1. Прави от втори ред на евклидовата равнина.

2. Инварианти на линейни уравнения от втори ред.

3. Определяне на вида на правата от втори ред от инвариантите на нейното уравнение.

4. Включени линии от втори ред афинна равнина. Теорема за уникалност.

5. Центрове на линии от втори ред.

6. Асимптоти и диаметри на линии от втори ред.

7. Намаляване на уравненията на линиите от втори ред до най-простите.

8. Основни посоки и диаметри на линии от втори ред.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Прави от втори ред в евклидовата равнина.

определение:

Евклидова равнинае пространство с размерност 2,

(двумерно реално пространство).

Прави от втори ред са пресечните линии на кръгъл конус с равнини, които не минават през неговия връх.

Тези редове често се срещат в различни въпроси на естествените науки. Например движение материална точкапод въздействието на централното поле на гравитацията се случва по една от тези линии.

Ако режещата равнина пресича всички праволинейни образуващи на една кухина на конуса, тогава сечението ще произведе линия, наречена елипса(фиг. 1.1, а). Ако режещата равнина пресича образуващите на двете кухини на конуса, тогава сечението ще произведе линия, наречена хипербола(фиг. 1.1,6). И накрая, ако режещата равнина е успоредна на една от образуващите на конуса (в 1.1, V- това е генераторът AB),тогава секцията ще произведе ред, наречен парабола.Ориз. 1.1 дава визуално представяне на формата на въпросните линии.

Фигура 1.1

Общото уравнение на линия от втори ред е както следва:

(1)

(1*)

Елипса е множеството от точки на равнината, за които сумата от разстоянията до двефиксирани точкиЕ 1 ИЕ 2 тази равнина, наречена фокуси, е постоянна стойност.

В този случай не е изключено съвпадението на фокусите на елипсата. очевидно ако фокусите съвпадат, тогава елипсата е кръг.

За да изведем каноничното уравнение на елипсата, избираме началото O Декартова системакоординати в средата на сегмента Е 1 Е 2 , и брадвите оИ OUНека го насочим, както е показано на фиг. 1.2 (ако трикове Е 1 И Е 2 съвпадат, тогава O съвпада с Е 1 И Е 2, а за ос оможете да вземете всяка ос, минаваща през ОТНОСНО).

Нека дължината на сегмента Е 1 Е 2 Е 1 И Е 2 съответно имат координати (-с, 0) и (с, 0). Нека означим с 2аконстантата, посочена в дефиницията на елипса. Очевидно е, че 2a > 2c, т.е. a > c (Ако М- точка на елипсата (виж фиг. 1.2), тогава | М.Ф. ] |+ | М.Ф. 2 | = 2 а, и тъй като сумата от двете страни М.Ф. 1 И М.Ф. 2 триъгълник М.Ф. 1 Е 2 повече трета страна Е 1 Е 2 = 2c, тогава 2a > 2c. Естествено е да изключим случая 2a = 2c, тъй като тогава точката Мразположен на сегмента Е 1 Е 2 и елипсата се изражда в отсечка. ).

Позволявам М (x, y)(фиг. 1.2). Нека означим с r 1 и r 2 разстоянията от точката Мдо точки Е 1 И Е 2 съответно. Според определението за елипса равенство

r 1 + r 2 = 2а(1.1)

е необходимо и достатъчно условие за местоположението на точка M (x, y) върху дадена елипса.

Използвайки формулата за разстоянието между две точки, получаваме

(1.2)

От (1.1) и (1.2) следва, че съотношение

(1.3)

е необходимо и достатъчно условиеместоположение на точка M с координати x и y върху дадена елипса.Следователно връзката (1.3) може да се разглежда като уравнение на елипса.Използвайки стандартния метод за „унищожаване на радикали“, това уравнение се свежда до формата

(1.4) (1.5)

Тъй като уравнение (1.4) е алгебрична последицауравнение на елипса (1.3), след това координатите x и yвсяка точка Мелипса също ще отговаря на уравнение (1.4). Тъй като по време на алгебричните трансформации, свързани с премахването на радикалите, могат да се появят „допълнителни корени“, трябва да се уверим, че всяка точка М,чиито координати отговарят на уравнение (1.4), се намира на тази елипса. За да направите това, очевидно е достатъчно да докажете, че стойностите на r 1 и r 2 за всяка точка отговаря на съотношението (1.1). Така че нека координатите хИ приточки Мудовлетворяват уравнение (1.4). Заместване на стойността на 2от (1.4) към дясната страна на израз (1.2) за r 1, след прости трансформации откриваме, че По същия начин намираме, че (1.6)

т.е. r 1 + r 2 = 2а,и следователно точка M се намира на елипса. Уравнение (1.4) се нарича канонично уравнениеелипса.Количества АИ bсе наричат съответно голяма и малка полуос на елипсата(наименованията „голям” и „малък” се обясняват с факта, че а>б).

