A Fehérorosz Köztársaság Oktatási Minisztériuma

Oktatási intézmény

A Bresti Állami Egyetem az A.S. Puskin

Fizikai Kar

Fizika és OTD Tanítási Módszerek Tanszék

TANFOLYAM MUNKA

NEMLINEÁRIS OSCILLÁCIÓK ÉS OSCILLÁCIÓS SZINKRONIZÁCIÓ

Előadja az FI-51 csoport tanulója

Paskevich A.Ya.

Tudományos tanácsadó:

Ph.D. Sc., N. N. Vorsin docens

Breszt, 2012

Bevezetés

1.1 Lineáris rezgések determinisztikus külső erő jelenlétében

2. Nemlineáris helyreállító erőkkel rendelkező konzervatív rendszerek szabad rezgései

2.1 Szabad nemlineáris rezgések csillapító és nemlineáris helyreállító erővel rendelkező rendszerekben

2.2 Különféle típusú szolgáltatások0

3. Csillapítatlan és relaxációs rezgések

3.1. A van der Pol egyenlet kvalitatív elemzése

3.2 Csatolt nemlineáris rezgések, fáziszárolt regeneratív vevő és szinkronizálási elv

3.3 Alapegyenletek

3.4 Rezgések nagy elhangolással

3.5 Kombinált állandó amplitúdójú rezgések

3.6 A Hill-egyenlethez vezető elektromos problémák

Következtetés

Bibliográfia

Bevezetés

Nem meglepő, hogy a fizikus képes megoldást találni a nemlineáris problémákra, mivel az őt körülvevő világban előforduló számos jelenséget nemlineáris függőségek szabályozzák. A matematikai tudományok fejlődési folyamatában a nemlineáris analízis nehézségei akadályozták a nemlineáris mozgásokkal kapcsolatos elképzelések megfogalmazását, amelyek lehetővé tennék az ilyen jelenségek mélyebb megértését.

Ha visszatekintünk a tudományos teljesítmények történetére, szembetűnő, hogy a kutatók fő erőfeszítései csak a lineáris rendszerek és a lineáris fogalmak vizsgálatára összpontosultak. Ha ugyanakkor egy pillantást vet a minket körülvevő világra, szó szerint minden lépésnél nemlineáris természetű jelenségekkel találkozik. A lineáris fogalmak csak felületes megértést tesznek lehetővé a természetben előforduló események nagy részében. Ahhoz, hogy az elemzés valósághűbbé váljon, magasabb szintre és könnyebb megértésre és a nemlineáris reprezentációk használatára van szükség.

Az elmúlt években a számítógépes elemzési módszerek fejlődtek, és sok esetben úgy gondolták, hogy az így létrejövő megoldások jobban megérthetik a nemlinearitás megnyilvánulásait. Általánosságban elmondható, hogy a numerikus megoldások egyszerű keresése csak valamivel jobban megérti a nemlineáris folyamatokat, mint például magának a természetnek a megfigyelése, megoldások „csiszolása” egy olyan specifikus nemlineáris problémára, mint az időjárás. Úgy tűnik, hogy megértésünk nem egyenleten vagy azok megoldásán alapul, hanem alapvető és jól megtanult fogalmakon. Jellemzően csak akkor értjük meg környezetünket, ha olyan egyszerű fogalmakkal tudjuk leírni, hogy jól érthetőek és olyan tágak, hogy konkrét helyzetre való hivatkozás nélkül is tudunk velük operálni. Az ilyen fogalmak listája kiterjedt, és tartalmaz például olyan kifejezéseket, mint a rezonancia, hiszterézis, hullámok, visszacsatolás, határrétegek, turbulencia, lökéshullámok, deformáció, időjárási frontok, immunitás, infláció, depresszió stb. A folyamatok természetüknél fogva nemlineárisak, és képtelenségünk precíz matematikai nyelven leírni olyan mindennapi jelenségeket, mint a víz folyása az ereszcsatornában vagy a cigaretta füstjének örvénylése, részben abban rejlik, hogy korábban nem vagyunk hajlandóak belemerülni a nemlineáris matematikába és megérteni azt.

A rezonancia jelensége, mint ismeretes, gyakran előfordul élő anyagban. Wiener nyomán Szent-Györgyi felvetette a rezonancia fontosságát az izomszerkezetben. Kiderült, hogy az erős rezonáns tulajdonságokkal rendelkező anyagok általában kivételes képességgel rendelkeznek mind az energia, mind az információ tárolására, és az ilyen felhalmozódás kétségtelenül az izomban történik.

A nemlineáris rezgések, a véletlenszerű nemlineáris oszcillációk és a kapcsolt (fázisszinkronizált) nemlineáris rezgések a tudomány és a technológia számos területén, például a kommunikációban és az energetikában a jelenségek lényegét alkotják; a ritmikus folyamatok biológiai és élettani rendszerekben játszódnak le. Biofizikus, meteorológus, geofizikus, atomfizikus, szeizmológus – mindannyian nemlineáris oszcillációkkal foglalkoznak, amelyek gyakran fáziszártak ilyen vagy olyan formában. Például egy energetikai mérnök a szinkron gépek stabilitásának problémájával, egy kommunikációs mérnök az időkiválasztás vagy szinkronizálás instabilitásával, egy fiziológus a klónusszal, egy neurológus az ataxiával, a meteorológus az ingadozások gyakoriságával foglalkozik. légköri nyomás, kardiológus a szív munkája okozta ingadozásokkal, biológus - a biológiai óra lefutása okozta ingadozásokkal foglalkozik.

