Parciális deriváltak és differenciálok. Részleges derivált, teljes differenciál FNP

Részleges derivált függvények z = f(x, y x változóval Ennek a függvénynek a deriváltját az y változó állandó értékénél hívjuk, vagy z" x-el jelöljük.

Részleges derivált függvények z = f(x, y) y változóval az y változó állandó értéke melletti származékának nevezzük; vagy z" y.

Több változó függvényének egy változóhoz viszonyított parciális deriváltja az adott függvénynek a megfelelő változóhoz viszonyított deriváltja, feltéve, hogy a többi változót állandó értéken tartjuk.

Teljes differenciálmű a z = f(x, y) függvényt egy bizonyos ponton M(X, y) kifejezésnek nevezzük

Ahol és az M(x, y) pontban számítjuk, és dx = , dy = y.

1. példa

Számítsa ki a függvény teljes differenciáját!

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 az M(1; 2) pontban

Megoldás:

1) Keresse meg a részleges származékokat:

2) Számítsa ki a parciális deriváltak értékét az M(1; 2) pontban!

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = -4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 d

Kérdések az önkontrollhoz:

1. Mit nevezünk antiderivatívnak? Sorolja fel az antiderivatív tulajdonságait!

2. Mit nevezünk határozatlan integrálnak?

3. Sorolja fel a határozatlan integrál tulajdonságait!

4. Sorolja fel az alapvető integrációs képleteket!

5. Milyen integrációs módszereket ismer?

6. Mi a Newton–Leibniz formula lényege?

7. Adja meg a határozott integrál definícióját!

8. Mi a lényege egy határozott integrál számításának helyettesítési módszerrel?

9. Mi a lényege a határozott integrált részenkénti számítási módszernek?

10. Melyik függvényt nevezzük két változó függvényének? Hogyan jelölik?

11. Melyik függvényt nevezzük három változó függvényének?

12. Melyik halmazt nevezzük egy függvény definíciós tartományának?

13. Milyen egyenlőtlenségek segítségével definiálhat egy síkon egy D zárt tartományt?

14. Mennyi a z = f(x, y) függvény parciális deriváltja az x változóhoz képest? Hogyan jelölik?

15. Mennyi a z = f(x, y) függvény parciális deriváltja az y változóhoz képest? Hogyan jelölik?

16. Milyen kifejezést nevezünk egy függvény teljes differenciáljának

1.2. témakör Közönséges differenciálegyenletek.

Differenciálegyenletekhez vezető problémák. Differenciálegyenletek elválasztható változókkal. Általános és speciális megoldások. Elsőrendű homogén differenciálegyenletek. Másodrendű lineáris homogén egyenletek állandó együtthatóval.

7. gyakorlati lecke „Általános és sajátos megoldások keresése elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenletekre”*

8. gyakorlati óra „Lineáris és homogén differenciálegyenletek”

9. számú gyakorlati lecke „Másodrendű differenciálegyenletek megoldása állandó együtthatókkal”*

L4, 15. fejezet, 243–256

Irányelvek

Legyen a függvény definiálva valamilyen (nyílt) tartományban D pontokat
dimenziós tér, és
– egy pont ezen a területen, i.e.
D.

Részleges funkciónövekedés Bármely változó sok változója közül az a növekmény, amelyet a függvény kap, ha növekményt adunk ennek a változónak, feltételezve, hogy az összes többi változónak állandó értéke van.

Például egy függvény részleges növelése változóval akarat

Parciális derivált a független változóhoz képest azon a ponton
függvényét a részleges növekmény arányának határértékének nevezzük (ha létezik).
függvényeket növelni
változó miközben arra törekszik
nullára:

A részleges származékot a következő szimbólumok egyike jelöli:

;
.

Megjegyzés. Index Az alábbiakban ezekben a jelölésekben csak azt jelzik, hogy a változók közül melyiket veszik a derivált, és nem kapcsolódik, hogy melyik ponton
ezt a deriváltot számítjuk ki.