Коментирайте. Ако полуосите на елипсата АИ bса равни, тогава елипсата е окръжност, чийто радиус е равен на Р = а = b, а центърът съвпада с началото.

Хипербола е набор от точки на равнината, за които абсолютната стойност на разликата в разстоянията до две фиксирани точки еЕ 1 ИЕ 2 на тази равнина, наречена фокуси, има постоянна стойност (Трикове Е 1 И Е 2 естествено е хиперболите да се разглеждат като различни, защото ако константата, посочена в дефиницията на хипербола, не е равна на нула, тогава няма нито една точка от равнината, ако те съвпадат Е 1 И Е 2 , което би удовлетворило изискванията за определението на хипербола. Ако тази константа е нула и Е 1 съвпада с Е 2 , тогава всяка точка от равнината отговаря на изискванията за определението на хипербола. ).

За да изведем каноничното уравнение на хипербола, избираме началото на координатите в средата на сегмента Е 1 Е 2 , и брадвите оИ OUНека го насочим, както е показано на фиг. 1.2. Нека дължината на сегмента Е 1 Е 2 равно на 2s. След това в избраната координатна система точките Е 1 И Е 2 съответно имат координати (-с, 0) и (с, 0) Нека означим с 2 Аконстантата, посочена в дефиницията на хипербола. Очевидно 2а< 2с, т. е. а< с.

Позволявам М- точка на равнината с координати (x, y)(фиг. 1,2). Нека означим с r 1 и r 2 разстоянията М.Ф. 1 И М.Ф. 2 . Според дефиницията на хипербола равенство

(1.7)

е необходимо и достатъчно условие за разположението на точка М върху дадена хипербола.

Използвайки изрази (1.2) за r 1 и r 2 и връзка (1.7), получаваме следното необходимо и достатъчно условие за местоположението на точка M с координати x и y върху дадена хипербола:

. (1.8)

Използвайки стандартния метод за „унищожаване на радикали“, ние редуцираме уравнение (1.8) до формата

(1.9) (1.10)

Трябва да се уверим, че уравнението (1.9), получено чрез алгебрични трансформации на уравнение (1.8), не е придобило нови корени. За да направите това, достатъчно е да докажете това за всяка точка М,координати хИ прикоито отговарят на уравнение (1.9), стойностите на r 1 и r 2 отговарят на връзката (1.7). Извършвайки аргументи, подобни на тези, които бяха направени при извличането на формули (1.6), намираме следните изрази за количествата, които ни интересуват r 1 и r 2:

(1.11)

Така за въпросната точка Мние имаме

, и затова се намира върху хипербола.

Уравнение (1.9) се нарича каноничното уравнение на хипербола.Количества АИ bсе наричат съответно реални и въображаеми полуосите на хиперболата.

Парабола е множеството точки на равнината, за които разстоянието до някаква фиксирана точка еЕтази равнина е равна на разстоянието до някаква фиксирана права линия, също разположена в разглежданата равнина.

Изтеглете от Depositfiles

Лекция № 9. Тема 3: Редове от втори ред

Нека линия, дефинирана от уравнение от втора степен, е дадена в някакъв DSC

къде са коефициентите
не са равни на нула едновременно. Тази линия се наричакрива или линия от втори ред.

Може да се случи така, че да няма точки
с реални координати, удовлетворяващи уравнение (1). В този случай се смята, че уравнение (1) дефинира въображаема линия от втори ред. Например,
 Това е уравнението на въображаем кръг.

Нека разгледаме три важни специални случая на уравнение (1).

3.1. Елипса

Елипса се определя от уравнението

(2)

Коефициенти АИ b се наричат съответно полу-голяма и полу-малка ос и уравнение (2) еканоничен уравнение на елипсата.

Да сложим
и маркирайте върху остаОТНОСНО хточки

Наречентрикове елипса. Тогава елипсата може да се определи като

геометрично място на точките, сборът от разстоянията от които до фокусите е постоянна стойност, равна на 2А.

