Лекция 2. Равнината като повърхнина от първи ред. Равнинни уравнения и тяхното изследване. Направо в космоса взаимно споразумениеправи в пространството, равнини и прави в пространството. Права на равнина, уравнения на права на равнина, разстоянието от точка до права на равнина. Криви от втори ред; извеждане на канонични уравнения, изследване на уравнения и конструиране на криви. Повърхнини от втори ред, изучаване на канонични уравнения на повърхнини. Метод на раздела. 1

Елементи аналитична геометрия§ 1. Равнина. Имаме OXYZ и някаква повърхност S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Определение 1: уравнение с три променливи се нарича уравнение на повърхността S в пространството, ако това уравнение е удовлетворено от координатите на всяка точка, разположена на повърхността и неудовлетворена от координатите, нито една точка, разположена върху нея. 2

Пример. Уравнение (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) дефинираме сфера с център в точка C(a, b, c) и радиус R. M M (x , y, z) – променлива точка M ϵ (S) |CM| = R C 3

Определение 2: Повърхност S се нарича повърхност от n-ти ред, ако при някои Декартова системакоординатите са дадени алгебрично уравнение n-та степен F(x, y, z) = 0 (1) В пример (S) е кръг, повърхност от втори ред. Ако S е повърхност от n-ти ред, тогава F(x, y, z) е полином от n-та степен по отношение на (x, y, z). Нека създадем уравнение за равнина, минаваща през точка M (x, y, z), с нормален вектор 4

Нека M(x, y, z) е произволна (текуща) точка от равнината. M M 0 O α или в координатна форма: (2) Уравнение (2) е уравнението на равнината, минаваща през точката M с даден нормален вектор. 5

D (*) (3) - пълно уравнениеравнина Непълно уравнение на равнина. Ако в уравнение (3) няколко коефициента (но не A, B, C едновременно) = 0, тогава уравнението се нарича непълно и равнината α има особености в местоположението си. Например, ако D = 0, тогава α минава през началото. 6

Разстоянието от точката M 1 до равнината α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 се прилага към точката M 0 K 7

- разстояние от точка M 1 до равнина α Уравнение на равнината „в сегменти“ Нека създадем уравнение на равнината, отрязваща ненулеви сегменти по координатните оси със стойности C (0, 0, c) a, b, ° С. Нека вземем B(0, b, 0) като стойност. Нека създадем уравнение за точка A с A(a, 0, 0) 8

-уравнение на равнината α "в сегменти" -уравнение на равнината, минаваща през точка А, перпендикулярна на нормалния вектор 9

§ 2. Общо уравнение на права линия. Правата линия в пространството може да бъде определена от пресичането на 2 равнини. (1) уравнение на права линия Система от тип (1) определя права линия в пространството, ако коефициентите A 1, B 1, C 1 са едновременно непропорционални на A 2, B 2, C 2. 10

Параметрични и канонични уравненияправа линия - произволна точка права линия точка M M 0 Параметрично уравнение t - параметър 11

Като елиминираме t получаваме: - канонично уравнение Система (3) определя движението материална точка, праволинейна и равномерна от началната позиция M 0(x 0, y 0, z 0) със скорост по посока на вектора. 12

Ъгълът между прави линии в пространството. Условия на паралелност и перпендикулярност. Нека има две прави L 1, L 2 в пространството, дадени от техните канонични уравнения: Тогава задачата за определяне на ъгъла между тези линии се свежда до определяне на ъгъла

техните насочващи вектори: Използвайки определението точков продукти израз в координати на посоченото скаларно произведение и дължините на векторите q 1 и q 2, получаваме да намерим: 15

Условието за успоредност на прави линии l 1 и l 2 съответства на колинеарността на q 1 и q 2, се крие в пропорционалността на координатите на тези вектори, т.е. има формата: Условието за перпендикулярност следва от определението на скаларното произведение и неговото равенство на нула (при cos = 0) и има формата: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Ъгълът между права и равнина: условия за успоредност и перпендикулярност на права и равнина Да разгледаме дадената равнина P общо уравнение: Ax + By + Cz + D = 0 и правата L, дадена от каноничното уравнение: 17

Тъй като ъгълът между правата линия L и равнината P е комплементарен на ъгъла между насочващия вектор на правата линия q = (l, m, n) и нормалния вектор на равнината n = (A, B, C), , тогава от дефиницията на скаларното произведение q n = q n cos и равенството cos = sin (= 90 -), получаваме: 18

