Két vektoros képlet szorzata. Vektor termék vektorok online

vektoros alkotás egy két tényezőből felépített síkra merőleges pszeudovektor, amely a háromdimenziós euklideszi tér vektorai feletti „vektorszorzás” bináris művelet eredménye. A vektorszorzat nem rendelkezik a kommutativitás és az asszociativitás tulajdonságaival (antikommutatív), és a vektorok skaláris szorzatával ellentétben vektor. Széles körben használják számos mérnöki és fizikai alkalmazásban. Például a szögimpulzus és a Lorentz-erő matematikailag vektorszorzatként van felírva. A keresztszorzat hasznos a vektorok merőlegességének "mérésére" - két vektor keresztszorzatának modulusa egyenlő a modulusuk szorzatával, ha merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok párhuzamosak vagy antiparallelek.

A vektorszorzat többféleképpen definiálható, és elméletileg tetszőleges n dimenziójú térben kiszámítható n-1 vektor szorzata, így egyetlen, mindegyikre merőleges vektort kapunk. De ha a szorzat nem triviális bináris szorzatokra korlátozódik vektoreredményekkel, akkor a hagyományos vektorszorzatot csak háromdimenziós és hétdimenziós terekben határozzuk meg. A vektorszorzat eredménye, akárcsak a skalárszorzat, az euklideszi tér metrikájától függ.

Ellentétben a skaláris szorzatvektorok koordinátákból háromdimenziós téglalap alakú koordinátarendszerben történő kiszámításának képletével, a keresztszorzat képlete a téglalap alakú koordinátarendszer orientációjától, vagy más szóval „kiralitásától” függ.

Meghatározás:
Az a és b vektor vektorszorzata az R3 térben egy c vektor, amely megfelel a következő követelményeknek:
a c vektor hossza egyenlő az a és b vektorok hosszának és a közöttük lévő φ szög szinuszának szorzatával:
|c|=|a||b|sin φ;
a c vektor ortogonális az a és b vektorra;
a c vektor úgy van irányítva, hogy az abc vektorok hármasa jobb oldali legyen;
az R7 tér esetében az a, b, c vektorok hármasának asszociativitása szükséges.
Kijelölés:
c===a × b

Rizs. 1. A paralelogramma területe megegyezik a vektorszorzat modulusával

Keresztszorzat geometriai tulajdonságai:
Két nem nulla vektor kollinearitása szükséges és elégséges feltétele, hogy vektorszorzatuk nullával egyenlő.

Kereszttermék modul területtel egyenlő S közös origóra redukált vektorokra épített paralelogramma aÉs b(lásd 1. ábra).

Ha e- a vektorokra merőleges egységvektor aÉs bés úgy választották ki, hogy három a,b,e- igaz, és S a rájuk felépített paralelogramma területe (közös origóra redukálva), akkor érvényes a vektorszorzat képlete:
=S e

2. ábra. Egy paralelepipedon térfogata a vektorok és a vektorok skaláris szorzatának felhasználásával; a szaggatott vonalak a c vektor a × b-re és az a vektor vetületeit mutatják b × c-re, első lépésként meg kell keresni a skaláris szorzatokat

Ha c- néhány vektor, π - bármely sík, amely tartalmazza ezt a vektort, e- egységvektor a síkban fekszik π és arra merőleges c,g- a síkra merőleges egységvektor π és úgy irányítjuk, hogy a vektorok hármasa ekg igaza van, akkor a gépben fekvő mindenre π vektor a a képlet helyes:
=Pr e a |c|g
ahol Pr e a az e vektor vetülete a-ra
|c|-a c vektor modulusa

Vektor és skaláris szorzatok használatakor kiszámítható egy közös origóra redukált vektorokra épített paralelepipedon térfogata a, bÉs c. Három vektor ilyen szorzatát vegyesnek nevezzük.
V=|a (b×c)|
Az ábrán látható, hogy ez a térfogat kétféleképpen is megtalálható: a geometriai eredmény akkor is megmarad, ha a „skaláris” és a „vektor” szorzatot felcseréljük:
V=a×b c=a b×c