A disszertáció fő célja a nemlineáris oszcillációk elméletében felmerülő problémák vizsgálata olyan alapvető fogalmakkal kapcsolatban, mint a rögzítés (vagy szinkronizálás), a követés, a demoduláció és a fáziskoherens kommunikációs rendszerek. Megkíséreljük áttekintést adni a gyakorlati érdeklődésre számot tartó nemlineáris problémákról, amelyek megoldásait hozzáférhető formában megírjuk. Az áttekintés nem teljes körű, de példaproblémákat tartalmaz, amelyek a fáziszárt rendszerek nemlineáris tulajdonságainak megértéséhez szükséges alapfogalmak illusztrálására szolgálnak. A megoldások létezésének és egyediségének kérdését csak felületesen érintjük; a fő hangsúly a megoldásszerzési módszereken van.

Az áttekintett anyag három fő témakörbe sorolható. Az első témakör a lineáris rezgések elméletének eredményeit mutatja be egy szabadságfokú és állandó paraméterű rendszerekben. Ezt az anyagot referenciaként és a nemlineáris rezgések elméletéből kapott eredményekkel való összehasonlításra használják. A második témakör a könnyen integrálható nemlineáris rendszerekről szól, amelyek nincsenek kitéve külső időfüggő erőknek. Itt a fázissík berendezés segítségével részletesen tanulmányozzuk a nemlineáris rendszerek szabad rezgéseit. Röviden összefoglaljuk Poincaré elsőrendű differenciálegyenletek szinguláris pontjairól szóló elméletét. A szinguláris pont fogalmának hasznosságát számos fizikai probléma megoldása szemlélteti. Végül a harmadik témakör az erőltetett, önfenntartó rezgéseket (önoszcillációkat) és a relaxációs nemlineáris oszcillációkat fedi le. Különösen a van der Pol elmélet szinkronizálási és követési problémákra való alkalmazását tárgyaljuk, a fejezet pedig a Hill-egyenlet tárgyalásával zárul.

1. Szabad rezgések lineáris rendszerekben

Értékesnek és érdekesnek tűnik összefoglalni a lineáris rezgések főbb jellemzőit. Ennek itt számos oka van. Egyik alapvető feladatunk az oszcillációk vizsgálatának lineáris és nemlineáris módszereinek összehasonlítása. Emellett gyakorlattá vált, hogy lehetőség szerint a lineáris feladatokban használt terminológiát alkalmazzák a nemlineárisakra. Végül hasznos, ha összefoglaljuk a lineáris elmélet főbb gondolatait és képleteit a könnyebb hivatkozás érdekében.

A lineáris oszcilláció problémájának talán legegyszerűbb példája egy egyszerű elektromos áramkör, amely egy kondenzátorral és egy ellenállással sorba kapcsolt induktivitásból áll (1. ábra). ábrán látható mechanikus analóg. Az 1. ábra egy rugóra erősített tömegű testből áll, amely a test elmozdulásával arányos erőt (úgynevezett visszaállító erőt) fejleszt ki. Ehhez az elektromos rendszerhez, a Kirchhoff-törvényt alkalmazva, megvan

Ha feltételezzük, hogy egy mechanikai rendszerben egy test olyan közegben mozog, amely a sebességgel arányos ellenállást biztosít (viszkózus súrlódás), akkor a mechanikai rendszer rezgéseire vonatkozó mozgásegyenletet az összefüggés adja meg.

Hasonlatosan megvan az; ; és ráadásul az elmozdulás analógja.

Rizs. 1.Lineáris elektromos és mechanikai rendszerek

Egyelőre feltételezve a külső erőt és bevezetve a jelölést

redukáljuk (1.2) alakra

Mivel az e lineáris homogén egyenlet által meghatározott rezgéseket szabad lineáris rezgéseknek nevezzük. Az állandó együtthatókkal rendelkező lineáris egyenlet általános megoldása két exponenciális függvény lineáris kombinációja:

ahol és tetszőleges állandók, amelyeket a kezdeti feltételek határoznak meg, a és a karakterisztikus egyenlet gyökei

Így, és a relációk adják

Ha az (1.5) megoldást valós formában akarjuk bemutatni, akkor három olyan esetet veszünk figyelembe, amikor a mennyiség: a) valós, b) nulla, c) képzeletbeli. Könnyű megmutatni, hogy a megoldások formát öltenek

hol és valódiak; és tetszőleges állandók, amelyeket az elmozdulás (áram) és a sebesség értékének megadásával határoznak meg egy kezdeti pillanatban.

Az (1.8 - a) egyenlet a gyakorlatban leggyakrabban merül fel. Amint az (1.3) pontból jól látható, ez az eset akkor fordul elő, ha a csillapítási együttható kicsi ehhez képest. Az (1.8 - a) egyenlet ebben az esetben olyan oszcillációs mozgást ír le, hogy minden két egymást követő maximum és elmozdulás kielégíti az összefüggést