Условието за успоредност на правата L и равнината П (включително факта, че L принадлежи на П) е еквивалентно на условието за перпендикулярност на векторите q и n и се изразява чрез = 0 скаларно произведение на тези вектори: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Условието за перпендикулярност на правата L и равнината P е еквивалентно на условието за успоредност на векторите n и q и се изразява чрез пропорционалността на координатите на тези вектори: 19

Условия за принадлежност на две прави в една и съща равнина Две прави в пространството L 1 и L 2 могат: 1) да се пресичат; 2) да са успоредни; 3) кръстосват се. В първите два случая правите L 1 и L 2 лежат в една равнина. Нека установим условието две прави линии, определени от канонични уравнения, да принадлежат на една и съща равнина: 20

Очевидно, за да принадлежат двете посочени прави на една и съща равнина, е необходимо и достатъчно три вектора = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) и q 2 = (l 2, m 2, n 2), са копланарни, за което от своя страна е необходимо и достатъчно смесеното произведение на тези три вектора = 0. 21

Записване смесени творбина посочените вектори в координати получаваме необходимите и достатъчно условиепринадлежност на две прави L 1 и L 2 към една равнина: 22

Условие правата да принадлежи на равнина. Нека има права линия и равнина Ax + Bi + Cz + D = 0. Тези условия имат формата: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 и Al + Bm + Cn = 0, първото от които означава, че точката M 1(x1, y1, z 1), през която минава правата, принадлежи на равнината, а второто е условието за успоредност на правата и равнината. 23

Криви от втори ред. § 1. Концепцията за уравнението на права върху равнина. Уравнението f (x, y) = 0 се нарича уравнение на права L в избраната координатна система, ако е изпълнено от координатите на която и да е точка, лежаща на правата, и не е удовлетворено от координатите на която и да е точка, която не лежи върху нея. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Права L се нарича права от n-ти ред, ако в някаква декартова координатна система е дадена от алгебрично уравнение от n-та степен по отношение на x и y. Познаваме единствената линия от 1-ви ред - права линия: Ax + By + D = 0 Ще разгледаме криви от 2-ри ред: елипса, хипербола, парабола. Общото уравнение на линиите от 2-ри ред е: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Елипса (E) Определение. Елипса е множеството от всички точки на равнината, сумата от разстоянията до две фиксирани точки на равнината F 1 и F 2, наречени фокуси, е постоянна стойност и голямо разстояние между фокусите. Нека означим константата като 2 a, разстоянието между фокусите като 2 c. Начертайте оста X през фокусите (a > c, a > 0, c > 0). Оста Y през средата на фокусното разстояние. Нека M е произволна точка от елипсата, t M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), където r 1, r 2 са фокалните 27 радиуса на E.

Нека запишем (1) в координатна форма: (2) Това е уравнението на елипса в избраната координатна система. Опростявайки (2) получаваме: b 2 = a 2 - c 2 (3) – каноничното уравнение на елипсата. Може да се покаже, че (2) и (3) са еквивалентни: 28

Изследване на формата на елипса с помощта на каноничното уравнение 1) Елипса е крива от 2-ри ред 2) Симетрия на елипсата. тъй като x и y са включени в (3) само в четни степени, елипсата има 2 оси и 1 център на симетрия, които в избраната координатна система съвпадат с избраните координатни оси и точка O. 29

3) Разположение на елипсата Тоест цялото Е е разположено вътре в правоъгълник, чиито страни са x = ± a и y = ± b. 4) Пресичане с оси. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: върховете на елипсата C OU: B 1(0; b); B 2(0; -b); Поради симетрията на елипсата, ще разгледаме нейното поведение (↓) само през първото тримесечие. тридесет

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Разрешавайки (3) по отношение на y получаваме: в първата четвърт x > 0 и елипсата намалява."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Хипербола (Г) Определение: Г е множеството от всички точки на равнината, модулът на разликата в разстоянията до 2 фиксирани точки на равнината F 1, F 2 е постоянна стойност и

Опростявайки (1): (2) е каноничното уравнение на G. (1) и (2) са еквивалентни. Изследване на хипербола с помощта на каноничното уравнение 1) Г е права от 2-ри ред 2) Г има две оси и един център на симетрия, които в нашия случай съвпадат с координатните оси и началото. 3) Местоположение на хиперболата. 34

