Vad är en konvex 12 gon. Vad är summan av vinklarna för en konvex polygon

En konvex fyrhörning är en figur som består av fyra sidor som är förbundna med varandra vid hörnen och bildar fyra vinklar tillsammans med sidorna, medan själva fyrkanten alltid är i samma plan relativt den räta linje som en av dess sidor ligger på. Med andra ord är hela figuren på ena sidan av någon av dess sidor.

I kontakt med

Som du kan se är definitionen ganska lätt att komma ihåg.

Grundläggande egenskaper och typer

Nästan alla figurer som vi känner till, bestående av fyra hörn och sidor, kan hänföras till konvexa fyrhörningar. Följande kan särskiljas:

parallellogram;
fyrkant;
rektangel;
trapetsoid;
romb.

Alla dessa figurer förenas inte bara av det faktum att de är fyrkantiga, utan också av det faktum att de också är konvexa. Titta bara på diagrammet:

Figuren visar en konvex trapets. Här kan du se att trapetsen är på samma plan eller på ena sidan av segmentet. Om du utför liknande åtgärder kan du ta reda på att trapetsen är konvex när det gäller alla andra sidor.

Är ett parallellogram en konvex fyrhörning?

Ovan är en bild av ett parallellogram. Som framgår av figuren, parallellogram är också konvext. Om man tittar på figuren med avseende på linjerna som segmenten AB, BC, CD och AD ligger på så blir det tydligt att det alltid är på samma plan från dessa linjer. Huvuddragen hos ett parallellogram är att dess sidor är parvis parallella och lika på samma sätt som motstående vinklar är lika med varandra.

Föreställ dig nu en kvadrat eller en rektangel. Enligt deras huvudegenskaper är de också parallellogram, det vill säga alla deras sidor är anordnade i par parallellt. Endast i fallet med en rektangel kan längden på sidorna vara olika, och vinklarna är räta (lika med 90 grader), en kvadrat är en rektangel där alla sidor är lika och vinklarna också är räta, medan längderna av sidorna och vinklarna på ett parallellogram kan vara olika.

Som ett resultat, summan av alla fyra hörnen av fyrhörningen måste vara lika med 360 grader. Det enklaste sättet att bestämma detta är med en rektangel: alla fyra hörn av rektangeln är rätta, det vill säga lika med 90 grader. Summan av dessa 90 graders vinklar ger 360 grader, med andra ord, lägger man till 90 grader 4 gånger får man önskat resultat.

Egenskapen för diagonalerna i en konvex fyrhörning

Diagonalerna på en konvex fyrhörning skär varandra. Faktum är att detta fenomen kan observeras visuellt, titta bara på figuren:

Bilden till vänster visar en icke-konvex fyrhörning eller fyrhörning. Som du önskar. Som du kan se skär diagonalerna inte varandra, åtminstone inte alla. Till höger är en konvex fyrhörning. Här observeras redan diagonalernas egenskap att skära varandra. Samma egenskap kan betraktas som ett tecken på konvexiteten hos fyrhörningen.

Andra egenskaper och tecken på konvexitet hos en fyrhörning

Specifikt, enligt denna term, är det mycket svårt att nämna några specifika egenskaper och funktioner. Det är lättare att isolera efter olika typer av fyrhörningar av denna typ. Du kan börja med ett parallellogram. Vi vet redan att detta är en fyrkantig figur, vars sidor är parvis parallella och lika. Samtidigt inkluderar detta också egenskapen hos ett parallellograms diagonaler att skära varandra, liksom tecknet på själva figurens konvexitet: parallellogrammet är alltid i samma plan och på ena sidan i förhållande till alla av dess sidor.

Så, huvuddragen och egenskaperna är kända:

summan av vinklarna för en fyrhörning är 360 grader;
figurernas diagonaler skär varandra vid en punkt.

Rektangel. Denna figur har alla samma egenskaper och egenskaper som ett parallellogram, men alla dess vinklar är lika med 90 grader. Därav namnet, rektangel.

Kvadratisk, samma parallellogram, men dess hörn är rätta, som en rektangel. På grund av detta kallas en kvadrat sällan en rektangel. Men det främsta utmärkande kännetecknet för en kvadrat, utöver de som redan listats ovan, är att alla fyra sidorna är lika.

Trapets är en mycket intressant figur.. Detta är också en fyrhörning och även konvex. I den här artikeln har trapetsen redan ansetts använda exemplet på en ritning. Det är tydligt att hon också är konvex. Huvudskillnaden, och följaktligen ett tecken på en trapets, är att dess sidor absolut inte kan vara lika med varandra i längd, såväl som dess vinklar i värde. I det här fallet förblir figuren alltid på samma plan med avseende på någon av de raka linjerna som förbinder två av dess hörn längs segmenten som bildar figuren.

Rhombus är en lika intressant figur. Dels kan en romb betraktas som en kvadrat. Ett tecken på en romb är det faktum att dess diagonaler inte bara korsar varandra, utan delar också hörnen på romben i hälften, och diagonalerna själva skär varandra i räta vinklar, det vill säga de är vinkelräta. Om längderna på sidorna av romben är lika, delas diagonalerna också på mitten i skärningspunkten.

Deltoider eller konvexa romboider (rombusar) kan ha olika sidolängder. Men samtidigt är både de huvudsakliga egenskaperna och egenskaperna hos själva romben och konvexitetens egenskaper och egenskaper fortfarande bevarade. Det vill säga vi kan observera att diagonalerna delar hörnen och skär varandra i räta vinklar.