A parciális deriváltak számítása nem újdonság a közönséges derivált számításához képest, csak emlékezni kell arra, hogy amikor egy függvényt bármely változóhoz képest differenciálunk, az összes többi változót konstansnak vesszük. Mutassuk meg ezt példákkal.

1. példaKeresse meg egy függvény parciális deriváltjait
.

Megoldás. Egy függvény parciális deriváltjának számításakor
érveléssel fontolja meg a funkciót csak egy változó függvényében , azaz Úgy hisszük fix értéke van. Fixen funkció
az argumentum hatványfüggvénye . A hatványfüggvény megkülönböztetésére szolgáló képlet segítségével a következőket kapjuk:

Hasonlóképpen a parciális derivált számításakor feltételezzük, hogy az érték rögzített , és fontolja meg a függvényt
mint az argumentum exponenciális függvénye . Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

2. példa. NIT parciális származékok És funkciókat
.

Megoldás. tekintetében a részleges derivált számításakor adott funkciót egy változó függvényének fogjuk tekinteni , és olyan kifejezések, amelyek tartalmazzák , állandó tényezők lesznek, pl.
állandó együtthatóként működik teljesítmény funkcióval (
). Megkülönbözteti ezt a kifejezést azzal , kapunk:

Most éppen ellenkezőleg, a funkció egy változó függvényének tekintjük , míg a kifejezéseket tartalmazó kifejezések , együtthatóként működik
(
).Megkülönböztető a trigonometrikus függvények differenciálási szabályai szerint kapjuk:

3. példa Számítsa ki a függvények parciális deriváltjait
azon a ponton
.

Megoldás. Először keressük meg ennek a függvénynek a parciális deriváltjait egy tetszőleges pontban
meghatározási területe. tekintetében a részleges derivált számításakor Úgy hisszük
állandóak.

az alapján történő megkülönböztetéskor állandó lesz
:

és a részleges származékok kiszámításakor tekintettel és által , hasonlóan állandó lesz, ill.
És
, azaz:

Most számítsuk ki ezeknek a származékoknak az értékeit a ponton
, bizonyos változóértékeket behelyettesítve kifejezéseikbe. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

11. Részleges és teljes differenciálfüggvények

Ha most a részleges növekményhez
Alkalmazzuk Lagrange tételét egy változó véges növekményére , akkor, figyelembe véve folyamatos, a következő összefüggéseket kapjuk:

Ahol
,
– végtelenül kicsi érték.

Részleges differenciálfüggvény változó szerint a részleges növekmény fő lineáris részének nevezzük
, egyenlő az ehhez a változóhoz viszonyított parciális derivált szorzatával és a változó növekményével, és jelöljük

Nyilvánvaló, hogy a részleges differenciál egy magasabb rendű végtelen kicsivel különbözik a részleges növekménytől.

Teljes funkciónövekedés sok változóból növekménynek nevezzük, amelyet akkor kap, ha minden független változónak növekményt adunk, azaz.

hol van mindenki
, függenek és velük együtt általában nullára.

Alatt független változók különbségei beleegyezett utalni tetszőleges lépésekben
és jelölje ki őket
. Így a részleges különbség kifejezése a következő formában lesz:

Például részleges differenciál Által így van meghatározva:

Teljes differenciálmű
több változó függvényét a teljes növekmény fő lineáris részének nevezzük
, egyenlő, azaz. az összes részleges különbségének összege:

Ha a funkció
folyamatos parciális származékai vannak

azon a ponton
akkor ő egy adott ponton differenciálható.

Amikor elég kicsi a differenciálható funkcióhoz
közelítő egyenlőségek vannak

amellyel közelítő számításokat végezhet.

4. példaKeresse meg egy függvény teljes differenciálját
három változó
.