Хиперболата се намира извън лентата между правите x = a, x = -a. 4) Точки на пресичане с оси. OX: OY: няма решения A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – реални върхове Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – имагинерни върхове Г 2 a – реална ос Г 2 b – имагинерна ос Г 35

5) Асимптоти на хипербола. Поради симетрията на Г, ние разглеждаме неговата част в първата четвърт. След като разрешим (2) по отношение на y, получаваме: уравнение Г в първата четвърт x ≥ 0 Разгледайте правата линия: тъй като в първата четвърт x>0, т.е. в първата четвърт със същата абциса, ординатата на правата > ординат съответната точка Г, т.е. в първата четвъртина Г лежи под тази права линия. Цялото G лежи вътре във вертикален ъгъл със страни 36

6) Може да се покаже, че в първата част G нараства 7) План за построяване на G a) построете правоъгълник 2 a, 2 b b) начертайте диагоналите му c) маркирайте A 1, A 2 - реалните върхове на G и 38 напишете тези клонове

Парабола (P) Разгледайте d (директриса) и F (фокус) върху равнината. Определение. П – множество от всички точки на равнината, равноотдалечени от права d и точка F (фокус) 39

d-директриса F-фокус XOY точка М П тогава, |MF| = |MN| (1) уравнение на P, избрано в координатната система Опростявайки (1) получаваме y 2 = 2 px (2) – канонично уравнение на P. (1) и (2) са еквивалентни 40.

Изследване на P с помощта на каноничното уравнение x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Цилиндрите. Цилиндрични повърхностис образуващи, успоредни на координатните оси, през точка x на правата L прекарваме права, успоредна на оста OZ. Повърхността, образувана от тези прави линии, се нарича цилиндрична повърхност или цилиндър (C). Всяка права линия успоредна на оста OZ се нарича генератор. l е водачът на цилиндричната повърхност на равнината XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Нека M(x, y, z) е произволна точка от цилиндрична повърхност. Нека го проектираме върху L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0, т.е. , координатите M удовлетворяват (1), очевидно е, че ако M C, тогава тя не е проектирана към точката M 0 ϵ L и следователно координатите на M няма да удовлетворяват уравнение (1), което определя C с паралелна образуваща към оста OZ в пространството. По същия начин може да се покаже, че: Ф(x, z) = 0 в пространството Г || OY 43 (y, z) = 0 определя в пространството C || ОХ

Проекция на пространствена линия върху координатна равнина Правата в пространството може да бъде определена параметрично и чрез пресичане на повърхности. Една и съща линия може да се дефинира като ∩ на различни повърхности. Нека пространствената линия L е дадена ∩ на две повърхности α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 уравнение L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Нека намерим проекцията на L върху равнината XOY от уравнение (1) и изключим Z. Получаваме уравнението: Z(x, y) = 0 – в пространството това е уравнението Ε с генератор || OZ и ръководство L. 46

Проекция: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Повърхнини от втори ред Елипсоид - каноничното уравнение на повърхнина има вида: 1) Елипсоид - повърхнина от втори ред. 2) X, Y, Z влизат в уравнението само в четни степени => повърхността има 3 равнини и 1 център на симетрия, които в избраната координатна система съвпадат с координатните равнини и началото. 47

3) Местоположение на елипсоида Повърхността е затворена между || равнини с уравнения x = a, x = -a. По същия начин, т.е. цялата повърхност се съдържа вътре в правоъгълен паралелепипед. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Ще изследваме повърхнината по метода на сеченията - пресичане на повърхнината с координатни равнини || координирам. В участъка ще получим линии, по формата на които ще преценим формата на повърхността. 48

Нека пресечем повърхността с равнината XOY. В секцията получаваме линия. - елипса a и b – полуоси Подобно на равнината YOZ - елипса с полуоси b и c Равнинна || XOY Ако h(0, c), тогава осите на елипса намаляват от a и b до 0. 49

a = b = c - сфера Параболоиди a) Хиперболичен параболоид - повърхност с канонично уравнение: 1) Повърхност от втори ред 2) Тъй като x, y влизат в уравнението само в четни степени, повърхността има равнини на симетрия, които съвпадат за даден избор на координати с 50 равнини XOZ, YOZ.

