadratikus polinomot:
x 4 + x 2 - 20.

Alkalmazzuk a képleteket:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Példa 2.2

Tényezzük azt a polinomot, amelyik biquadratikusra redukálódik:
x 8 + x 4 + 1.

Alkalmazzuk a képleteket:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

2.3 példa ismétlődő polinommal

Tényező a reciprok polinomot:
.

A reciprok polinomnak páratlan foka van. Ezért gyöke x = - 1 . Osszuk el a polinomot x-szel - (-1) = x + 1. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
.
Csináljunk egy cserét:
, ;
;

;
.

Példák egész gyökű polinomok faktorálására

Példa 3.1

Tényező a polinomot:
.

Tegyük fel, hogy az egyenlet

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 · (-6) 2 + 11 · (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 · (-3) 2 + 11 · (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 · (-2) 2 + 11 · (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 · (-1) 2 + 11 · (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Tehát három gyökeret találtunk:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Mivel az eredeti polinom harmadfokú, ezért legfeljebb három gyöke van. Mivel három gyökeret találtunk, ezek egyszerűek. Akkor
.

Példa 3.2

Tényező a polinomot:
.

Tegyük fel, hogy az egyenlet

van legalább egy egész gyökér. Ekkor ez a szám osztója 2 (x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
-2, -1, 1, 2 .
Ezeket az értékeket egyenként helyettesítjük:
(-2) 4 + 2 · (-2) 3 + 3 · (-2) 3 + 4 · (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 · (-1) 3 + 3 · (-1) 3 + 4 · (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Tehát találtunk egy gyökeret:
x 1 = -1 .
Osszuk el a polinomot x - x-szel 1 = x - (-1) = x + 1:

Akkor,
.

Most meg kell oldanunk a harmadik fokú egyenletet:
.
Ha feltételezzük, hogy ennek az egyenletnek egész gyöke van, akkor ez a szám osztója 2 (x nélküli tag). Vagyis a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Helyettesítsük x = -1 :
.

Tehát találtunk egy másik x gyökeret 2 = -1 . Az előző esethez hasonlóan lehetséges lenne a polinom elosztása -vel, de csoportosítjuk a tagokat:
.

Négyzetes trinomikus alak polinomjának nevezzük fejsze 2 +bx +c, Ahol x- változó, a,b,c– néhány szám, és a ≠ 0.

Együttható A hívott senior együttható, c – ingyenes tag négyzetes trinomikus.

Példák másodfokú trinomiálisokra:

2 x 2 + 5x+4(Itt a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5(Itt a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(Itt a = 9, b = 9, c = -9)

Együttható b vagy együttható c vagy mindkét együttható egyenlő lehet nullával egyszerre. Például:

5 x 2 + 3x(Itta = 5,b = 3,c = 0, tehát nincs c értéke az egyenletben).

6x 2-8 (Itta = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Itta = 2, b = 0, c = 0)

Meghívjuk annak a változónak az értékét, amelynél a polinom eltűnik a polinom gyöke.

Megtalálni a másodfokú trinom gyökereitfejsze 2 + bx + c, egyenlővé kell tenni a nullával -
vagyis oldja meg a másodfokú egyenletetfejsze 2 + bx + c = 0 (lásd a "Kvadratikus egyenlet" részt).

Másodfokú trinomiális faktorálása

Példa:

Tényezőzzük a 2-es trinomit x 2 + 7x - 4.

Látjuk: együttható A = 2.

Most keressük meg a trinomiális gyökereit. Ehhez egyenlővé tesszük a nullával, és megoldjuk az egyenletet

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Hogyan kell megoldani egy ilyen egyenletet - lásd a „Gyökképletek” című részt másodfokú egyenlet. Diszkriminatív." Itt azonnal közöljük a számítások eredményét. A trinomiálisnak két gyökere van:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Helyettesítsük be a gyök értékeit a képletünkbe úgy, hogy az együttható értékét a zárójelekből kivesszük Aés kapjuk:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

A kapott eredményt másképpen is felírhatjuk, ha a 2-es együtthatót megszorozzuk a binomimmal x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

A probléma megoldva: a trinomit faktorizáljuk.

Ilyen kiterjesztést kaphatunk minden olyan másodfokú trinomra, amelynek gyökerei vannak.

FIGYELEM!

Ha egy másodfokú trinom diszkriminánsa nulla, akkor ennek a trinomnak egy gyöke van, de a trinom felbontásakor ezt a gyöket vesszük két gyök értékének - azaz azonos értéknek. x 1 ésx 2 .