Per. angolról Boldova B. A. és Gusev G. G. Szerkesztette V. E. Bogolyubov. - M.: Mir, 1968. - 432 p.
UDC 534 (Mechanikai rezgések. Akusztika). Van egy szövegréteg (azaz a szöveg könnyen másolható).
A híres japán tudós, T. Hayashi monográfiája a fizikai rendszerek széles skálájában előforduló nemlineáris oszcillációs folyamatok elméletével foglalkozik.
A könyv a szerző egyik korábbi művének átdolgozott és bővített kiadása, amelyet a szovjet olvasó az orosz fordításból ismerhet (T. Hayashi, Forced oscillations in nonlinear systems, Il, M., 1957). A feldolgozás és kiegészítések után azonban az eredmény tulajdonképpen egy új könyv lett.
Nemcsak új szakaszokban, hanem jelentősen továbbfejlesztett előadásmódban is különbözik a korábbitól. A könyv mind a nemlineáris rezgések elméletével és alkalmazásaival foglalkozó fizikusok és mérnökök, mind a differenciálegyenletek elméletével foglalkozó matematikusok számára érdekes.
Tartalomjegyzék.
Előszó az orosz kiadáshoz.
Előszó.
Bevezetés.
i. rész A nemlineáris rezgések elemzésének alapvető módszerei.
i. fejezet.
Analitikai módszerek.
Bevezetés.
Perturbációs módszer.
Iterációs módszer.
Átlagolási módszer.
A harmonikus egyensúly elve.
Számpéldák a Duffing-egyenlet megoldására.
fejezet II.
Topológiai módszerek és grafikus megoldások.
Bevezetés.
Integrálgörbék és szinguláris pontok az állapotsíkon.
Integrálgörbék és szinguláris pontok az állapottérben.
Isoclin módszer.
Lienard módszer.
Delta módszer.
A ferde vonalak módszere.
fejezet iii.
Nemlineáris rendszerek stabilitása.
A stabilitás meghatározása Ljapunov szerint.
Routh-Hurwitz kritérium nemlineáris rendszerekre.
Ljapunov stabilitási kritérium.
A periodikus rezgések stabilitása.
Mathieu-egyenlet.
Hill egyenlete.
A karakterisztikus kitevő továbbfejlesztett közelítése.
Hill egyenletek.
ii. rész, Kényszer rezgések állandósult állapotban.
iy. fejezet.
Periodikus rezgések stabilitása másodrendű rendszerekben.
Bevezetés.
Stabilitási feltétel időszakos megoldásokhoz.
Javított stabilitási feltételek.
További megjegyzések a stabilitási feltételekhez.
fejezet y.
Harmonikus rezgések.
Harmonikus rezgések szimmetrikus nemlineáris karakterisztikával.
Harmonikus rezgések aszimmetrikus nemlineáris karakterisztikával.

Yi. fejezet.
Ultraharmonikus rezgések.
Ultraharmonikus rezgések c.
soros rezonáns áramkörök.
Kísérleti tanulmány.
Ultraharmonikus rezgések párhuzamos rezonáns áramkörökben.
Kísérleti tanulmány.
fejezet Yii.
Szubharmonikus rezgések.
Bevezetés.
A nemlineáris jellemző és a sorrend kapcsolata.
szubharmonikus rezgések.

köbfüggvénnyel ábrázolt jellemző.
A szubharmonikus rezgések 1/3-os nagyságrendűek, nemlineárisak.
ötödfokú polinom által reprezentált karakterisztikát.
Kísérleti tanulmány.

harmadfokú polinom által képviselt karakterisztikát.
A szubharmonikus rezgések 1/2 nagyságrendűek, ha nemlineárisak.
szimmetrikus másodfokú karakterisztikát.
funkció.
Kísérleti tanulmány.
iii. rész. Kényszerlengés tranziens folyamatai.
fejezet Yiii.
Harmonikus rezgések.
Bevezetés.
Periodikus megoldások és stabilitásuk.
Harmonikus rezgések elemzése integrál rezgések segítségével.
görbék.
Harmonikus rezgések elemzése a fázissíkon.
Konzervatív rendszerek integrálgörbéinek geometriai elemzése.
Disszipatív rendszerek integrálgörbéinek geometriai elemzése.
Kísérleti tanulmány.
ix. fejezet.
Szubharmonikus rezgések.
Szubharmonikus rezgések elemzése integrálgörbék segítségével.
1/3-os szubharmonikus rezgések elemzése a fázissíkon.
Kísérleti tanulmány.
1/5-ös nagyságrendű szubharmonikus rezgések.
A szubharmonikus rezgések 1/2 nagyságrendűek.
1/2-es rendű szubharmonikus rezgések elemzése az első fázison.
repülőgép.
Kutatás analóg számítógépen.
fejezet x.
Különböző fajokhoz vezető kezdeti feltételek.
periodikus kilengések.
Az elemzés módszere.
Szimmetrikus rendszerek.

az ingadozás körülbelül 1/3.
Aszimmetrikus rendszerek.
A harmonikus és szubharmonikus vonzáskörzetei.
1/2 és 1/3 nagyságrendű rezgések.
Kísérleti tanulmányok.
Xi. fejezet.

Bevezetés.
Szinte periodikus rezgések egy rezonáns áramkörben egyenáramú előfeszítéssel.
Tartalomjegyzék.
Kísérleti tanulmány.
Szinte periodikus rezgések parametrikus módon.
gerjesztett áramkör.
rész iv. Önoszcilláló rendszerek periodikus külső erő hatására.
fejezet Xii.
Frekvencia zárolás.
Bevezetés.

Harmonikus rögzítés.
Ultraharmonikus rögzítés.
Szubharmonikus rögzítés.
Frekvenciazár területek.
Analóg számítógéppel végzett elemzés.