3) изследваме повърхността, използвайки метода на седловината. XOZ В напречно сечение параболата е симетрична на оста OZ, възходяща. мн. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" площ ||XOY за h > 0 хиперболи, с реална полуос по протежение на OX, за h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

б) Двулистов хиперболоид 1) повърхност от втори ред 2) има 3 равнини и 1 център на симетрия 3) местоположение на повърхността x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a; (a, b, c > 0) Повърхнината се състои от две части, разположени извън лентата между равнините с уравненията x = a, x = -a 4) изучаваме метода на сеченията (Сами!) 57

Конус от втори ред Конус от втори ред е повърхност, чието канонично уравнение има формата: 1) повърхност от втори ред 2) има 3 равнини и 1 център на симетрия 3) изучаваме метода на квадратните сечения. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" квадрат ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ квадрат YOZ двойка прави линии, минавам покрай"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

В следващите параграфи се установява, че повърхностите от първи ред са равнини и само равнини и се разглеждат различни форми на записване на уравненията на равнините.

198. Теорема 24. В декартовите координати всяка равнина се определя от уравнение от първа степен.

Доказателство. Ако приемем, че е дадена декартова правоъгълна координатна система, разглеждаме произволна равнина a и доказваме, че тази равнина се определя от уравнение от първа степен. Нека вземем някаква точка M на равнината a 0 (d: 0; y 0; z0); нека в допълнение да изберем всеки вектор (само не равен на нула!), перпендикулярна на равнина a. Означаваме избрания вектор с буквата p, неговите проекции върху координатните оси- букви A, B, C.

Нека M(x; y; z) е произволна точка. Той лежи на равнината тогава и само ако векторът MqM е перпендикулярна на вектора n. С други думи, точката Ж, лежаща в равнината a, се характеризира с условието:

Получаваме уравнението на равнината a, ако изразим това условие чрез координатите x, y, z. За тази цел записваме координатите на векторите M 0M и th:

M 0M=(x-x 0; y-y 0; z-z0), P=(A; B; C).

Съгласно параграф 165 знак за перпендикулярност на два вектора е равенството на нула на скаларния им продукт, т.е. сумата от продуктите по двойки на съответните координати на тези вектори. Така че М 0M J_ p тогава и само ако

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0.(1)

Това е желаното уравнение на равнината a, тъй като то е удовлетворено от координатите l, y, z точка M тогава и само ако M лежи в равнината a (т.е. когато J_«).

Отваряйки скобите, представяме уравнението(1) като

Ax + By + Cz + (- A x 0 - By 0-Cz0) = 0.

Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)

Виждаме, че равнината a наистина се определя от уравнение от първа степен. Теоремата е доказана.

199. Всеки (ненулев) вектор, перпендикулярен на определена равнина, се нарича нормален към нея вектор. Използвайки това име, можем да кажем, че уравнението

A(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0

е уравнението на равнината, минаваща през точка М 0 (x 0; y 0; z0) и с нормален вектор n- (A; B ; СЪС). Уравнение на формата

Ax + Bu-\- Cz + D = 0

наречено общо уравнение на равнината.

200. Теорема 25. В декартовите координати всяко уравнение от първа степен определя равнина.

Доказателство. Ако приемем, че е дадена декартова правоъгълна координатна система, разгледайте произволно уравнение от първа степен

Ax-\-By+Cz-\rD = 0. (2)

Когато казваме „произволно“ уравнение, имаме предвид, че коефициентите A, B, C,д могат да бъдат всякакви числа, но, разбира се, без

случай на едновременно равенство на нула на трите коефициента A, B, C. Трябва да докажем, че уравнението(2) е уравнението на някаква равнина.

Нека lg 0, y 0, r 0- някакво решение на уравнението(2), т.е. тройка числа, която удовлетворява това уравнение*). Заместване на числата в 0, z0 вместо текущите координати в лявата страна на уравнението(2), получаваме аритметичното тъждество

Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)

Извадете от уравнението(2) идентичност (3). Получаваме уравнението

A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)

което според предишното е уравнението на равнината, минаваща през точка М 0 (jc0; y 0; z0) и има нормален вектор n - (A; B; C). Но уравнението(2) е еквивалентно на уравнението(1), тъй като уравнението(1) получено от уравнението(2) чрез почленно изваждане на тъждеството(3) и уравнение (2) на свой ред се получава от уравнението(1) чрез добавяне на идентичността термин по термин(3). Следователно уравнението(2) е уравнение на същата равнина.