A keresztszorzat nagysága az eredeti vektorok közötti szög szinuszától függ, így a keresztszorzat felfogható a vektorok „merőlegességének” mértékeként, ahogy a skaláris szorzat a „párhuzamosság” mértékeként is felfogható. ”. Két egységvektor vektorszorzata egyenlő 1-gyel (egységvektor), ha az eredeti vektorok merőlegesek, és 0-val (nulla vektor), ha a vektorok párhuzamosak vagy antiparallelek.

A keresztszorzat kifejezése derékszögű koordinátákkal
Ha két vektor aÉs b derékszögű derékszögű koordinátáikkal, pontosabban ortonormális alapon ábrázolva
a=(a x,a y,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
és a koordinátarendszer jobbkezes, akkor vektorszorzatuk alakja
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Hogy emlékezzünk erre a képletre:
i =∑ε ijk a j b k
Ahol ε ijk- Levi-Civita szimbóluma.

Az i, j és k vektorok keresztszorzattáblázatát fogjuk használni:

ha az első vektortól a másodikig vezető legrövidebb út iránya egybeesik a nyíl irányával, akkor a szorzat egyenlő a harmadik vektorral; ha nem esik egybe, akkor a harmadik vektort mínusz előjellel vesszük.

Legyen adott két a=axi +ayj +azk és b =bxi +byj +bzk vektor. Határozzuk meg ezeknek a vektoroknak a vektorszorzatát úgy, hogy megszorozzuk őket polinomként (a vektorszorzat tulajdonságainak megfelelően):
A kapott képletet még rövidebben is felírhatjuk: mivel a (7.1) egyenlőség jobb oldala a harmadrendű determináns kiterjesztésének felel meg az első sor elemei tekintetében A (7.2) egyenlőség könnyen megjegyezhető.

7.4. A kereszttermékek egyes alkalmazásai

Vektorok kollinearitásának megállapítása.
Egy paralelogramma és egy háromszög területének meghatározása

Az a és b vektorok vektorszorzatának meghatározása szerint |a xb | = |a| * |b |ének, azaz S pár = |a x b |. Ezért DS =1/2|a x b |.

Egy pont körüli erőnyomaték meghatározása

Legyen egy F =AB erő az A pontban, és legyen O a tér valamely pontja A fizikából ismert, hogy az F erő nyomatéka az O ponthoz képest az M vektor, amely átmegy az O ponton, és:

1) merőleges az O, A, B pontokon átmenő síkra;

2) számszerűen egyenlő a vállra ható erő szorzatával 3) jobb oldali hármast alkot OA és A B vektorokkal.

Ezért M = OA x F. Lineáris forgási sebesség megállapítása

Egy rögzített tengely körül w szögsebességgel forgó merev test M pontjának v sebességét a v =w xr Euler-képlet határozza meg, ahol r =OM, ahol O a tengely valamely fix pontja (lásd az ábrát). 21).

Szög vektorok között

Két vektor skaláris szorzatának definíciójából következik, hogy ha a és vektorokat a koordináták, ill. , akkor az (1.6.3.1) képlet a következőképpen lesz felírva:

A vektorokra épített paralelogramma területe

A szakaszok hosszának, a pontok közötti távolságnak, a testek felületének és térfogatának mérésével kapcsolatos problémák a problémák egy fontos osztályába tartoznak, amelyeket általában metrikusnak neveznek. Az előző részben megtanultuk, hogyan kell vektoralgebra segítségével kiszámítani a szakaszok hosszát és a pontok közötti távolságot. Most meg fogjuk találni a területek és térfogatok kiszámításának módjait. A vektoralgebra csak meglehetősen egyszerű esetekben teszi lehetővé az ilyen problémák felállítását és megoldását. Tetszőleges felületek területeinek és tetszőleges testek térfogatának kiszámításához elemzési módszerekre van szükség. Az elemzési módszerek viszont jelentősen támaszkodnak azokra az eredményekre, amelyeket a vektoralgebra ad.