Például egy trinomikus gyöke 3-mal egyenlő. Ekkor x 1 = 3, x 2 = 3.

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan lehet a másodfokú trinomiálisokat lineáris tényezőkké alakítani. Ehhez emlékeznünk kell Vieta tételére és annak fordítva. Ez a készség segít abban, hogy a másodfokú trinomiálisokat gyorsan és kényelmesen lineáris faktorokká bővítsük, és egyszerűsítse a kifejezésekből álló törtek redukcióját is.

Tehát térjünk vissza a másodfokú egyenlethez, ahol .

Ami a bal oldalon van, azt másodfokú trinomiálisnak nevezzük.

A tétel igaz: Ha egy másodfokú trinom gyökerei, akkor az azonosság fennáll

Hol van a vezető együttható, ott vannak az egyenlet gyökerei.

Tehát van egy másodfokú egyenletünk - egy másodfokú trinom, ahol a másodfokú egyenlet gyökereit a másodfokú trinom gyökereinek is nevezik. Ezért, ha megvannak a négyzetes trinom gyökei, akkor ez a trinom lineáris tényezőkre bontható.

Bizonyíték:

Ennek a ténynek a bizonyítása Vieta tételével történik, amelyet az előző leckékben tárgyaltunk.

Emlékezzünk, mit mond Vieta tétele:

Ha egy olyan másodfokú trinom gyökerei, amelyre , akkor .

Ebből a tételből a következő állítás következik:

Látjuk, hogy Vieta tétele szerint, vagyis ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a fenti képletbe, a következő kifejezést kapjuk

Q.E.D.

Emlékezzünk vissza, hogy bebizonyítottuk azt a tételt, hogy ha egy négyzetháromtag gyökei vannak, akkor a bővítés érvényes.

Most emlékezzünk egy példára egy másodfokú egyenletre, amelyhez a Vieta-tétel segítségével gyökeztünk. Ebből a tényből a következő egyenlőséget kaphatjuk a bizonyított tételnek köszönhetően:

Most ellenőrizzük ennek a ténynek a helyességét a zárójelek egyszerű megnyitásával:

Látjuk, hogy helyesen faktoráltunk, és bármely trinomiális, ha van gyöke, e tétel szerint faktorizálható lineáris tényezőkké a képlet szerint.

Ellenőrizzük azonban, hogy lehetséges-e ilyen faktorizálás bármely egyenlet esetében:

Vegyük például az egyenletet. Először is ellenőrizzük a megkülönböztető jelet

És ne felejtsük el, hogy a tanult tétel teljesítéséhez D-nek nagyobbnak kell lennie 0-nál, tehát ebben az esetben a tanult tétel szerinti faktorizálás lehetetlen.

Ezért egy új tételt fogalmazunk meg: ha egy négyzetes trinomnak nincs gyöke, akkor nem bontható fel lineáris tényezőkre.

Tehát megvizsgáltuk Vieta tételét, a másodfokú trinom lineáris tényezőkre való felosztásának lehetőségét, és most több problémát is megoldunk.

1. számú feladat

Ebben a csoportban a feltett problémával fordítottan fogjuk megoldani a problémát. Volt egy egyenletünk, és ennek faktorálásával találtuk meg a gyökereit. Itt az ellenkezőjét fogjuk tenni. Tegyük fel, hogy megvannak a másodfokú egyenlet gyökerei

Az inverz probléma a következő: írjunk fel egy másodfokú egyenletet a gyökeivel.

A probléma megoldásának két módja van.

Mivel tehát az egyenlet gyökerei egy másodfokú egyenlet, amelynek gyökei: adott számokat. Most nyissuk meg a zárójeleket, és ellenőrizzük:

Ez volt az első módja annak, hogy adott gyökökkel másodfokú egyenletet hozzunk létre, amelynek nincs más gyöke, hiszen minden másodfokú egyenletnek legfeljebb két gyöke van.

Ez a módszer az inverz Vieta-tételt foglalja magában.

Ha az egyenlet gyökei, akkor teljesítik azt a feltételt, hogy .

A redukált másodfokú egyenlethez , , azaz ebben az esetben, és .

Így létrehoztunk egy másodfokú egyenletet, amelynek a gyökei vannak.

2. feladat

Csökkenteni kell a frakciót.