Доказахме, че произволно уравнение от първа степен определя равнина; Така теоремата е доказана.

201. Повърхности, които са Декартови координатисе определят от уравнения от първа степен, те се наричат, както знаем, повърхности от първи ред. Използвайки тази терминология, можем да изразим установените резултати, както следва:

Всяка равнина е повърхност от първи ред; всяка повърхност от първи ред е равнина.

Пример. Напишете уравнение за равнината, която минава през точката Afe(l; 1; 1) перпендикулярен на вектора i*=( 2; 2; 3}.

Решение съгласно параграф 199 изискваното уравнение е

2(*- 1)+2 (y -1)+3(y -1)=0,

или

2x+2y+3g- 7 = 0.

*) Уравнение (2), като всяко уравнение от първа степен с три неизвестни, то има безкрайно много решения. За да намерите някой от тях, трябва да присвоите числени стойности на две неизвестни и след това да намерите третото неизвестно в уравнението.

202. За да завършим този раздел, доказваме следното предложение: ако две уравнения Axx-j- B^y -]- Cxz Dt = 0 и A 2x + B^y -f- C2z -]- £)2 = 0 определят една и съща равнина, тогава техните коефициенти са пропорционални.

Наистина, в този случай векторите nx = (A 1; Bx\ и p 2 - (/42; B 2 ; Cr) са перпендикулярни на една и съща равнина, следователно, колинеарни един на друг. Но след това, съгласно ал 154 номера Аъ В 2, С 2 пропорционално на числата A1g B1gCx; означавайки коефициента на пропорционалност с p, имаме: A 2-A 1ts, B2 = Bx\i, C 2 =.Cj\i. Нека M 0 (x 0; y 0 ; ^-която и да е точка от равнината; неговите координати трябва да удовлетворяват всяко от дадените уравнения, така че Axx 0 + Vxu 0

Cxz0 = 0 и A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. Нека умножим първото от тези равенства по p. и извадете от второто; получаваме D2-Djp = 0. Следователно D%-Dx\i и

B^ Cr_ D2

Ah B, Cx-B1 ^

Така твърдението ни е доказано.

1.7.1. Самолет.

Разгледайте в декартова основа произволна равнина P и нормален вектор (перпендикулярен) към нея `n (A, B, C). Нека вземем произволна фиксирана точка M0(x0, y0, z0) и текуща точка M(x, y, z) в тази равнина.

Очевидно е, че ?`n = 0 (1.53)

(виж (1.20) за j = p /2). Това е уравнението на равнина във векторна форма. Преминавайки към координатите, получаваме общото уравнение на равнината

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Може да се покаже, че в декартови координати всяка равнина се определя от уравнение от първа степен и, обратно, всяко уравнение от първа степен определя равнина (т.е. равнината е повърхност от първи ред и повърхност от първият ред е самолет).

Нека разгледаме някои специални случаи на местоположението на равнината, зададена от общото уравнение:

A = 0 – успоредна на оста Ox; B = 0 – успоредна на оста Oy; C = 0 – успоредна на оста Oz. (Такива равнини, перпендикулярни на една от координатните равнини, се наричат ​​проектиращи равнини); D = 0 – преминава през началото; A = B = 0 – перпендикулярна на оста Oz (успоредна на равнината xOy); A = B = D = 0 – съвпада с равнината xOy (z = 0). Всички други случаи се анализират по подобен начин.

Ако D? 0, тогава като разделим двете страни на (1.54) на -D, можем да доведем уравнението на равнината до формата: (1.55),

a = – D /A, b = –D/B, c = –D /C. Съотношението (1.55) се нарича уравнение на равнината в сегменти; a, b, c – абциса, ордината и апликация на пресечните точки на равнината с осите Ox, Oy, Oz и |a|, |b|, |c| – дължините на отсечките, отсечени от равнината по съответните оси от началото на координатите.

Умножаване на двете страни (1,54) с нормализиращ фактор (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

където cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm са насочващите косинуси на нормалата към равнината, p е разстоянието до равнината от началото.

Нека разгледаме основните зависимости, използвани при изчисленията. Ъгълът между равнините A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0 може лесно да се определи като ъгъл между нормалите на тези равнини `n1 (A1, B1, C1) и

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

От (1.57) е лесно да се получи условието за перпендикулярност

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

и паралелизъм (1.59) равнини и техните нормали.