A probléma megoldására egy meglehetősen hosszú és nehéz utat választottunk, amelyet Hilbert Strang javasolt, és amely számos geometriai transzformációhoz és gondos algebrai számításokhoz kapcsolódik. Annak ellenére választottuk ezt az utat, hogy vannak más megközelítések is, amelyek gyorsabban vezetnek a célhoz, mert ez közvetlennek és természetesnek tűnt számunkra. A tudományban a közvetlen út nem mindig a legkönnyebb. A tapasztalt emberek tudnak erről, és előnyben részesítik a körforgalmú utakat, de ha nem próbál egyenesen haladni, tudatlan maradhat az elmélet néhány finomságáról.

Az általunk választott úton természetesen megjelennek olyan fogalmak, mint a térbeli tájékozódás, determináns, vektor és vegyes szorzat. A determináns geometriai jelentése és tulajdonságai különösen jól láthatóak, mintha mikroszkóp alatt lennének. Hagyományosan a determináns fogalmát a lineáris egyenletrendszerek elmélete vezeti be, de éppen az ilyen rendszerek megoldására szinte használhatatlan a determináns. A determináns geometriai jelentése elengedhetetlen a vektor- és tenzoralgebrához.

Most legyünk türelmesek, és kezdjük a legegyszerűbb és legérthetőbb esetekkel.

1. A vektorok a derékszögű koordinátarendszer koordinátatengelyei mentén vannak orientálva.

Legyen az a vektor az x tengely mentén, a b vektor pedig az y tengely mentén. ábrán. A 21. ábra négy különböző lehetőséget mutat a vektorok elhelyezkedésére a koordinátatengelyekhez képest.

A és b vektorok koordináta alakban: ahol a és b a megfelelő vektor nagyságát, a pedig a vektor koordinátájának előjele.

Mivel a vektorok merőlegesek, a rájuk szerkesztett paralelogrammák téglalapok. Területük egyszerűen az oldaluk terméke. Fejezzük ki ezeket a szorzatokat vektorkoordinátákkal mind a négy esetben.

Mind a négy képlet a terület kiszámításához ugyanaz, kivéve az előjelet. Csupán becsukhatod a szemed és leírhatod, hogy minden esetben. Egy másik lehetőség azonban eredményesebbnek bizonyul: a jelnek valamilyen jelentést adni. Nézzük meg figyelmesen az ábrát. 21. Azokban az esetekben, amikor a vektorról vektorra forgatást az óramutató járásával megegyező irányban hajtjuk végre. Azokban az esetekben, amikor kénytelenek vagyunk mínuszjelet használni a képletben, a vektorról vektorra forgatás az óramutató járásával ellentétes irányban történik. Ez a megfigyelés lehetővé teszi, hogy a terület kifejezésekben szereplő jelet a sík tájolásához viszonyítsuk.

A plusz vagy mínusz előjellel rendelkező a és b vektorokra épített téglalap területét orientált területnek tekintjük, és a jelet a vektorok által meghatározott tájolással társítják. Egy orientált területhez írhatunk egyetlen képletet mind a négy esetre: . Az S betű feletti „vektor” oszlopjel azért kerül bevezetésre, hogy megkülönböztesse a közönséges, mindig pozitív területet az orientálttól.

Sőt, nyilvánvaló, hogy ugyanazok a vektorok, eltérő sorrendben, ellentétes orientációt határoznak meg, ezért . Továbbra is csak S betűvel jelöljük a területet, és ezért .