Dagens uppgift var att överväga och förstå vad konvexa fyrhörningar är, vad de är och deras huvuddrag och egenskaper. Uppmärksamhet! Det är värt att återigen komma ihåg att summan av vinklarna för en konvex fyrhörning är 360 grader. Omkretsen av figurer är till exempel lika med summan av längderna av alla segment som bildar figuren. Formlerna för att beräkna omkretsen och arean av fyrhörningar kommer att diskuteras i följande artiklar.

Typer av konvexa fyrhörningar

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer till dig.
Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att genomföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

I händelse av att det är nödvändigt - i enlighet med lag, rättsordning, i rättsliga förfaranden och / eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ på Ryska federationens territorium - avslöja din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi bedömer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra ändamål av allmänt intresse.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

En geometrisk figur sammansatt av segment AB, BC, CD, .., EF, FA på ett sådant sätt att intilliggande segment inte ligger på en rät linje, och icke-angränsande segment inte har gemensamma punkter, kallas en polygon. Ändarna av dessa segment, punkterna A, B, C, D, ..., E, F kallas toppar polygon, och själva segmenten AB, BC, CD, .., EF, FA - partier polygon.

En polygon sägs vara konvex om den är på ena sidan av varje linje som går genom två av dess angränsande hörn. Bilden nedan visar en konvex polygon:

Och följande figur illustrerar en icke-konvex polygon:

Vinkeln för en konvex polygon vid en given vertex är vinkeln som bildas av sidorna av denna polygon som konvergerar vid en given vertex. Den yttre vinkeln för en konvex polygon vid någon vertex är vinkeln intill polygonens inre vinkel vid den givna vertexen.

Sats: Summan av vinklarna för en konvex n-gon är 180˚ *(n-2)

Bevis: betrakta en konvex n-gon. För att hitta summan av alla inre vinklar kopplar vi en av polygonens hörn till andra hörn.

Som ett resultat får vi (n-2) trianglar. Vi vet att summan av vinklarna i en triangel är 180 grader. Och eftersom deras antal i polygonen är (n-2), är summan av polygonens vinklar 180˚ *(n-2). Detta är vad som behövde bevisas.

En uppgift:

Hitta summan av vinklarna för en konvex a) femhörning b) hexagon c) dekagon.

Låt oss använda formeln för att beräkna summan av vinklarna för en konvex n-gon.

a) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

c) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Svar: a) 540˚. b) 720˚. c) 1440˚.

En platt figur som bildas av en sluten serie av raka linjesegment kallas en polygon. På fig. 1 avbildad hexagon ABCDEF. poäng MEN, PÅ, FRÅN, D, E, F - polygonhörn; för dem (polygonens hörn) betecknas ∠A, ∠B, ∠C, …, ∠F. Avsnitt: AC, AD, VARA etc. - diagonaler, AB; Sol, CD etc. - polygonsidor; summan av sidolängder AB + Sol + CD + … + FA kallad omkrets och betecknas R, och ibland 2p(sedan R - semi-perimeter).

Endast i elementär geometri enkel polygoner, dvs de vars kontur inte har självkorsningar.

Polygoner vars kontur har självskärningar kallas stjärnpolygoner. Figur 2 visar en stjärnpolygon ABCDE.

fig.2

Om alla diagonaler för en polygon ligger inuti den, kallas polygonen konvex.

Hexagonen i fig. 1 är konvex; femhörningen i fig. 3 är inte konvex (diagonalen EC ligger utanför polygonen).

fig.3

Summan av de inre vinklarna i en konvex polygon är 180° ( n-2), var n- antalet sidor av polygonen*.

* I geometriläroböcker uttrycks denna egenskap vanligtvis endast för konvexa polygoner. Men det är sant för alla enkla polygoner. Men det är sant för alla enkla polygoner. Det bör noteras att i en icke-konvex polygon överstiger en eller flera inre vinklar 180°. Så i en icke-konvex femhörning som visas i fig. 3 är två vinklar räta, två vinklar har 45° vardera och en innehåller 270°. Summan av vinklarna är 180° (5-2)=540°.

Begreppet en polygon

Definition 1

polygon kallas en geometrisk figur i ett plan, som består av parvis sammankopplade segment, vars angränsande inte ligger på en rät linje.

I det här fallet kallas segmenten polygonsidor, och deras ändar är polygonhörn.

Definition 2

En $n$-gon är en polygon med $n$ hörn.

Typer av polygoner

Definition 3

Om en polygon alltid ligger på ena sidan av en linje som går genom dess sidor, så kallas polygonen konvex(Figur 1).

Figur 1. Konvex polygon

Definition 4

Om polygonen ligger på motsatta sidor av åtminstone en rät linje som går genom dess sidor, kallas polygonen icke-konvex (fig. 2).

Figur 2. Icke-konvex polygon

Summan av vinklarna för en polygon

Vi introducerar satsen om summan av vinklarna för en -gon.

Sats 1

Summan av vinklarna för en konvex -gon definieras enligt följande

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bevis.

Låt oss ges en konvex polygon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Anslut dess vertex $A_1$ till alla andra hörn i den givna polygonen (fig. 3).

Figur 3

Med en sådan koppling får vi $n-2$ trianglar. Genom att summera deras vinklar får vi summan av vinklarna för den givna -gon. Eftersom summan av vinklarna i en triangel är $(180)^0,$ får vi att summan av vinklarna för en konvex -gon bestäms av formeln

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teoremet har bevisats.

Konceptet med en fyrhörning

Med hjälp av definitionen av $2$ är det lätt att introducera definitionen av en fyrhörning.

Definition 5

En fyrhörning är en polygon med $4$ hörn (Fig. 4).

Figur 4. Fyrkant

För en fyrhörning är begreppen en konvex fyrhörning och en icke-konvex fyrhörning definierade på liknande sätt. Klassiska exempel på konvexa fyrkanter är en kvadrat, en rektangel, en trapets, en romb, ett parallellogram (fig. 5).