Van egy trinomiális a számlálóban és egy trinomiális a nevezőben, és a trinomiálisok vagy faktorozhatók, vagy nem. Ha a számlálót és a nevezőt is beszámítjuk, akkor ezek között lehetnek egyenlő faktorok, amelyek csökkenthetők.

Mindenekelőtt figyelembe kell vennie a számlálót.

Először is ellenőrizni kell, hogy ez az egyenlet faktorizálható-e, keressük meg a diszkriminánst. Mivel az előjel a szorzattól függ (0-nál kisebbnek kell lennie), in ebben a példában, azaz adott egyenlet gyökerei vannak.

A megoldáshoz a Vieta-tételt használjuk:

Ebben az esetben, mivel gyökerekkel van dolgunk, meglehetősen nehéz lesz egyszerűen kiválasztani a gyökereket. De azt látjuk, hogy az együtthatók kiegyenlítettek, vagyis ha feltételezzük, hogy , és ezt az értéket behelyettesítjük az egyenletbe, akkor a következő rendszert kapjuk: , azaz 5-5=0. Így ennek a másodfokú egyenletnek az egyik gyökerét választottuk.

A második gyöket úgy fogjuk keresni, hogy a már ismertet behelyettesítjük az egyenletrendszerbe, például, , azaz. .

Így megtaláltuk a másodfokú egyenlet mindkét gyökerét, és ezek értékét behelyettesíthetjük az eredeti egyenletbe, hogy faktorozzuk:

Emlékezzünk az eredeti problémára, csökkentenünk kellett a törtet.

Próbáljuk meg megoldani a problémát a helyettesítéssel.

Nem szabad elfelejteni, hogy ebben az esetben a nevező nem lehet egyenlő 0-val, azaz , .

Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor az eredeti törtet a formára redukáltuk.

3. feladat (paraméteres feladat)

A paraméter mely értékein van a másodfokú egyenlet gyökeinek összege

Ha a gyökerek adott egyenlet akkor létezik , kérdés: mikor.

Ez az egyik legalapvetőbb módja a kifejezések egyszerűsítésének. A módszer alkalmazásához emlékezzünk az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási törvényére (ne félj ezektől a szavaktól, biztosan ismered ezt a törvényt, csak lehet, hogy elfelejtetted a nevét).

A törvény azt mondja: ahhoz, hogy két szám összegét megszorozzuk egy harmadik számmal, minden tagot meg kell szorozni ezzel a számmal, és össze kell adni a kapott eredményeket, más szóval .

Fordított műveletet is csinálhatsz, pontosan ez az fordított működés ez az, ami minket érdekel. Mint a mintából látható, közös szorzó ah, ki lehet venni a tartóból.

Hasonló művelet elvégezhető változókkal, például és például, és számokkal is: .

Igen, ez egy nagyon elemi példa, csakúgy, mint az előbbi példa, egy szám felbontásával, mert mindenki tudja, hogy a számok oszthatók, de mi van, ha bonyolultabb kifejezést kapunk:

Hogyan lehet megtudni, hogy egy szám mivel osztható. Nem, számológéppel bárki meg tudja csinálni, de enélkül nehéz? Ehhez pedig ott vannak az oszthatóság jelei, ezeket a jeleket igazán érdemes ismerni, ezek segítenek gyorsan megérteni, hogy a közös tényező kivehető-e a zárójelből.

Az oszthatóság jelei

Nem olyan nehéz megjegyezni őket, valószínűleg a legtöbbjük már ismerős volt, és néhány új hasznos felfedezés lesz, további részletek a táblázatban:

Megjegyzés: A táblázatból hiányzik a 4-gyel való oszthatósági teszt. Ha az utolsó két számjegy osztható 4-gyel, akkor a teljes szám osztható 4-gyel.

Nos, hogy tetszik a jel? Azt tanácsolom, hogy emlékezzen rá!

Nos, térjünk vissza a kifejezéshez, talán ki tudja venni a zárójelből, és ez elég? Nem, a matematikusok hajlamosak az egyszerűsítésre, így a legteljesebb mértékben, Tűrjetek ki MINDENT, amit elviseltek!

Tehát a játékkal minden világos, de mi a helyzet a kifejezés numerikus részével? Mindkét szám páratlan, így nem lehet osztani

Használhatja az oszthatósági tesztet: a számot alkotó és számjegyek összege egyenlő, osztható vele, osztható vele.