Megoldás. Először is megtaláljuk a parciális származékokat:

Észreveve, hogy ezek minden értéknél folyamatosak
, találunk:

Sok változós függvények differenciáljára igaz a differenciálok tulajdonságaira vonatkozó minden tétel, amely egy változó függvényei esetében bizonyított, például: ha És – változók folytonos függvényei
, amelynek folytonos parciális deriváltjai az összes változóra vonatkoznak, és És tetszőleges állandók, akkor:

(6)

Vegyük fontolóra egy függvény megváltoztatását, amikor csak az egyik argumentumához adunk meg növekményt - x i, és nevezzük .

Meghatározás 1.7.Részleges derivált függvények argumentum alapján x i hívott .

Megnevezések: .

Így egy több változóból álló függvény parciális deriváltja valójában a függvény deriváltja egy változó – x i. Ezért a deriváltoknak egy változó függvényére bizonyított összes tulajdonsága érvényes rá.

Megjegyzés. A parciális deriváltak gyakorlati számításánál a szokásos szabályokat használjuk egy változó függvényének differenciálására, feltételezve, hogy a differenciálást végrehajtó argumentum változó, a többi argumentum pedig állandó.

1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = xy,

Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai értelmezése.

Tekintsük a felületi egyenletet z = f(x,y)és rajzolj egy síkot x = const. Válasszunk ki egy pontot a sík és a felület metszésvonalán M(x,y). Ha megadod az érvet nál nél növekmény Δ nál nélés vegyük figyelembe a T pontot a görbén koordinátákkal ( x, y+Δ y, z+Δy z), akkor az MT szekáns által az O tengely pozitív irányával alkotott szög érintője nál nél, egyenlő lesz . Ha átlépünk a pontban lévő határértékre, azt találjuk, hogy a parciális derivált egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amelyet az eredményül kapott görbe érintője alkot a pontban. M az O tengely pozitív irányával u. Ennek megfelelően a parciális derivált egyenlő az O tengellyel bezárt szög érintőjével x a felület metszésének eredményeként kapott görbe érintője z = f(x,y) repülőgép y = const.

Meghatározás 2.1. Az u = f(x, y, z) függvény teljes növekményét hívjuk

Meghatározás 2.2. Ha az u = f (x, y, z) függvény növekménye az (x 0, y 0, z 0) pontban a (2.3), (2.4) formában ábrázolható, akkor a függvényt differenciálhatónak nevezzük pontban. ezt a pontot, és a kifejezést a kérdéses függvény növekményének vagy teljes differenciájának fő lineáris részének nevezzük.

Megnevezések: du, df (x 0, y 0, z 0).

Csakúgy, mint egy változó függvénye esetén, a független változók differenciáljait tekintjük azok tetszőleges növekményének, ezért

Megjegyzés 1. Tehát a „függvény differenciálható” állítás nem ekvivalens a „függvénynek parciális deriváltjai vannak” kijelentéssel – a differenciálhatósághoz ezeknek a deriváltaknak a folytonossága is szükséges a kérdéses pontban.

4. Érintősík és merőleges a felületre. A differenciál geometriai jelentése.

Legyen a függvény z = f (x, y) a pont szomszédságában differenciálható M (x 0, y 0). Ekkor parciális deriváltjai a felület metszésvonalainak érintőinek szögegyütthatói z = f (x, y) repülőgépekkel y = y 0És x = x 0, amely magát a felületet érinti z = f(x, y). Készítsünk egyenletet az ezeken az egyeneseken áthaladó síkra. Az érintő irányvektorok (1; 0; ) és (0; 1; ) alakúak, így a síkra vonatkozó normális vektorszorzatukként ábrázolható: n = (- ,- , 1). Ezért a sík egyenlete a következőképpen írható fel:

Ahol z 0 = .

Meghatározás 4.1. A (4.1) egyenlettel meghatározott síkot ún érintő sík a függvény grafikonjára z = f (x, y) koordinátákkal rendelkező ponton (x 0, y 0, z 0).