при

М К

— АЕ 1 О Е 2 а х

— b

Нека го покажем. Нека точката
 текущата точка на елипсата. В този случай получаваме Тогава равенството трябва да е спазено

Нека представим израз (3) във формата

и повдигнете на квадрат двете страни на израза

От тук получаваме

Още веднъж, нека повдигнем този израз на квадрат и използваме връзката
, Тогава

(4)

Разделяне на двете страни на израз (4) на
, най-накрая получаваме каноничното уравнение на елипсата

Нека разгледаме уравнение (2). Ако заменим в уравнението, тогава уравнение (2) няма да се промени. Това означава, че елипсата е симетрична по отношение на координатни оси. Затова нека разгледаме подробно частта от елипсата, разположена в първата четвърт. Определя се от уравнението
Очевидно е, че елипсата минава през точките
. След като завършихме схематичното изграждане през първото тримесечие, ще покажем симетрично неговата графика във всички тримесечия. Така елипсата е непрекъсната затворена крива. Точките се наричатвърховете на елипсата.

Поведение
Нареченексцентричностелипса. За елипса
.

Директен
са нареченидиректриси на елипсата.

Следното свойство на директрисите е вярно::

Отношението на разстоянията от фокуса и директрисата за точките на елипсата е постоянна величина, равна на ексцентрицитета, т.е.

Доказва се по същия начин като равенството (3).

Бележка 1. кръг
е частен случай на елипса. За нея

3.2. Хипербола

Каноничното уравнение на хипербола има формата

тези. в уравнение (1) трябва да поставим

Коефициенти АИ b се наричат съответно реална и имагинерна полуоси.

Поставяне
, маркирайте на остаОТНОСНО хточки
Наречентрикове хипербола. Тогава една хипербола може да се дефинира като

място на точките, разликата в разстоянията от които до огнищата абсолютна стойносте равно на 2А, т.е.

при

ДА СЕ М

Е 1 —А ОТНОСНО АЕ 2 х

Доказателството е подобно на това за елипсата. Въз основа на формата на уравнението на хиперболата също заключаваме, че неговата графика е симетрична по отношение на осите на координатната система. Частта от хиперболата, лежаща в първата четвърт, има уравнението
От това уравнение е ясно, че за достатъчно големиххипербола е близка до права линия
. След схематично изграждане през първото тримесечие показваме симетрично графиката във всички тримесечия.

Точки
са нареченивърхове хипербола. Директен
са наречениасимптоти - това са правите линии, към които клонят клоновете на хиперболата, без да ги пресичат.

Отношението се наричаексцентричностхипербола. За хипербола
.

Директните линии се наричатдиректорки хипербола. За директрисите на хипербола е в сила свойство, подобно на това за директрисите на елипса.

Пример. Намерете уравнението на елипса, чиито върхове са във фокусите, а фокусите са във върховете на хиперболата
.

По условие
А

Накрая получаваме

10.3. Парабола

Параболата се определя от каноничното уравнение
тези. в уравнение (1) трябва да поставим

ДА СЕ коефициентРНаречен ДА СЕпри

фокусен параметър. М

Нека маркираме по оста О хточка

наречен фокус

- елипса;

- парабола;

- хипербола.

Криви от втори редна равнина са линии, определени от уравнения, в които променливата координати хИ гсе съдържат във втора степен. Те включват елипса, хипербола и парабола.

Общата форма на уравнението на кривата от втори ред е следната:

Където А Б В Г Д Е- числа и поне един от коефициентите А, Б, Вне е равно на нула.

При решаване на задачи с криви от втори ред най-често се разглеждат каноничните уравнения на елипсата, хиперболата и параболата. Лесно е да се премине към тях от общи уравнения; пример 1 на задачи с елипси ще бъде посветен на това.

Елипса, дадена от каноничното уравнение

Дефиниция на елипса.Елипса е набор от всички точки на равнината, за които сумата от разстоянията до точките, наречени фокуси, е постоянна стойност, по-голяма от разстоянието между фокусите.

Фокусите са посочени както на фигурата по-долу.

Каноничното уравнение на елипса има формата:

Където аИ b (а > b) - дължините на полуосите, т.е. половината от дължините на сегментите, отрязани от елипсата на координатните оси.

Правата, минаваща през фокусите на елипсата, е нейната ос на симетрия. Друга ос на симетрия на елипса е права линия, минаваща през средата на сегмент, перпендикулярен на този сегмент. Точка ОТНОСНОпресечната точка на тези линии служи като център на симетрия на елипсата или просто център на елипсата.

Абсцисната ос на елипсата се пресича в точките ( а, ОТНОСНО) И (- а, ОТНОСНО), а ординатната ос е в точки ( b, ОТНОСНО) И (- b, ОТНОСНО). Тези четири точки се наричат върхове на елипсата. Отсечката между върховете на елипсата по оста x се нарича нейна голяма ос, а по ординатната ос - нейна малка ос. Техните сегменти от върха до центъра на елипсата се наричат полуоси.