Разстояние от произволна точка M0(x0, y0, z0) до равнината (1.54)

се определя от израза: (1.60)

Уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) е най-удобно написано с помощта на условието за копланарност (1.25) на векторите където M(x, y , z) – текущата точка на равнината.

(1.61)

Нека представим уравнението на сноп от равнини (т.е.

Набори от равнини, преминаващи през една права линия) - удобно е да се използва в редица проблеми.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Където l О R, а в скоби са уравненията на произволни две равнини на гредата.

Контролни въпроси.

1) Как да проверим дали дадена точка лежи на повърхността, определена от това уравнение?

2) Каква е характерната особеност, която отличава уравнението на равнина в декартовата координатна система от уравнението на други повърхности?

3) Как се намира равнината спрямо координатната система, ако нейното уравнение не съдържа: а) свободен член; б) една от координатите; в) две координати; г) една от координатите и свободен срок; г) две координати и свободен термин?

1) Дадени са точки M1(0,-1,3) и M2(1,3,5). Напишете уравнението на равнина, минаваща през точка M1 и перпендикулярна на вектора Изберете верния отговор:

а) ; б) .

2) Намерете ъгъла между равнините и . Изберете верния отговор:

а) 135o, б) 45o

1.7.2. Направо. Равнини, чиито нормали не са колинеарни или се пресичат, като недвусмислено определят правата линия като линия на тяхното пресичане, което се записва, както следва:

Безкраен брой равнини могат да бъдат начертани през тази линия (пакетът от равнини (1.62)), включително тези, които я проектират върху координатни равнини. За да се получат техните уравнения, е достатъчно да се преобразува (1.63), като се елиминира едно неизвестно от всяко уравнение и се редуцират, например, до формата (1.63`).

Нека поставим задачата - да начертаем през точката M0(x0,y0,z0) права линия, успоредна на вектора `S (l, m, n) (нарича се насочваща линия). Нека вземем произволна точка M(x,y,z) на желаната права. Вектори и трябва да бъде колинеарен, от което получаваме каноничните уравнения на правата.

(1,64) или (1.64`)

където cosa, cosb, cosg са насочващите косинуси на вектора `S. От (1.64) е лесно да се получи уравнението на права линия, минаваща през дадени точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) (тя е успоредна )

Или (1,64``)

(Стойностите на дробите в (1.64) са равни за всяка точка от правата и могат да бъдат означени с t, където t R. Това ви позволява да влезете параметрични уравненияправ

Всяка стойност на параметъра t съответства на набор от координати x, y, z на точка на линия или (в противен случай) - стойности на неизвестни, отговарящи на уравненията на линия).

Използвайки вече известните свойства на векторите и операциите върху тях и каноничните уравнения на правата линия, е лесно да се получат следните формули:

Ъгъл между прави линии: (1.65)

Условие за паралелност (1.66).

перпендикулярност l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) прави линии.

Ъгълът между правата линия и равнината (получава се лесно чрез намиране на ъгъла между правата линия и нормалата към равнината, което дава желаното p/2)

(1.68)

От (1.66) получаваме условието за паралелност Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

и перпендикулярност (1.70) на права и равнина. Необходимото и достатъчно условие две прави да бъдат в една равнина може лесно да се получи от условието за копланарност (1.25).

(1.71)

Контролни въпроси.

1) Какви са начините за определяне на права линия в пространството?

1) Напишете уравненията на права линия, минаваща през точка A(4,3,0) и успоредна на вектора Посочете верния отговор:

а) ; б) .

2) Напишете уравненията на права линия, минаваща през точки A(2,-1,3) и B(2,3,3). Посочете верния отговор.

а) ; б) .

3) Намерете пресечната точка на правата с равнината: , . Посочете верния отговор:

а) (6,4,5); б) (6,-4,5).

1.7.3. Повърхнини от втори ред. Ако линейно уравнениев триизмерна декартова основа уникално дефинира равнина, произволна нелинейно уравнение, съдържаща x, y, z описва друга повърхност. Ако уравнението е от вида

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, тогава описва повърхност от втори ред (общо уравнение на повърхност от втори ред). Чрез избиране или трансформиране на декартови координати уравнението може да бъде опростено възможно най-много, което води до една от следните форми, описващи съответната повърхност.