Önoszcillációs rendszer nemlineáris helyreállító erővel.
fejezet XIII.
Szinte periodikus oszcillációk.
Van der Pol egyenlet kényszertaggal.

harmonikus rezgések.
Integrálgörbék geometriai figyelembevétele on.
a harmonikus rögzítés határa.
Szinte periodikus kilengések, amelyek abból erednek.
ultraharmonikus rezgések.
Szinte periodikus kilengések, amelyek abból erednek.
szubharmonikus rezgések.
Önoszcilláló rendszer nemlineáris helyreállító erővel.
i. függelék. Mathieu-függvények kibővítése.
ii. függelék. A Hill-egyenlet instabil megoldásai.
Függelék iii. Az általánosított Hill-egyenlet instabil megoldásai.
Függelék iv. A módszerrel kapott stabilitási kritérium.
zavarok.
függelék v. Megjegyzések az integrálgörbékhez és szinguláris pontokhoz.
Vi app. Elektronikus szinkron kommutátor.
Feladatok.
Irodalom.
Mutató.
T. Hayashi.
Nemlineáris rezgések fizikai rendszerekben.

Szerkesztő N. Pluzhnakova Művész A. Shklovskaya.
Művészeti szerkesztő V. Shapovalov Műszaki szerkesztő N. Tursukova.
Gyártásba helyezés: 1967. 9. X. Nyomtatásra aláírva: 1968. 25. W.
Papír 60х90у1в-= 13,5 papír. l. 27,0 db. l.
Uch. -szerk. l. 24,
0. Szerk. 1/3899 sz.
Ár 1 dörzsölje. 91 k. Zak. 907.
Templan 1968, Mir kiadó, por. 38. sz.
"Mir" kiadó, Moszkva, 1. Rizhsky per. , 2.
A 2. számú leningrádi nyomda Jevgenyija Szokolováról, a Glavpoligrafprom Bizottságból.
a Szovjetunió Minisztertanácsa alá tartozó sajtó számára. Izmailovsky pr., 29.

Lásd még

Andrianov I.V., Danishevsky V.V., Ivankov A.O. Aszimptotikus módszerek a gerendák és lemezek rezgéselméletében

• fájl formátum: pdf
• méret: 5,53 MB
• hozzátette: 2011. szeptember 25

Dnyipropetrovszk: Pridnyeprovszki Állami Építési és Építészeti Akadémia, 2010, 217 p. A monográfia aszimptotikus módszereket tárgyal a gerendák és lemezek rezgési problémáinak megoldására. A fő figyelem a homotópia perturbációs módszerre irányul, amely egy mesterséges kis paraméter bevezetésén alapul. Vegyes peremfeltételű szerkezetek lineáris rezgései, valamint elosztott...

Rezgések a technikában. 6. kötet. Rezgés és ütés elleni védelem

• fájl formátum: djvu
• méret: 7,28 MB
• hozzáadva: 2009. október 27

Frolov K.V. A hatodik kötet a rezgésforrások vibrációs aktivitásának csökkentésére és a dinamikus csillapítók beállítására vonatkozó módszereket ismerteti. Figyelembe veszik a forgó gépalkatrészek kiegyensúlyozásának, a gépek és mechanizmusok kiegyensúlyozásának, a gépek munkadarabjainak mozgásának racionális törvényszerűségeinek megválasztását, a berendezések és alapok szigetelését, valamint az emberek vibráció elleni védelmének problémáját. A kézikönyv a számításokkal foglalkozó mérnöki és műszaki dolgozók számára készült,...

Ganiev R.F., Kononenko V.O. Merev testek rezgései

• fájl formátum: djvu
• méret: 8,89 MB
• hozzáadva: 2011. október 27

M.: Nauka, 1976, 432 p. Vizsgálták a térbeli mozgás nemlineáris rezgéseit, különös tekintettel a rezonanciák előfordulásának feltételeire. A munka releváns a légiközlekedési és űrtechnológiai értékcsökkenési rendszerek létrehozása során. Ganiev R.F. - akadémikus RAS, Kononenko V. O. - akadémikus. Ukrajnai Tudományos Akadémia. Elasztikus lengéscsillapító 39 Rezgéscsillapító 145, 41, 7 Rezgéscsillapítás 145, 417 Kinematikus gerjesztés 134, 358 Biaxiális giroszkóp 343 Triaxiális giroszkóp 353 Asztatikus giroszkóp...

Den-Hartog D.P. Mechanikai rezgések

• fájl formátum: djvu
• méret: 7,5 MB
• hozzáadva: 2010. május 25

M. Fizmatgiz. 1960 574 pp. A rezgések kinematikája. Rendszerek egy szabadságfokkal. Két szabadságfok. Tetszőleges számú szabadságfokkal rendelkező rendszerek. Többhengeres motorok. Forgó gépalkatrészek. Önrezgések. Rendszerek kvázi-harmonikus és nemlineáris rezgései.

Migulin V.V. A rezgéselmélet alapjai

• fájl formátum: djvu
• méret: 3,88 MB
• hozzáadva: 2010. január 10

A könyv megismerteti az olvasót a rádiótechnikai, optikai és egyéb rendszerekben előforduló oszcillációs folyamatok általános tulajdonságaival, valamint ezek tanulmányozásának különböző kvalitatív és kvantitatív módszereivel. Jelentős figyelmet fordítanak a parametrikus, önoszcillációs és egyéb nemlineáris oszcillációs rendszerek figyelembevételére. Az oszcillációs rendszerek és a bennük zajló folyamatok könyvben ismertetett vizsgálatát a rezgéselmélet jól ismert módszereivel mutatjuk be részletek nélkül...