Ако а = b, тогава уравнението на елипсата приема формата . Това е уравнението на окръжност с радиус а, а кръгът е частен случай на елипса. Елипса може да се получи от кръг с радиус а, ако го компресирате в а/bпъти по оста ой .

Пример 1.Проверете дали дадения ред е общо уравнение , елипса.

Решение. Преобразуваме общото уравнение. Използваме прехвърлянето на свободния член в дясната страна, разделянето на член по член на уравнението със същото число и намаляването на дробите:

Отговор. Полученото в резултат на трансформациите уравнение е каноничното уравнение на елипсата. Следователно тази права е елипса.

Пример 2.Съставете каноничното уравнение на елипса, ако нейните полуоси са съответно 5 и 4.

Решение. Разглеждаме формулата за каноничното уравнение на елипса и заместваме: голямата полуос е а= 5, малката полуос е b= 4 . Получаваме каноничното уравнение на елипсата:

Точки и , обозначени в зелено върху голямата ос, където

са наречени трикове.

Наречен ексцентричностелипса.

Поведение b/ахарактеризира "сплескаността" на елипсата. Колкото по-малък е този коефициент, толкова повече елипсата е удължена по голямата ос. Но степента на удължаване на елипса по-често се изразява чрез ексцентричност, формулата за която е дадена по-горе. За различните елипси ексцентрицитетът варира от 0 до 1, като винаги остава по-малък от единица.

Пример 3.Съставете каноничното уравнение на елипсата, ако разстоянието между фокусите е 8 и голямата ос е 10.

Решение. Нека направим няколко прости извода:

Ако голямата ос е равна на 10, тогава нейната половина, т.е. полуос а = 5 ,

Ако разстоянието между огнищата е 8, тогава числото ° Сот фокалните координати е равно на 4.

Заместваме и изчисляваме:

Резултатът е каноничното уравнение на елипсата:

Пример 4.Съставете каноничното уравнение на елипса, ако нейната голяма ос е 26 и нейният ексцентрицитет е .

Решение. Както следва както от размера на голямата ос, така и от уравнението на ексцентрицитета, голямата полуос на елипсата а= 13. От уравнението на ексцентрицитета изразяваме числото ° С, необходими за изчисляване на дължината на малката полуос:

Изчисляваме квадрата на дължината на малката полуос:

Съставяме каноничното уравнение на елипсата:

Пример 5.Определете фокусите на елипсата, дадена от каноничното уравнение.

Решение. Намерете числото ° С, което определя първите координати на фокусите на елипсата:

Получаваме фокусите на елипсата:

Пример 6.Фокусите на елипсата са разположени на оста волсиметрично спрямо произхода. Съставете каноничното уравнение на елипсата, ако:

1) разстоянието между фокусите е 30, а голямата ос е 34

2) второстепенна ос 24 и един от фокусите е в точка (-5; 0)

3) ексцентричност, а един от фокусите е в точка (6; 0)

Нека продължим да решаваме задачи с елипса заедно

Ако е произволна точка от елипсата (обозначена в зелено в горната дясна част на елипсата на чертежа) и е разстоянието до тази точка от фокусите, то формулите за разстоянията са следните:

За всяка точка, принадлежаща на елипсата, сумата от разстоянията от фокусите е постоянна стойност, равна на 2 а.

Линии, определени от уравнения

са наречени директоркиелипса (на чертежа има червени линии по ръбовете).

От двете уравнения по-горе следва, че за всяка точка от елипсата

където и са разстоянията на тази точка до директрисите и .

Пример 7.Дадена е елипса. Напишете уравнение за неговите директриси.

Решение. Разглеждаме уравнението на директрисата и установяваме, че трябва да намерим ексцентрицитета на елипсата, т.е. Имаме всички данни за това. Изчисляваме:

Получаваме уравнението на директрисите на елипсата:

Пример 8.Съставете каноничното уравнение на елипса, ако нейните фокуси са точки, а директрисите са прави.

Линии от втори ред.
Елипса и нейното канонично уравнение. кръг

След задълбочено проучване прави линии в равнинатаПродължаваме да изучаваме геометрията на двуизмерния свят. Залозите са удвоени и ви каня да посетите живописна галерия от елипси, хиперболи, параболи, които са типични представители линии от втори ред. Екскурзията вече започна и първо кратка информация за цялата изложба на различните етажи на музея:

Концепцията за алгебрична права и нейния ред

Права на равнина се нарича алгебричен, ако в афинна координатна системауравнението му има формата , където е полином, състоящ се от членове на формата ( – реално число, – неотрицателни цели числа).