Ennek ismeretében nyugodtan oszthatunk oszlopra, és a vele való osztás eredményeként megkapjuk (az oszthatóság jelei hasznosak!). Így kivehetjük a számot zárójelből, akárcsak y-t, és ennek eredményeként a következőt kapjuk:

Hogy megbizonyosodjon arról, hogy minden megfelelően lett bővítve, szorzással ellenőrizheti a bővítést!

A közös tényező hatványértékekkel is kifejezhető. Itt például a közös szorzót látod?

Ennek a kifejezésnek minden tagjának x-je van - kivesszük, mindegyiket felosztjuk - újra kivesszük, megnézzük, mi történt: .

2. Rövidített szorzóképletek

A rövidített szorzási képleteket elméletben már említettük, ha nehezen emlékszik rájuk, akkor frissítenie kell a memóriáját.

Nos, ha nagyon okosnak tartja magát, és lusta egy ilyen információfelhőt olvasni, akkor csak olvasson tovább, nézze meg a képleteket, és azonnal vegye a példákat.

Ennek a dekompozíciónak az a lényege, hogy észrevegyünk az előttünk álló kifejezésben valamiféle egy bizonyos képlet, alkalmazzuk és így kapjuk meg valami és valami szorzatát, ennyi a bomlás. A következő képletek:

Most próbálja meg faktorálni a következő kifejezéseket a fenti képletekkel:

Íme, minek kellett volna történnie:

Amint észrevette, ezek a formulák a faktorálás nagyon hatékony módjai, nem mindig megfelelőek, de nagyon hasznosak lehetnek!

3. Csoportosítás vagy csoportosítás módszere

Íme egy másik példa az Ön számára:

Szóval mit fogsz csinálni vele? Úgy tűnik, hogy valami fel van osztva, és valami meg van osztva

De nem lehet mindent egy dologra felosztani, nos itt nincs közös tényező, akárhogy is nézel ki, mit hagyj így, anélkül, hogy tényezőkbe számolnád?

Itt meg kell mutatni a találékonyságot, és ennek a találékonyságnak a neve a csoportosítás!

Csak akkor használják, amikor közös osztók Nem minden tag rendelkezik vele. A csoportosításhoz kell keresse meg a közös tényezőkkel rendelkező kifejezéscsoportokatés átrendezzük őket úgy, hogy minden csoportból ugyanazt a tényezőt lehessen kapni.

Természetesen nem szükséges átrendezni őket, de ez egyértelművé teszi, a kifejezés egyes részeit zárójelbe teheti, nem tilos, hogy ne keverje össze; a jelek.

Nem túl világos ez az egész? Hadd magyarázzam el egy példával:

Egy polinomban - tesszük a kifejezést - a kifejezés után - kapjuk

az első két tagot külön zárójelbe csoportosítjuk, valamint a harmadik és negyedik tagot is, a mínusz jelet kivéve a zárójelből, így kapjuk:

Most külön-külön nézzük meg mind a két „halmot”, amelyekbe a kifejezést zárójelekkel osztottuk.

A trükk az, hogy halomokra bontjuk, amelyekből a legnagyobb faktor kiemelhető, vagy, mint ebben a példában, próbáljuk meg úgy csoportosítani a kifejezéseket, hogy miután a faktorokat zárójelben eltávolítjuk a halomokból, továbbra is ugyanazokat a kifejezéseket kapjuk. a zárójelek belsejében.

Mindkét zárójelből kivesszük a kifejezések közös tényezőit, az első zárójelből, a másodikból pedig a következőket kapjuk:

De ez nem bomlás!

Pszamár a dekompozíció csak szorzás maradjon, de egyelőre a polinomunk egyszerűen két részre oszlik...

DE! Ennek a polinomnak van egy közös tényezője. Ez

túl a zárójelen, és megkapjuk a végterméket

Bingó! Amint látható, itt már van szorzat és a zárójeleken kívül nincs összeadás vagy kivonás, a bontás teljes, mert Nincs már mit kivenni a zárójelből.

Csodának tűnhet, hogy a tényezők zárójelből való kiemelése után ugyanazok a kifejezések maradtak zárójelben, amit ismét zárójelbe tettünk.

És ez egyáltalán nem csoda, tény, hogy a tankönyvekben és az Egységes Államvizsgán található példák kifejezetten úgy készültek, hogy a feladatokban a legtöbb kifejezés az egyszerűsítés, ill. faktorizáció a megfelelő megközelítéssel könnyen leegyszerűsíthetők és élesen összeesnek, mint egy esernyő, amikor megnyom egy gombot, ezért keresse ezt a gombot minden kifejezésben.