Obmorshev A.N. Bevezetés az oszcillációelméletbe

• fájl formátum: pdf
• méret: 8,75 MB
• hozzáadva: 2010. február 23

A nemlineáris hatások sokféleképpen nyilvánulhatnak meg. A klasszikus példa egy nemlineáris rugó, amelyben a visszaállító erő nemlineárisan változik a nyújtással. Szimmetrikus nemlinearitás esetén (azonos reakció kompresszió és feszültség esetén) a mozgásegyenlet a következő alakot ölti:

Ha nincs csillapítás, és vannak olyan periodikus megoldások, amelyekben a sajátfrekvencián az amplitúdóval nő.

Rizs. 1.7. Egy merev rugóval rendelkező nemlineáris oszcillátor klasszikus rezonanciagörbéje abban az esetben, ha a rezgések periodikusak és a hajtóerővel azonos periódusúak (és az (1.2.4) egyenletben vannak meghatározva).

Ezt a modellt gyakran nevezik Duffing-egyenletnek, amely az azt tanulmányozó matematikusról kapta a nevét.

Ha egy rendszer periodikus erőhatásnak van kitéve, akkor a klasszikus elmélet szerint a válasz is periodikus lesz. Egy nemlineáris rugó rezonanciája az erő frekvenciájának megfelelő válaszfrekvencián az 1. ábrán látható. 1.7. Amint az ezen az ábrán látható, ha a hajtóerő amplitúdója állandó, van egy olyan frekvenciatartomány, amelyen belül három különböző válaszamplitúdó lehetséges. Megmutatható, hogy a szaggatott vonal az ábrán. Az 1.7 instabil, és hiszterézis lép fel a frekvencia növekedésével és csökkenésével. Ezt a jelenséget túllövésnek nevezik, és számos mechanikai és elektromos rendszerrel végzett kísérletekben megfigyelhető.

Vannak más periodikus megoldások is, például szubharmonikus és szuperharmonikus rezgések. Ha a hajtóerő alakja , akkor a szubharmonikus rezgések alakja és magasabb harmonikusai is lehetnek ( - egész). Amint alább látni fogjuk, a szubharmonikusok fontos szerepet játszanak a prekaotikus rezgésekben.

A nemlineáris rezonancia elmélete azon a feltételezésen alapul, hogy egy periodikus inger periodikus választ okoz. A kaotikus rezgések új elmélete azonban éppen ezt a posztulátumot vitatja.

Az öngerjesztett rezgések a nemlineáris jelenségek másik fontos osztálya. Ezek olyan oszcilláló mozgások, amelyek periodikus külső hatások vagy időszakos erők nélküli rendszerekben fordulnak elő. ábrán. Az 1.8 néhány példát mutat.

Rizs. 1.8. Példák öngerjesztett oszcillációkra: a - száraz súrlódás tömeg és mozgó test között; b - vékony szárnyra ható aeroelasztikus erők; c - negatív ellenállás az áramkörben az aktív elemmel.

Az első példában a rezgést a tömeg és a mozgó szalag egymáshoz viszonyított mozgása által létrehozott súrlódás okozza. A második példa az aeroelasztikus rezgések egy egész osztályát szemlélteti, amelyben az álló rezgéseket egy elasztikus szuszpenzión lévő szilárd test mögött álló folyadékáramlás okozza. ábrán látható klasszikus elektromos példában. 1.9 és Van der Pol tanulmányozta, egy vákuumcső van az áramkörben.

Ezen példák mindegyikében a rendszer tartalmaz egy álló energiaforrást és egy disszipációs forrást, vagy egy nemlineáris csillapító mechanizmust. A Van der Pol oszcillátor esetében az energiaforrás egy állandó feszültség.

Rizs. 1.9. A Van der Pol által tanulmányozott, azonos típusú határcikluson oszcilláló vákuumcsővel ellátott áramkör diagramja.

Ennek az áramkörnek a matematikai modelljében az energiaforrás negatív ellenállás formájában szerepel:

Az energia kis amplitúdókkal juthat be a rendszerbe, de az amplitúdó növekedésével növekedését a nemlineáris csillapítás korlátozza.

Egy Froude-inga esetében (lásd például ) az energiát a tengely stacionárius forgatása szolgáltatja. Kisebb oszcillációknál a nemlineáris súrlódás a negatív csillapítás szerepét tölti be; Eközben erős rezgések esetén az oszcillációk amplitúdóját a nemlineáris tag korlátozza

Az ilyen rendszerek oszcilláló mozgásait gyakran határciklusoknak nevezik. ábrán. Az 1.10. ábra a Van der Pol oszcillátor pályáit mutatja a fázissíkon. A kis oszcillációk spirálban letekernek, közelítve egy zárt aszimptotikus pályát, és a nagy amplitúdójú mozgások spirálban ugyanabba a határciklusba húzódnak (lásd 1.10. és 1.11. ábra, ahol ).

Az ilyen problémák tanulmányozása során gyakran két kérdés merül fel. Mekkora a rezgések amplitúdója és frekvenciája a határciklusban? Milyen paraméterértékekre léteznek stabil határciklusok?

Rizs. 1.10. A Van der Pol oszcillátor határciklus-megoldása, a fázissíkon ábrázolva.

Rizs. 1.11. A Van der Pol oszcillátor relaxációs rezgései.

A van der Pol egyenlet esetében célszerű a térbeli változót normalizálni az idővel, hogy az egyenlet alakját vegye fel.