Както можете да видите, уравнението на алгебрична линия не съдържа синуси, косинуси, логаритми и друг функционален бомонд. Влизат само X и Y неотрицателни цели числастепени.

Ред на линияравен на максималната стойност на включените в него условия.

Съгласно съответната теорема концепцията за алгебрична линия, както и нейният ред, не зависят от избора афинна координатна система, следователно, за по-лесно съществуване, приемаме, че всички последващи изчисления се извършват в Декартови координати.

Общо уравнениевторият ред има формата , където – произволно реални числа (Прието е да се пише с коефициент две), а коефициентите не са равни на нула в същото време.

Ако , тогава уравнението се опростява до , и ако коефициентите не са равни на нула в същото време, тогава това е точно общо уравнение на "плоска" линия, което представлява първа линия за поръчка.

Мнозина разбраха значението на новите термини, но въпреки това, за да овладеем материала на 100%, ние пъхаме пръстите си в гнездото. За да определите реда на редовете, трябва да повторите всички условиянеговите уравнения и намерете за всяко от тях сбор от градусивходящи променливи.

Например:

терминът съдържа “x” на 1-ва степен;
членът съдържа "Y" на 1-ва степен;
В термина няма променливи, така че сумата от техните степени е нула.

Сега нека разберем защо уравнението определя правата второпоръчка:

членът съдържа “x” на 2-ра степен;
събираемото е сумата от степените на променливите: 1 + 1 = 2;
терминът съдържа "Y" на 2-ра степен;
всички други условия - по-малкостепени.

Максимална стойност: 2

Ако добавим допълнително, да речем, към нашето уравнение, тогава то вече ще определи линия от трети ред. Очевидно е, че общата форма на уравнението на линията от 3-ти ред съдържа „пълен набор“ от членове, сумата от степените на променливите, в които е равна на три:
, където коефициентите не са равни на нула едновременно.

В случай, че се добавят един или повече подходящи термини, които съдържат , тогава вече ще говорим за Линии от 4-ти реди т.н.

Ще трябва да срещнем алгебрични линии от 3-ти, 4-ти и по-високи порядъци повече от веднъж, по-специално, когато се запознаем с полярна координатна система.

Нека обаче се върнем към общото уравнение и си припомним най-простите му училищни варианти. Като пример се предлага парабола, чието уравнение може лесно да се сведе до общ вид, и хипербола с еквивалентното уравнение . Не всичко обаче е толкова гладко...

Съществен недостатък на общото уравнение е, че почти винаги не е ясно коя права определя. Дори в най-простия случай няма веднага да разберете, че това е хипербола. Такива оформления са добри само на маскарад, така че имайте предвид аналитична геометриясе разглежда типична задача привеждане на уравнението на линията от 2-ри ред до канонична форма.

Каква е каноничната форма на уравнение?

Това е общоприетата стандартна форма на уравнение, когато за секунди става ясно какъв геометричен обект определя. В допълнение, каноничната форма е много удобна за решаване на много практически проблеми. Така, например, според каноничното уравнение "плоска" права, първо, веднага става ясно, че това е права линия, и второ, точката, принадлежаща към нея, и векторът на посоката са лесно видими.

Очевидно, всякакви 1-ва линия за поръчкае права линия. На втория етаж вече не ни чака пазачът, а много по-разнообразна компания от девет статуи:

Класификация на линии от втори ред

Използвайки специален набор от действия, всяко уравнение на линия от втори ред се редуцира до една от следните форми:

(и са положителни реални числа)

1) – канонично уравнение на елипсата;

2) – канонично уравнение на хипербола;

3) – канонично уравнение на парабола;

4) – въображаемелипса;

5) – двойка пресичащи се прави;

6) – двойка въображаемпресичащи се линии (с една валидна пресечна точка в началото);

7) – двойка успоредни прави;

8) – двойка въображаемпаралелни линии;

9) – двойка съвпадащи линии.

Някои читатели може да имат впечатлението, че списъкът е непълен. Например в точка № 7 уравнението уточнява двойката директен, успоредна на оста, и възниква въпросът: къде е уравнението, определящо правите линии, успоредни осиординат? Отговор: то не се считат за канонични. Правите линии представляват същия стандартен случай, завъртян на 90 градуса, а допълнителният запис в класификацията е излишен, тъй като не носи нищо принципно ново.

Така че има девет и само девет различни видовелинии от 2-ри ред, но в практиката най-често се срещат елипса, хипербола и парабола.