Most, hogy úgy tűnik, hogy a terület fogalmának bővítése árán általános kifejezést kaptunk, a figyelmes olvasó azt fogja mondani, hogy nem mérlegeltünk minden lehetőséget. Valójában a vektorok elhelyezésére vonatkozó, az ábrán bemutatott négy lehetőség mellett. 21, van még négy (22. ábra) Írjuk fel ismét koordináta alakban a vektorokat: fejezzük ki a területeket a vektorok koordinátáin keresztül. 4. . Az új kifejezésekben a jelek nem változtak, de sajnos az elõzõ négy esethez viszonyított orientáció megváltozott. Ezért az orientált területre kénytelenek vagyunk írni: . Bár a zseniális egyszerűség reménye nem volt jogos, mégis leírhatunk egy általános kifejezést mind a négy esetre.

Vagyis a vektorokra épített téglalap orientált területe, mint az oldalakon, megegyezik a vektorok koordinátáiból álló determinánssal, mint az oszlopokon.

Úgy gondoljuk, hogy az olvasó ismeri a determinánsok elméletét, ezért nem foglalkozunk vele részletesen. Megfelelő definíciókat adunk azonban annak érdekében, hogy megváltoztassuk a hangsúlyt, és megmutassuk, hogy ez a fogalom pusztán geometriai megfontolásokból is elvezethető. , , ugyanazon fogalom különböző jelölési formái – vektorkoordinátákból, például oszlopokból álló determináns. Egyenlőség definíciójának tekinthető a kétdimenziós esetre.

2. A b vektor nem párhuzamos az x tengellyel; az a/ vektor tetszőleges vektor.

Annak érdekében, hogy ezt az esetet a már ismertekre redukáljuk, nézzünk meg néhány geometriai transzformációt egy vektorokra épített paralelogramma és (ábra. vektorok vegyes szorzatai és tulajdonságai

7.1. A keresztszorzat definíciója

Három nem egysíkú a, b és c vektor a jelzett sorrendben egy jobb oldali hármast alkot, ha a harmadik c vektor végétől az első a vektortól a második b vektorig tartó legrövidebb fordulatot látjuk. legyen az óramutató járásával ellentétes, és egy balkezes hármas, ha az óramutató járásával megegyező irányban (lásd: 16. ábra).

Az a és b vektor vektorszorzatát c vektornak nevezzük, amely:

1. Merőleges az a és b vektorra, azaz c ^ a és c ^ b ;

2. A hossza számszerűen megegyezik az a és vektorokból felépített paralelogramma területévelb mint az oldalakon (lásd 17. ábra), azaz.

3. Az a, b és c vektorok jobb oldali hármast alkotnak.

A keresztszorzatot a x b-vel vagy [a,b]-vel jelöljük. Az alábbi összefüggések az i egységvektorok között közvetlenül következnek a vektorszorzat definíciójából, jÉs k(lásd: 18. ábra):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Bizonyítsuk be például azt i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, de | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) i, j és vektorok k jobboldali hármast alkotnak (lásd 16. ábra).

7.2. A kereszttermék tulajdonságai

1. A faktorok átrendezésekor a vektorszorzat előjelet vált, azaz. és xb =(b xa) (lásd 19. ábra).

Az a xb és b xa vektorok kollineárisak, ugyanazokkal a modulokkal rendelkeznek (a paralelogramma területe változatlan marad), de ellentétes irányúak (ellentétes orientációjú a, b, a xb és a, b, b x a hármasok). Azaz axb = -(b xa).

2. A vektorszorzatnak van egy kombináló tulajdonsága a skaláris tényezőhöz képest, azaz l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Legyen l >0. Az l (a xb) vektor merőleges az a és b vektorokra. vektor ( l fejsze b szintén merőleges az a és vektorokra b(a vektorok, l de ugyanabban a síkban fekszenek). Ez azt jelenti, hogy a vektorok l(a xb) és ( l fejsze b kollineáris. Nyilvánvaló, hogy irányuk egybeesik. Egyforma hosszúságúak:

Ezért l(a xb)= l egy xb. Hasonló módon bizonyított l<0.

3. Két nem nulla vektor a és b akkor és csak akkor kollineárisak, ha vektorszorzatuk egyenlő a nulla vektorral, azaz a ||b<=>és xb =0.