Ahol . Kis értékeknél a határciklus egy 2 sugarú kör a fázissíkon, azaz.

ahol a harmadik és magasabb rendű harmonikusokat jelöljük. Nagy mozgás esetén relaxációs oszcillációk formájában történik, az ábrán látható. 1,11, dimenzió nélküli periódussal körülbelül 1,61 at

A periodikus erő problémája a van der Pol rendszerben összetettebb:

Mivel ez a rendszer nemlineáris, a szabad és kényszerített rezgések szuperpozíciójának elve nem alkalmazható. Ehelyett a rendszer az eredményül kapott periodikus mozgást a hajtási frekvencián rögzíti, amikor az utóbbi közel van a ciklus határfrekvenciájához. Gyenge külső hatás mellett három periodikus megoldás létezik, de ezek közül csak az egyik stabil (1.12. ábra). Nagy erőamplitúdók esetén csak egy megoldás létezik. Mindenesetre a detuning növekedésével - egy rögzítettnél - a rögzített periodikus megoldás instabilnak bizonyul, és más típusú mozgások is lehetővé válnak.

Rizs. 1.12. A Van der Pol oszcillátor kényszermozgásának amplitúdógörbéi (1.2.9).

Ha nagy eltérések vannak a vezetési és a természetes frekvenciák között, egy új jelenség jelenik meg a Van der Pol rendszerben - a kombinált oszcillációk, amelyeket néha szinte periodikus vagy kváziperiodikus megoldásoknak neveznek. A kombinált oszcillációknak van formája

Ha a és a frekvenciák összemérhetetlenek, azaz irracionális szám, akkor a megoldást kváziperiodikusnak nevezzük. A van der Pol egyenletnél ahol a szabad rezgések határciklusának frekvenciája (lásd például).

A helyreállító erő korántsem minden rezgéstől arányos az elhajlással (vagyis a törvény szerint változik (- kh)). Vegyük például a 2.74. ábrán látható rugót. Több lemezből áll. Kisebb deformációk esetén csak a hosszú lemezek hajlanak meg. Nagyobb terhelés esetén a rövidebb (és merevebb) lemezek is hajlításnak vannak kitéve. A helyreállító erő most a következőképpen írható le:

csata mód átvált időszakos, amikor a rezgések eltűnnek, és a test egyszerűen lassan megközelíti az egyensúlyi helyzetet (ábra). 2.72, időszámításunk előtt).

Írja be a vonal helyett, ahol a pontok vannak (t,x), vonal, ahová a pontok kerülnek ( x,v), és fázisportrékat készíteni a különböző súrlódású csillapított oszcillációkról. Használhatja a kész programok egyikét is Phaspdem* vagy Phport* a PAKPRO csomagban elérhetők közül. A 2.73. ábrán látható diagramokhoz hasonló diagramokat kell kapnia.

Úgy, hogy visszatér, i.e. FÉs x mindig különböző előjelekkel rendelkezett, páratlan erejű sorozattá kell bővíteni X. Mivel a potenciális energia U az erővel kapcsolatos képlet alapján F = - dU/dx, ez azt jelenti

vagyis a parabola falainál meredekebb falú potenciálkútban oszcillációk lépnek fel (2.75. ábra, a). A lemezek egymáshoz való súrlódása biztosítja a rezgések csillapításához szükséges csillapítást.

Az oszcilláció aszimmetrikus gödörben is lehetséges, amikor

(2.75. ábra, b). A helyreállító erő egyenlő lesz

A nemlineáris rezgésekkel járó feladatok megoldása során elkerülhetetlen a számítógép használata, mivel nincs analitikus megoldás. Számítógépen a megoldás egyáltalán nem nehéz. Csak abban a vonalban szükséges, ahol a sebességet növelik (v = v + F At/m),írja be például az F teljes kifejezését -gh-gh 2 képpont 3.

Példa. A nemlineáris rezgések grafikonjának rajzolására szolgáló program a PAKPRO csomagban található néven Nlkol. Tedd munkába. Görbéket kell kapnia a különböző kezdeti eltérésekhez. Ha x 0 nagyobb, mint egy bizonyos érték, az oszcilláló részecske jól elhagyja a potenciált, leküzdve a potenciálgátot.

Teszteld a programokat is Nlcol*És Nlosc.*, PAKPRO csomagban elérhető, valamint olyan programok, amelyekkel fázisportrékat készíthet a nemlineáris rezgésekről: Phaspnl.*, Phportnl*.

Vegye figyelembe, hogy szigorúan véve szinte minden rezgés nemlineáris. Csak kis amplitúdó esetén tekinthetők lineárisnak (hanyagolja el az x 2, x 3 stb. kifejezéseket a (2.117) képletekben).

Hagyja az oszcillátort a saját rezgéseit Co frekvenciájú helyreállító erőn túlmenően egy külső erő is hatni, amely periódikusan változik (Oo-val egyenlő vagy nem egyenlő co frekvenciával), ez az erő ringatja a testet frekvenciával együtt.Az ilyenkor fellépő rezgéseket ún kényszerű.

A mozgás egyenlete ebben az esetben a következő lesz:

Először is megtörténik az oszcillációk létrehozásának folyamata. Az első sokktól kezdve a test a saját frekvenciájával kezd oszcillálni 0-tól. Aztán fokozatosan elhalnak a természetes oszcillációk, és a hajtóerő kezdi irányítani a folyamatot. A kényszerrezgések nem frekvenciával (O0), hanem a hajtóerő co frekvenciájával jönnek létre.Az átmenet folyamata nagyon összetett, nincs analitikus megoldás.A feladat numerikus módszerrel történő megoldásakor nem lesz bonyolultabb a program mint mondjuk egy program csillapított oszcillációra.Csak ahhoz az egyeneshez, ahol a mozgásegyenletnek megfelelően a sebességet növeljük, egy hajtóerőt kell hozzáadni FobiH = Focos(cot) alakban.