Нека първо да разгледаме елипсата. Както обикновено, аз се фокусирам върху онези точки, които имат голямо значениеза решаване на задачи, а ако имате нужда от подробно извеждане на формули, доказателства на теореми, вижте например учебника на Базилев/Атанасян или Александров.

Елипса и нейното канонично уравнение

Правопис... моля, не повтаряйте грешките на някои потребители на Yandex, които се интересуват от „как да се изгради елипса“, „разликата между елипса и овал“ и „ексцентричността на елипса“.

Каноничното уравнение на елипса има формата , където са положителни реални числа и . По-късно ще формулирам самата дефиниция на елипса, но засега е време да си починем от приказките и да разрешим общ проблем:

Как да построим елипса?

Да, просто го вземете и просто го нарисувайте. Задачата се появява често и значителна част от учениците не се справят правилно с чертежа:

Пример 1

Конструирайте елипса, дадено от уравнението

Решение: първо нека намалим уравнението до канонична форма:

Защо да донесе? Едно от предимствата на каноничното уравнение е, че ви позволява незабавно да определите върховете на елипсата, които са разположени в точки. Лесно се вижда, че координатите на всяка от тези точки удовлетворяват уравнението.

В такъв случай :

Линеен сегментНаречен главна оселипса;
линеен сегмент – второстепенна ос;
номер Наречен полу-голям валелипса;
номер – второстепенна ос.
в нашия пример: .

За да си представите бързо как изглежда определена елипса, просто погледнете стойностите на „a“ и „be“ на нейното канонично уравнение.

Всичко е наред, гладко и красиво, но има едно предупреждение: направих рисунката с помощта на програмата. И можете да направите рисунката с помощта на всяко приложение. В суровата реалност обаче на масата има карирано листче, а мишките танцуват в кръг по ръцете ни. Хората с артистичен талант, разбира се, могат да спорят, но вие също имате мишки (макар и по-малки). Не напразно човечеството е изобретило линийка, компас, транспортир и други прости устройства за рисуване.

Поради тази причина е малко вероятно да успеем да начертаем точно елипса, познавайки само върховете. Всичко е наред, ако елипсата е малка, например с полуоси. Като алтернатива можете да намалите мащаба и съответно размерите на чертежа. Но в общ случайМного е желателно да намерите допълнителни точки.

Има два подхода за построяване на елипса - геометричен и алгебричен. Не харесвам конструирането с пергел и линийка, защото алгоритъмът не е най-краткият и чертежът е значително претрупан. В случай на спешност, моля, обърнете се към учебника, но в действителност е много по-рационално да използвате инструментите на алгебрата. От уравнението на елипсата в черновата бързо изразяваме:

След това уравнението се разделя на две функции:
– определя горната дъга на елипсата;
– определя долната дъга на елипсата.

Елипса, дефинирана от каноничното уравнение, е симетрична по отношение на координатните оси, както и по отношение на началото. И това е страхотно - симетрията почти винаги е предвестник на безплатните. Очевидно е достатъчно да се справим с 1-вата координатна четвърт, така че имаме нужда от функцията . Това повдига въпроса за намиране на допълнителни точки с абсцисите . Нека докоснем три SMS съобщения на калкулатора:

Разбира се, също така е хубаво, че ако се направи сериозна грешка в изчисленията, това веднага ще стане ясно по време на строителството.

Нека маркираме точки в чертежа (червено), симетрични точки на останалите дъги ( Син цвят) и внимателно свържете цялата компания с линия:

По-добре е да нарисувате първоначалната скица много тънко и едва след това да натиснете с молива. Резултатът трябва да е доста прилична елипса. Между другото, бихте ли искали да знаете каква е тази крива?

Дефиниция на елипса. Фокус на елипса и ексцентричност на елипса

Елипса е специален случай на овал. Думата „овал“ не трябва да се разбира във филистимския смисъл („детето нарисува овал“ и т.н.). Това математически термин, който е с подробна формулировка. Целта на този урок не е да разглежда теорията на овалите и различните им видове, на които практически не се обръща внимание в стандартния курс на аналитична геометрия. И в съответствие с по-настоящите нужди веднага преминаваме към стриктната дефиниция на елипса:

Елипсае множеството от всички точки на равнината, сумата от разстоянията до всяка от които от две дадени точки, т.нар. триковеелипса - е постоянна величина, числено равен на дължинатаглавната ос на тази елипса: .
В същото време разстоянията между фокусите са по-малки дадена стойност: .