Elzavartam, mit kezdünk az egyszerűsítéssel? A bonyolult polinom egyszerűbb formát öltött: .

Egyetértek, nem olyan terjedelmes, mint volt?

4. Egy teljes négyzet kiválasztása.

Néha a rövidített szorzási képletek alkalmazásához (a téma megismétléséhez) szükséges egy meglévő polinomot átalakítani, és annak egyik tagját két tag összegeként vagy különbségeként kell bemutatni.

Milyen esetben kell ezt megtennie, tanulni fog a példából:

Egy ilyen formájú polinom nem bővíthető rövidített szorzóképletekkel, ezért transzformálni kell. Talán eleinte nem lesz nyilvánvaló számodra, hogy melyik kifejezést melyikre kell felosztani, de idővel megtanulod azonnal látni a rövidített szorzás képleteit, még akkor is, ha nincsenek teljesen jelen, és gyorsan meghatározza, mi hiányzik itt előtt teljes képlet, addig is tanulj, diák, vagy inkább iskolás.

A négyzetes különbség teljes képletéhez itt kell helyette. Képzeljük el a harmadik tagot különbségként, így kapjuk: A zárójelben lévő kifejezésre alkalmazhatjuk a különbség négyzetének képletét (nem tévesztendő össze a négyzetek különbségével!!!), van: , erre a kifejezésre alkalmazhatjuk a négyzetek különbségének képletét (nem tévesztendő össze a négyzetes különbséggel!!!), elképzelve hogyan, kapjuk: .

A faktorizált kifejezés nem mindig tűnik egyszerűbbnek és kisebbnek, mint a bővítés előtt, de ebben a formában rugalmasabbá válik, abban az értelemben, hogy nem kell aggódnia a változó jelek és egyéb matematikai hülyeségek miatt. Nos, ahhoz, hogy maga döntsön, a következő kifejezéseket faktorizálni kell.

Példák:

Válaszok:

5. Másodfokú trinom faktorálása

A másodfokú trinom faktorokra való felbontásához lásd a további felbontási példákat.

Példák 5 polinom faktorálási módszerére

1. A közös tényező kivétele a zárójelekből. Példák.

Emlékszel, mi az elosztási törvény? Ez a szabály:

Példa:

Tényező a polinomot.

Megoldás:

Egy másik példa:

Tényezd ki.

Megoldás:

Ha a teljes kifejezést kivesszük a zárójelekből, akkor helyette egy egység marad a zárójelben!

2. Rövidített szorzóképletek. Példák.

A leggyakrabban használt képletek a négyzetek különbsége, a kockák különbsége és a kockák összege. Emlékszel ezekre a képletekre? Ha nem, sürgősen ismételje meg a témát!

Példa:

Tényező a kifejezést.

Megoldás:

Ebben a kifejezésben könnyű megtudni a kockák közötti különbséget:

Példa:

Megoldás:

3. Csoportosítási módszer. Példák

Néha felcserélheti a kifejezéseket, hogy ugyanazt a tényezőt lehessen kinyerni minden szomszédos kifejezéspárból. Ezt a közös tényezőt ki lehet venni a zárójelből, és az eredeti polinomból szorzat lesz.

Példa:

Tényező a polinomot.

Megoldás:

Csoportosítsuk a kifejezéseket a következőképpen:
.

Az első csoportban zárójelből kivesszük a közös tényezőt, a másodikból pedig - :
.

Most a közös tényezőt is ki lehet venni a zárójelből:
.

4. Teljes négyzet kiválasztásának módja. Példák.

Ha a polinom két kifejezés négyzeteinek különbségeként ábrázolható, akkor már csak a rövidített szorzási képlet (négyzetek különbsége) alkalmazása marad hátra.

Példa:

Tényező a polinomot.

Megoldás:Példa:

\begin(tömb)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\zárójel(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(négyzet\összeg\ ((\balra) (x+3 \jobbra))^(2)))-9-7=((\bal(x+3 \jobb))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(tömb)

Tényező a polinomot.

Megoldás:

\begin(tömb)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\zárójel(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(négyzet\ különbségek((\bal(((x)^(2))-2 \jobbra))^(2)))-4-1=((\bal(((x)^ (2))-2 \jobbra))^ (2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(tömb)