1. Канонични уравнения на цилиндри от втори ред, чиито генератори са успоредни на оста Oz и съответните криви от втори ред, лежащи в равнината xOy, служат като водачи:

(1.72), (1.73), y2 = 2px (1.74)

съответно елиптични, хиперболични и параболични цилиндри.

(Припомнете си, че цилиндричната повърхност е повърхност, получена чрез преместване на права линия, наречена генератриса, успоредна на себе си. Линията на пресичане на тази повърхност с равнина, перпендикулярна на генератриса, се нарича водач - тя определя формата на повърхността).

По аналогия можем да напишем уравненията на същите цилиндрични повърхнини с образуващи, успоредни на оста Oy и оста Ox. Водачът може да се определи като пресечна линия на повърхността на цилиндъра и съответната координатна равнина, т.е. система от уравнения от вида:

2. Уравнения на конус от втори ред с връх в началото:

(1.75)

(осите на конуса са съответно осите Oz, Oy и Ox)

3. Канонично уравнение на елипсоида: (1.76);

Специални случаи са например елипсоидите на революцията – повърхност, получена чрез завъртане на елипса около оста Oz (At

a > c елипсоидът е компресиран, с a x2 + y2+ z2 + = r2 – уравнението на сфера с радиус r с център в началото).

4. Канонично уравнение на еднолистов хиперболоид

(знакът „–“ може да се появи пред който и да е от трите члена от лявата страна - това променя само позицията на повърхността в пространството). Специални случаи са например еднолистовите хиперболоиди на революцията – повърхност, получена чрез завъртане на хипербола около оста Oz (въображаемата ос на хиперболата).

5. Канонично уравнение на двулистов хиперболоид

(знакът „–“ може да се появи пред всеки от трите термина от лявата страна).

Специални случаи са двуслойни хиперболоиди на въртене, например повърхност, получена чрез въртене на хипербола около оста Oz (реалната ос на хиперболата).

6. Канонично уравнение на елиптичен параболоид

(p >0, q >0) (1,79)

7. Канонично уравнение на хиперболичен параболоид

(p >0, q >0) (1,80)

(променливата z може да смени местата си с която и да е от променливите x и y - позицията на повърхността в пространството ще се промени).

Обърнете внимание, че представа за характеристиките (формата) на тези повърхности може лесно да се получи чрез разглеждане на секции от тези повърхности чрез равнини, перпендикулярни на координатните оси.

Контролни въпроси.

1) Какъв набор от точки в пространството определя уравнението?

2) Какви са каноничните уравнения на цилиндрите от втори ред; конус от втори ред; елипсоид; еднолистов хиперболоид; двулистов хиперболоид; елипсовиден параболоид; хиперболичен параболоид?

1) Намерете центъра и радиуса на сферата и посочете верния отговор:

а) С(1,5;-2,5;2), ; b) C(1,5;2,5;2), ;

2) Определете вида на повърхността, дадени от уравненията: . Посочете верния отговор:

а) еднолистов хиперболоид; хиперболичен параболоид; елипсовиден параболоид; конус.

б) двулистов хиперболоид; хиперболичен параболоид; елипсовиден параболоид; конус.