Konkrétan i *i =j *j =k *k =0 .

4. A vektorszorzat eloszlási tulajdonsággal rendelkezik:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Bizonyíték nélkül elfogadjuk.

7.3. A keresztszorzat kifejezése koordinátákkal

Az i vektorok keresztszorzattáblázatát fogjuk használni, jés k:

Legyen adott két a =a x i +a y vektor j+a z kés b =b x én+b y j+b z k. Határozzuk meg ezeknek a vektoroknak a vektorszorzatát úgy, hogy megszorozzuk őket polinomként (a vektorszorzat tulajdonságainak megfelelően):

A kapott képletet még rövidebben is felírhatjuk:

mivel a (7.1) egyenlőség jobb oldala a harmadrendű determináns kiterjesztésének felel meg az első sor elemei tekintetében A (7.2) egyenlőség könnyen megjegyezhető.

7.4. A kereszttermékek egyes alkalmazásai

Vektorok kollinearitásának megállapítása

Egy paralelogramma és egy háromszög területének meghatározása

A vektorok vektorszorzatának definíciója szerint Aés b |a xb | =|a | * |b |sin g, azaz S pár = |a x b |. És ezért D S =1/2|a x b |.

Egy pont körüli erőnyomaték meghatározása

Legyen erő az A pontban F =AB elengedni RÓL RŐL- valami pont a térben (lásd 20. ábra).

A fizikából ismert, hogy erőpillanat F ponthoz képest RÓL RŐL vektornak nevezzük M, amely áthalad a ponton RÓL RŐLÉs:

1) merőleges a pontokon átmenő síkra O, A, B;

2) számszerűen egyenlő a karonkénti erő szorzatával

3) jobboldali hármast alkot OA és A B vektorokkal.

Ezért M = OA x F.

Lineáris forgási sebesség megállapítása

Sebesség v szögsebességgel forgó merev test M pontja w egy rögzített tengely körül, az Euler-képlet v =w xr határozza meg, ahol r =OM, ahol O a tengely valamely rögzített pontja (lásd 21. ábra).

HÁROM VEKTOR VEGYES TERMÉKE ÉS TULAJDONSÁGAI

Vegyes munka három vektort egyenlő számnak nevezünk. Kijelölve . Itt az első két vektort vektoriálisan megszorozzuk, majd a kapott vektort skalárisan megszorozzuk a harmadik vektorral. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen termék egy bizonyos szám.

Tekintsük a vegyes termék tulajdonságait.

Geometriai jelentés vegyes munka. 3 vektor vegyes szorzata egy előjelig egyenlő az ezekre a vektorokra épített paralelepipedon térfogatával, mint az éleken, i.e. .
Így, és .

Bizonyíték. Tegyük félre a közös origóból származó vektorokat, és építsünk rájuk egy paralelepipedont. Jelöljük és jegyezzük meg, hogy . A skalárszorzat meghatározása szerint

Feltételezve, hogy ezt jelöljük h keresse meg a paralelepipedon magasságát.

Így mikor

Ha, akkor igen. Ennélfogva, .

Mindkét esetet kombinálva kapjuk a vagy .

Ennek a tulajdonságnak a bizonyításából különösen az következik, hogy ha a vektorok hármasa jobboldali, akkor a vegyes szorzat , ha pedig balkezes, akkor .
Bármely , vektorra igaz az egyenlőség
Ennek a tulajdonságnak a bizonyítása az 1. tulajdonságból következik. Valójában könnyen kimutatható, hogy és . Ezenkívül a „+” és „–” jeleket egyszerre veszik, mert a és és a vektorok közötti szögek hegyesek és tompaszögek is.
Ha bármelyik két tényezőt átrendezzük, a vegyes termék előjelet vált.
Valóban, ha vegyes terméket tekintünk, akkor például, ill
Vegyes szorzat akkor és csak akkor, ha az egyik tényező nulla, vagy a vektorok egysíkúak.
Bizonyíték.