Példa. A PAKG1RO csomag példát ad egy olyan programra, amely a számítógép képernyőjén megjelenő kényszerrezgések grafikonját készíti. Lásd még a programokat Ustvcol.pasÉs UstvcoW.pas. A kapott x(?) diagram és fázisdiagram v(x)ábrán láthatók a 2.76. A paraméterek sikeres kiválasztásával jól látható, hogyan jönnek létre fokozatosan az erőltetett rezgések. Érdekes megfigyelni az erőltetett rezgések létrejöttét a fázisdiagramon (program Phpforc.pas).

Amikor a co frekvenciájú rezgések már kialakultak, a (2.118) egyenlet megoldása az alábbi formában található

Itt Jo az állandósult állapotú rezgések amplitúdója. Ha (2.119)-et behelyettesítjük (2.118)-ba, miután először megtaláltuk az idő deriváltokat X"És X"és tekintettel arra Nak nek= coo 2 tn, akkor kiderül, hogy (2.119) a (2.118) egyenlet megoldása lesz, feltéve, hogy

A súrlódást nem vették figyelembe, együttható A nullának számított. Látható, hogy a rezgések amplitúdója meredeken növekszik, ha co közeledik a C0-hoz (2.77. ábra). Ezt a jelenséget az ún rezonancia.

Ha valóban nem lenne súrlódás, akkor az amplitúdó с = (Оо-nál végtelenül nagy lenne. A valóságban ez nem történik meg. Ugyanez a 2.77. ábra mutatja, hogyan változik a rezonanciagörbe a súrlódás növekedésével. De mégis, ha a co és co egybeesik, akkor a 2.77. az amplitúdó tízszeresére és százszorosára is nőhet, mint a F SOo. A technikában ez a jelenség veszélyes, mivel a motor kényszerrezgései a gép bármely részének sajátfrekvenciájára rezonálhatnak, és az tönkremehet.

NEMLINEÁRIS OSCILLÁCIÓK

Fizikai rezgések közönséges differenciálegyenletek nemlineáris rendszerei által leírt rendszerek

Ahol legalább 2. fokú tagokat tartalmaz a vektorkomponensekben - az idő vektorfüggvénye - kis paraméter (vagy és ). A lehetséges általánosítások a nem folytonos rendszerek figyelembevételével, a nem folytonos jellemzőkkel járó hatásokkal (például hiszterézis), a késleltetett és véletlenszerű hatásokkal, az integro-differenciális és differenciál operátoregyenletekkel, a parciális differenciálegyenletekkel leírt elosztott paraméterű oszcillációs rendszerekkel, valamint mint a nemlineáris oszcillációs rendszerek optimális szabályozási módszereinek alkalmazása. Az N.K. főbb általános feladatai: egyensúlyi helyzetek, stacioner rezsimek, különösen periodikusok megtalálása. mozgások, önrezgések és stabilitásuk vizsgálata, szinkronizálási és stabilizációs problémák N.K.

Mind fizikai A rendszerek szigorúan véve nemlineárisak. Az NC-k egyik legjellemzőbb tulajdonsága, hogy megsértik az oszcillációk szuperpozíciójának elvét: mindegyik hatás eredménye a másik jelenlétében más, mint a másik hatás hiányában.

Kvázilineáris rendszerek - rendszerek (1) a . A fő kutatási módszer az kisparaméteres módszer. Először is ez a Poincaré-Lindstedt módszer a periodicitás meghatározására. olyan kvázilineáris rendszerek megoldásai, amelyek a paraméterben analitikusak kellően kis értékekre, akár sorozatok formájában hatványokban (lásd IX. fejezet), akár sorozatok hatványok és ill. - a vektorkomponensek kezdeti értékeinek kiegészítése (lásd a III. fejezetet). Ennek a módszernek a továbbfejlesztéséhez lásd például a -.

Egy másik kisparaméteres módszer a módszer átlagolással. Ugyanakkor új módszerek is behatoltak a kvázilineáris rendszerek vizsgálatába: az aszimptotikus. módszerek (lásd,), a K-függvények módszere (lásd), A. M. Lyapunov - N. G. Chetaeva stb. alapvető eredményei alapján.

Lényegében nemlineáris rendszerek, amelyekben nincs előre meghatározott kis paraméter. Lyapunov rendszerekhez

és a mátrix sajátértékei között nincsenek a gyökér többszörösei - elemző vektorfüggvény X, a bővítés legalább 2. rendű kifejezésekkel kezdődik, és van egy speciális típusú elemző is, A. M. Ljapunov (lásd 42. §) módszert javasolt a periodikusak megtalálására. megoldások sorozat formájában egy tetszőleges c állandó hatványaiban (amelyre a két vagy kritikus változó egyikének kezdőértéke vehető).

Lyapunov-rendszerekhez közeli rendszerek esetén,

ahol ugyanolyan alakú, mint a (2), - analitikus. vektorfüggvény és kis paraméter, folytonos és -periodikus be t, egy módszert is javasolnak a periodicitás meghatározására. határozatokat (lásd VIII. fejezet). Ljapunov típusú rendszerek (2), amelyekben l nulla sajátértéke van egyszerű elemi osztókkal, két tisztán képzeletbeli sajátértéke, és nincsenek sajátértékei, amelyek többszörösei - ugyanaz, mint a (2), visszavezethető Lyapunov-rendszerekre (lásd IV.2). N.K.-t is vizsgálták Ljapunov rendszerekben és az ún. Lyapunov rendszereket csillapítással, és megoldotta az energia beléjük pumpálásának általános problémáját is (lásd I., III., IV. fejezet).