Сега всичко ще стане по-ясно:

Представете си, че синята точка „пътува“ по елипса. Така че, независимо коя точка от елипсата вземем, сумата от дължините на сегментите винаги ще бъде една и съща:

Нека се уверим, че в нашия пример стойността на сумата наистина е равна на осем. Мислено поставете точката „хм“ в десния връх на елипсата, след това: , което трябва да се провери.

Друг начин за рисуване се основава на определението за елипса. Висша математика, понякога причина за напрежение и стрес, така че е време да проведем още една разтоварваща сесия. Моля, вземете ватман или голям лист картон и го закрепете на масата с два пирона. Това ще са трикове. Завържете зелен конец към стърчащите глави на ноктите и го издърпайте докрай с молив. Оловото на молива ще завърши в определена точка, която принадлежи на елипсата. Сега започнете да движите молива по листа хартия, като държите зеления конец здраво опънат. Продължете процеса, докато се върнете в началната точка... страхотно... рисунката може да бъде проверена от лекаря и учителя =)

Как да намерим фокусите на елипса?

В горния пример изобразих „готови“ фокусни точки и сега ще научим как да ги извличаме от дълбините на геометрията.

Ако една елипса е дадена от канонично уравнение, тогава нейните фокуси имат координати , къде е разстоянието от всеки фокус до центъра на симетрия на елипсата.

Изчисленията са по-прости от прости:

! Конкретните координати на огнища не могат да се идентифицират със значението на “це”!Повтарям, че това е РАЗСТОЯНИЕ от всеки фокус до центъра(който в общия случай не е задължително да се намира точно в началото).
И следователно разстоянието между фокусите също не може да бъде обвързано с каноничната позиция на елипсата. С други думи, елипсата може да бъде преместена на друго място и стойността ще остане непроменена, докато фокусите естествено ще променят своите координати. Моля, вземете това предвид, докато проучвате по-нататък темата.

Ексцентричност на елипсата и нейното геометрично значение

Ексцентричността на елипса е съотношение, което може да приема стойности в диапазона.

В нашия случай:

Нека да разберем как формата на елипсата зависи от нейния ексцентричност. За това фиксирайте левия и десния върхна разглежданата елипса, т.е. стойността на голямата полуос ще остане постоянна. Тогава формулата за ексцентричност ще приеме формата: .

Нека започнем да доближаваме стойността на ексцентричността до единица. Това е възможно само ако. Какво означава? ...помнете триковете . Това означава, че фокусите на елипсата ще се „раздалечат“ по абсцисната ос към страничните върхове. И тъй като „зелените сегменти не са гумени“, елипсата неизбежно ще започне да се изравнява, превръщайки се във все по-тънка и по-тънка наденица, нанизана на ос.

По този начин, колкото по-близо е стойността на ексцентричността на елипсата до единица, толкова по-удължена е елипсата.

Сега нека моделираме обратния процес: фокусите на елипсата вървяха един към друг, приближавайки се към центъра. Това означава, че стойността на “ce” става все по-малка и съответно ексцентричността клони към нула: .
В този случай „зелените сегменти“, напротив, ще „се претъпкат“ и ще започнат да „бутат“ линията на елипсата нагоре и надолу.

По този начин, Колкото по-близка е стойността на ексцентричността до нула, толкова по-подобна е елипсата... разгледайте ограничаващия случай, когато огнищата са успешно обединени отново в началото:

Кръгът е частен случай на елипса

Наистина, в случай на равенство на полуосите, каноничното уравнение на елипсата приема формата , което рефлексивно се трансформира в уравнението на окръжност с център в началото на радиус "а", добре познато от училище.

На практика по-често се използва обозначението с „говорещата“ буква „ер“: . Радиусът е дължината на сегмент, като всяка точка на окръжността е отдалечена от центъра на радиус.

Имайте предвид, че определението за елипса остава напълно правилно: фокусите съвпадат и сумата от дължините на съвпадащите сегменти за всяка точка от окръжността е константа. Тъй като разстоянието между фокусите е , тогава ексцентричността на всеки кръг е нула.

Конструирането на кръг е лесно и бързо, просто използвайте компас. Понякога обаче е необходимо да разберете координатите на някои от неговите точки, в този случай вървим по познатия начин - привеждаме уравнението до веселата форма на Матанов:

– функция на горния полукръг;
– функция на долния полукръг.

След което намираме необходими стойности, диференцират, интегрирами прави други добри неща.

Статията, разбира се, е само за справка, но как можете да живеете в света без любов? Творческа задача за самостоятелно решаване

Пример 2

Съставете каноничното уравнение на елипса, ако са известни един от нейните фокуси и малка полуос (центърът е в началото). Намерете върхове, допълнителни точки и начертайте линия в чертежа. Изчислете ексцентричността.