A (2.3) képletből két változó esetén az következik, hogy a függvény növekménye f pont közelében M a következőképpen ábrázolható:

Következésképpen a függvény grafikonjának és az érintősík alkalmazásai közötti különbség nagyobb rendű, mint a ρ, nál nél ρ→ 0.

Ebben az esetben a függvénykülönbség f a következő formában van:

ami megfelel annak Egy függvény grafikonjának érintősík alkalmazásainak növelése. Ez a differenciál geometriai jelentése.

Meghatározás 4.2. Egy pontban az érintősíkra merőleges nullától eltérő vektor M (x 0, y 0) felületek z = f (x, y), hívott Normál ezen a ponton a felszínre.

Kényelmes a vektort venni -- n = { , ,-1}.

Egy függvény linearizálása. Érintősík és merőleges a felületre.

A magasabb rendű származékok és differenciálok.

1. Az FNP részleges származékai *)

Vegye figyelembe a funkciót És = f(P), РÎDÌR n vagy mi ugyanaz,

És = f(x 1 , x 2 , ..., x n).

Rögzítsük a változók értékeit x 2 , ..., x n, és a változó x 1 adjunk D növekményt x 1 . Aztán a függvény És az egyenlőség által meghatározott növekményt kap

= f (x 1 +D x 1 , x 2 , ..., x n) – f(x 1 , x 2 , ..., x n).

Ezt a növekedést ún magán növekmény funkciókat És változó szerint x 1 .

Meghatározás 7.1. Parciális derivált függvény És = f(x 1 , x 2 , ..., x n) változó szerint x 1 a függvény részleges növekménye és a D argumentum növekménye arányának határa x 1-én D-ben x 1 ® 0 (ha ez a határ létezik).

A részleges derivált a vonatkozásban x 1 karakter

Tehát definíció szerint

A többi változóhoz viszonyított parciális derivált is hasonlóképpen kerül meghatározásra x 2 , ..., x n. A definícióból világosan látszik, hogy egy függvény parciális deriváltja egy változóhoz képest x i egy változó függvényének szokásos deriváltja x i, amikor a többi változót állandónak tekintjük. Ezért az összes korábban vizsgált szabály és differenciálási képlet felhasználható több változó függvényének deriváltjának megkeresésére.

Például a funkcióhoz u = x 3 + 3xy – z 2 van nálunk

Így, ha egy függvényt több változóból explicit módon megadunk, akkor a parciális deriváltjainak létezésének és megtalálásának kérdései leredukálódnak egy változó függvényére vonatkozó megfelelő kérdésekre - annak a függvénynek a függvényére, amelynek deriváltját meg kell határozni.

Tekintsünk egy implicit módon definiált függvényt. Legyen az F( x, y) = 0 egy változó implicit függvényét definiálja x. Becsületes

7.1. Tétel.

Legyen F( x 0 , y 0) = 0 és az F( x, y), F¢ x(x, y), F¢ nál nél(x, y) folytonosak a pont valamelyik szomszédságában ( x 0 , nál nél 0), és F¢ nál nél(x 0 , y 0) ¹ 0. Ezután a függvény nál nél, implicit módon az F( x, y) = 0, van a pontban ( x 0 , y 0) derivált, amely egyenlő

Ha a tétel feltételei teljesülnek a DÌ R 2 tartomány bármely pontjában, akkor ennek a tartománynak minden pontjában .

Például a funkcióhoz x 3 –2nál nél 4 + Azta+ 1 = 0 azt találjuk

Legyen most az F( x, y, z) = 0 két változó implicit függvényét definiálja. Keressük és. Mivel a derivált kiszámítása tekintetében x fix (állandó) nál nél, akkor ilyen feltételek mellett az F( x, y=konst, z) = 0 határozza meg z egy változó függvényében xés a 7.1 Tétel szerint azt kapjuk