Tehát 3 vektor egysíkúságának szükséges és elégséges feltétele, hogy vegyes szorzatuk nullával egyenlő. Ezen kívül ebből következik, hogy három vektor alkot bázist a térben, ha .

Ha a vektorokat koordináta formában adjuk meg, akkor kimutatható, hogy vegyes szorzatukat a következő képlettel találjuk meg:

.

Így a vegyes szorzat egyenlő a harmadrendű determinánssal, amelynek az első sorban az első vektor koordinátái, a második sorban a második vektor koordinátái, a harmadik sorban pedig a harmadik vektor koordinátái vannak.

Példák.

ELEMZŐ GEOMETRIA TÉRBEN

Az egyenlet F(x, y, z)= 0 a térben határozza meg Oxyz valamilyen felület, pl. pontok helye, amelyek koordinátái x, y, z kielégíti ezt az egyenletet. Ezt az egyenletet felületi egyenletnek nevezzük, és x, y, z– aktuális koordináták.

A felületet azonban gyakran nem egyenlet határozza meg, hanem olyan pontok halmaza a térben, amelyeknek van egy vagy másik tulajdonsága. Ebben az esetben meg kell találni a felület egyenletét annak geometriai tulajdonságai alapján.

REPÜLŐGÉP.

NORMÁL SÍK VEKTOR.

EGY ADAT PONTON ÁTMENŐ SÍK EGYENLETE

Tekintsünk egy tetszőleges σ síkot a térben. Helyét egy erre a síkra merőleges vektor és valamilyen fix pont megadásával határozzuk meg M0(x 0, y 0, z 0), a σ síkban fekszik.

A σ síkra merőleges vektort nevezzük Normál ennek a síknak a vektora. Legyenek a vektornak koordinátái.

Vezessük le az ezen a ponton áthaladó σ sík egyenletét M0és normális vektorral rendelkezik. Ehhez vegyünk egy tetszőleges pontot a σ síkon M(x, y, z)és vegyük figyelembe a vektort.

Bármilyen pontra MО σ egy vektor, ezért skaláris szorzatuk egyenlő nullával. Ennek az egyenlőségnek a feltétele, hogy a lényeg MО σ. Ennek a síknak minden pontjára érvényes, és azonnal megsérül, amint a pont M kívül lesz a σ síkon.

Ha a pontokat a sugárvektorral jelöljük M, – a pont sugárvektora M0, akkor az egyenlet a formába írható

Ezt az egyenletet ún vektor sík egyenlet. Írjuk koordináta alakban. Azóta

Tehát megkaptuk az ezen a ponton áthaladó sík egyenletét. Így egy sík egyenletének létrehozásához ismerni kell a normálvektor koordinátáit és a síkon elhelyezkedő egyes pontok koordinátáit.

Ne feledje, hogy a sík egyenlete az aktuális koordinátákhoz képest 1. fokú egyenlet x, yÉs z.

Példák.

A SÍK ÁLTALÁNOS EGYENLETE

Megmutatható, hogy bármely elsőfokú egyenlet derékszögű koordinátákhoz képest x, y, z egy bizonyos sík egyenletét reprezentálja. Ezt az egyenletet a következőképpen írják:

Ax+By+Cz+D=0

és úgy hívják általános egyenlet sík, és a koordináták A, B, C itt vannak a sík normálvektorának koordinátái.

Tekintsük az általános egyenlet speciális eseteit. Nézzük meg, hogyan helyezkedik el a sík a koordinátarendszerhez képest, ha az egyenlet egy vagy több együtthatója nullává válik.

A a tengelyen lévő sík által levágott szakasz hossza Ökör. Hasonlóképpen kimutatható, hogy bÉs c– a vizsgált sík által levágott szakaszok hossza a tengelyeken OyÉs Oz.

Kényelmes a sík egyenletének használata szegmensekben síkok készítéséhez.