Решение и рисунка в края на урока

Нека добавим действие:

Завъртете и паралелно преместете елипса

Нека се върнем към каноничното уравнение на елипсата, а именно към условието, чиято мистерия измъчва любознателните умове от първото споменаване на тази крива. Така че разгледахме елипсата , но не е ли възможно на практика да се изпълни уравнението ? Все пак и тук май е елипса!

Този вид уравнение е рядко, но се среща. И всъщност дефинира елипса. Нека демистифицираме:

В резултат на конструкцията се получи нашата родна елипса, завъртяна на 90 градуса. Това е, - Това неканоничен записелипса . запис!- уравнението не определя никаква друга елипса, тъй като няма точки (фокуси) на оста, които да отговарят на определението за елипса.

Нека разгледаме линиите, определени от уравнението от втора степен спрямо текущите координати

Коефициентите на уравнението са реални числа, но поне един от числата A,Bили C е различно от 0. такива линии се наричат линии (криви) от втори ред. По-долу ще покажем, че уравнение (1) дефинира елипса, хипербола или парабола в равнина.

кръг

Най-простата крива от втори ред е кръг. Припомнете си, че окръжност с радиус R с център в точка M 0 се нарича множество от точки M на равнината, които отговарят на условието MM 0 =R. Нека точката M 0 в системата Oxy има координати x 0 ,y 0 и M(x,y) е произволна точка от окръжността. Тогава или

-канонично уравнение на окръжност . Ако приемем, че x 0 =y 0 =0, получаваме x 2 +y 2 =R 2

Нека покажем, че уравнението на окръжност може да се напише като общо уравнение от втора степен (1). За да направим това, поставяме на квадрат дясната страна на кръговото уравнение и получаваме:

За да съответства това уравнение на (1), е необходимо:

1) коефициент B=0,

2) . Тогава получаваме: (2)

Последното уравнение се нарича общо уравнение на окръжност . Разделяйки двете страни на уравнението на A ≠0 и добавяйки членовете, съдържащи x и y, към пълен квадрат, получаваме:

(2)

Сравнявайки това уравнение с каноничното уравнение на окръжност, откриваме, че уравнение (2) е наистина уравнение на окръжност, ако:

1)A=C, 2)B=0, 3)D 2 +E 2 -4AF>0.

Ако тези условия са изпълнени, центърът на окръжността се намира в точка О, а нейният радиус .

Елипса

F 2 (c,o)

F 1 (-c,o)

По дефиниция 2 >2c, т.е. , след това F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0).

Нека M(x,y) е произволна точка от елипсата, тогава според определението на елипсата MF 1 +MF 2 =2, което е

Това е уравнението на елипса. Може да се преобразува в повече прост изгледпо следния начин:

Квадратирайте го:

квадрат го

Тъй като 2 -c 2 >0, ние поставяме 2 -c 2 =b 2

Тогава последното уравнение ще приеме формата:

е уравнението на елипса в канонична форма.

Формата на елипсата зависи от съотношението: когато b= елипсата се превръща в кръг. Уравнението ще приеме формата. Съотношението често се използва като характеристика на елипса. Това количество се нарича ексцентричност на елипсата и 0< <1 так как 0

Изследване на формата на елипса.

1) уравнението на елипсата съдържа x и y само в четна степен, следователно елипсата е симетрична по отношение на осите Ox и Oy, както и по отношение на TO (0,0), което се нарича център на елипсата.

2) намерете точките на пресичане на елипсата с координатните оси. Задавайки y=0, намираме A 1 ( ,0) и A 2 (- ,0), в които елипсата пресича Ox. Поставяйки x=0, намираме B 1 (0,b) и B 2 (0,-b). Точките A 1 , A 2 , B 1 , B 2 се наричат върхове на елипсата. Отсечките A 1 A 2 и B 1 B 2, както и техните дължини 2 и 2b се наричат съответно голяма и малка ос на елипсата. Числата и b са съответно голямата и малката полуос.

A 1 ( ,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,b)

Следователно всички точки на елипсата лежат вътре в правоъгълника, образуван от линиите x=± ,y=±b. (фиг.2.)

4) В уравнението на елипсата сумата от неотрицателните членове е равна на единица. Следователно, когато един член се увеличава, другият ще намалява, т.е. ако |x| нараства, след това |y| - намалява и обратно. От всичко казано следва, че елипсата има формата, показана на фиг. 2. (овална затворена крива).