A lényegében nemlineárist redukáljuk lineáris részének Jordan alakjára

ahol a vektornak legalább egy nullától eltérő komponense van; , a lineáris rész mátrixának komplex elemi osztóinak hiányában vagy jelenléte esetén nulla vagy egy, - együtthatók; Az egész komponenseket tartalmazó vektor értékei a következők:

Ezután következik egy normalizáló transzformáció:

ami (3) a differenciálegyenletek normálformájához vezet

és olyan, hogy ha . Így az (5) csak -t tartalmaz, azaz az együtthatók nullától csak azoknak térhetnek el, amelyekre a rezonanciaegyenlet teljesül.

jelentős szerepet játszik az oszcilláció elméletében. A normalizáló transzformáció (4) konvergenciáját és divergenciáját tanulmányozták (lásd I. rész, II., III. fejezet); az együtthatók számítása (szimmetrizációjuk révén) adott (lásd 5.3. §). A lényegében nemlineáris autonóm rendszerek nemlineáris formájával kapcsolatos számos problémában a normálformák módszere hatékonynak bizonyult (lásd a VI-VIII. fejezetet).

A lényegében nemlineáris rendszerek tanulmányozására szolgáló egyéb módszerek mellett a pontleképezés módszerét alkalmazzák (lásd stroboskonikus). módszer és funkcionális-analitikai. mód.

Nemlineáris differenciálegyenletek kvalitatív módszerei A kiindulópont a nemlineáris közönséges differenciálegyenletek integrálgörbéinek formájának vizsgálata, amelyet A. Poincare végzett (N. Poincare, lásd). Alkalmazások másodrendű autonóm rendszerek által leírt N.K.-problémákra, lásd. Tanulmányoztam a periodicitás létezésének kérdéseit. megoldások és stabilitásuk nagyban többdimenziós rendszerek esetében; csaknem periodikus nem-periodikus egyenleteket veszünk figyelembe.. A kis paraméterű közönséges differenciálegyenletek elméletének alkalmazásai bizonyos deriváltakra a relaxációs nemlineáris egyenletek problémáira, ld.

Fontos szempontok N. k. és lit. lásd cikkeket Perturbációk, Oszcillációelmélet.

Megvilágított.: Poincaré A., Izbr. működik, ford. franciából, 1. kötet, M., 1971; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Theory of Oscillations, 2. kiadás, M., 1959; Bulgakov B.V., Oscillations, M., 1954; Malkin I.G., A nemlineáris oszcillációk elméletének néhány problémája, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. munkák, 1. kötet, K., 1969; [b] Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A., Asimptotikus módszerek a nemlineáris oszcillációk elméletében, 4. kiadás, M-, 1974; Kamenkov G.V., Izbr. munkák, 1-2. kötet, M., 1971-72; Lyapunov A. M., Gyűjtemény. soch., 2. kötet, M.-L., 195B, p. 7-263; Starzhinsky V.M., A nemlineáris oszcillációk alkalmazott módszerei, M., 1977; Bruno A.D., "Tr. Moscow Mathematical Society", 1971, 25. köt., p. 119-262; 1972, 26. kötet, p. 199-239; Neimark Yu. I., Pontleképezés módszere a nemlineáris oszcillációk elméletében, M., 1972; Minorsky N., Bevezetés a nemlineáris mechanikába, Ann Arbor, 1947; Krasnoselsky M. A., Burd V. Sh., Kolesov Yu. S., Nemlineáris szinte periodikus oszcillációk, M., 1970; Poincaré A., Differenciálegyenletekkel meghatározott görbéken, ford. franciából, M. -L., 1947; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Bevezetés a nemlineáris oszcillációk elméletébe, M., 1976; Plise V.A., Az oszcillációk elméletének nem lokális problémái, M. -L., 1964; Mishchenko E. F., Rozov N. X., Differenciálegyenletek kis paraméterrel és relaxációs oszcillációkkal, M., 1975.

V. M. Starzsinszkij.

Matematikai enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Nézze meg, mik a „NEMLINEÁRIS OSZCILLÁCIÓK” más szótárakban:

nemlineáris rezgések- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Angol-orosz elektrotechnikai és energetikai szótár, Moszkva, 1999] Villamosmérnöki témakörök, alapfogalmak EN nemlineáris oszcillációk ... Műszaki fordítói útmutató

nemlineáris rezgések- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. nem lineáris rezgések; nem lineáris rezgések vok. nichtlineare Schwingungen, f rus. nemlineáris rezgések, n ​​pranc. oszcillációk non lineaires, f … Fizikos terminų žodynas

Egy kifejezés, amelyet néha a nemlineáris rendszerek oszcillációira használnak (lásd: Nemlineáris rendszerek) ... Nagy Szovjet Enciklopédia

Nemlineáris oszcillációk Nemlineáris vibráció Szakterület ... Wikipédia

Folyamatok az oszcillációban. és hullámrendszerek, amelyek nem teljesítik a szuperpozíció elvét. A nemlineáris oszcillációk vagy hullámok általában kölcsönhatásba lépnek egymással, és jellemzőik (frekvencia, rezgésalak, terjedési sebesség, profiltípus... ... Fizikai enciklopédia

Az oszcillációs rendszerek erősen függnek a bennük zajló folyamatoktól. Az ilyen rendszerek rezgéseit nemlineáris egyenletek írják le. Nemlineáris jelenségek: mechanikai. rendszerek, ahol a testek rugalmassági modulusai az utóbbiak deformációitól vagy együtthatóktól függenek. súrlódás...... Fizikai enciklopédia

Hasonló cikkek