§7. Равнина като повърхност от първи ред. Общо уравнение на равнината. Уравнение на преминаваща равнина тази точка перпендикулярен на даден вектор Нека въведем правоъгълна декартова координатна система Oxyz в пространството и разгледаме уравнение от първа степен (или линейно уравнение) за x, y, z: (7.1) Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Теорема 7.1. Всяка равнина може да бъде определена в произволна правоъгълна декартова координатна система чрез уравнение от вида (7.1). По абсолютно същия начин, както в случая с права в равнина, обратното на теорема 7.1 е валидно. Теорема 7.2. Всяко уравнение от вида (7.1) определя равнина в пространството. Доказателството на теореми 7.1 и 7.2 може да се проведе подобно на доказателството на теореми 2.1, 2.2. От теореми 7.1 и 7.2 следва, че равнината и само тя е повърхност от първи ред. Уравнение (7.1) се нарича общо уравнение на равнината. Неговите  коефициенти A, B, C се интерпретират геометрично като координатите на вектора n, перпендикулярен на равнината, дефинирана от това уравнение. Този вектор  n(A, B, C) се нарича нормален вектор към дадената равнина. Уравнение (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 за всички възможни стойности на коефициентите A, B, C определя всички равнини, минаващи през точката M 0 ( x0, y0, z0). Нарича се уравнение на куп равнини. Изборът на конкретни стойности на A, B, C в (7.2) означава изборът на равнината P от връзката, минаваща през точката M 0, перпендикулярна на дадения вектор n (A, B, C) (фиг. 7.1 ). Пример 7.1. Напишете уравнението на равнината P, минаваща през точката   A(1, 2, 0) успоредна на векторите a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Нормалният вектор n към P е ортогонален на дадените вектори a и b (фиг. 7.2),   следователно за n можем да вземем тяхното векторно произведение n: A    P i j k    2 1  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j  4k . Нека заместим координатите на фиг. 7.2. Например, 7.1 P M0  точка M 0 и вектор n в уравнение (7.2), получаваме Фиг. 7.1. Към уравнението на равнината на сноп от равнини P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 или P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 Ако два от коефициентите A, B, C на уравнението (7.1) са равни на нула, то определя равнина, успоредна на една от координатните равнини. Например, когато A  B  0, C  0 – равнина P1: Cz  D  0 или P1: z   D / C (фиг. 7.3). Тя е успоредна на равнината Oxy, тъй като нейният нормален вектор  n1(0, 0, C) е перпендикулярен на тази равнина. За A  C  0, B  0 или B  C  0, A  0, уравнение (7.1) определя равнините P2: Чрез  D  0 и P3: Ax  D  0, успоредни на координатните равнини Oxz и Oyz, така че като   техните нормални вектори n2(0, B, 0) и n3(A, 0, 0) са перпендикулярни на тях (фиг. 7.3). Ако само един от коефициентите A, B, C на уравнение (7.1) е равен на нула, тогава той определя равнина, успоредна на една от координатни оси(или съдържащо го, ако D  0). Така равнината P: Ax  By  D  0 е успоредна на оста Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Фиг. 7.4. Равнина P: Ax  B y  D  0, успоредна на оста Oz Фиг. 7.3. Равнините са успоредни на координатните равнини , тъй като неговият нормален вектор n(A, B, 0) е перпендикулярен на оста Oz. Обърнете внимание, че тя минава през правата L: Ax  By  D  0, лежаща в равнината Oxy (фиг. 7.4). За D  0, уравнение (7.1) определя равнина, минаваща през началото. Пример 7.2. Намерете стойностите на параметъра , за които уравнението x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 определя равнината P: а) успоредна на една на координатните равнини; б) успоредна на една от координатните оси; в) преминаване през началото на координатите. Нека запишем това уравнение във формата x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) За всяка стойност  уравнение (7.3) определя определена равнина, тъй като коефициентите на x, y, z в (7.3) не се равняват едновременно на нула. а) За   0, уравнение (7.3) дефинира равнина P, успоредна на равнината Oxy, P: z  3 / 2, а за   2 то дефинира равнина P 2, успоредна на равнината Oyz, P: x  5/ 2. За никакви стойности на  равнината P, определена от уравнение (7.3), не е успоредна на равнината Oxz, тъй като коефициентите на x, z в (7.3) не се равняват едновременно на нула. b) За   1, уравнение (7.3) определя равнина P, успоредна на оста Oz, P: x  3y  2  0. За други стойности на параметъра  той не определя равнина, успоредна само на една от координатните оси. c) За   3, уравнение (7.3) определя равнината P, минаваща през началото, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Пример 7.3. Напишете уравнението на равнината P, минаваща през: а) точка M (1,  3, 2) успоредна на равнинната ос Oxy; б) оста Ox и точка М (2, – 1, 3).   а) За нормален вектор n към P тук можем да вземем вектора k (0, 0,1) – единичният вектор на оста Oz, тъй като е перпендикулярен на равнината Oxy. Замествайки координатите на точката  M (1,  3, 2) и вектора n в уравнение (7.2), получаваме уравнението на равнината P: z 3  0.   b) Нормалният вектор n към P е ортогонален на векторите i (1, 0, 0) и OM (2,  1, 3) ,  следователно можем да приемем тяхното векторно произведение като n:    i j k       n  i  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Замествайки координатите на точката O и вектора n в уравнение (7.2), получаваме уравнението на равнината P:  3(y  0)  (z  0)  0 или P: 3 y  z  0 .◄ 3

Подобни статии