Az óra céljai:

• tanítsa meg a diákokat magasabb fokú egyenletek megoldására a Horner-séma segítségével;
• fejleszteni a páros munkavégzés képességét;
• a kurzus fő részeivel együtt alapot teremt a tanulók képességeinek fejlesztéséhez;
• segítse a tanulót abban, hogy felmérje lehetőségeit, fejleszthesse a matematika iránti érdeklődését, gondolkodási képességét, és megszólaljon a témában.

Felszerelés: kártyák csoportmunkához, poszter Horner diagramjával.

Oktatási módszer: előadás, mese, magyarázat, gyakorló gyakorlatok elvégzése.

Az ellenőrzés formája:önálló megoldási feladatok ellenőrzése, önálló munkavégzés.

Az órák alatt

1. Szervezési mozzanat

2. A tanulók tudásának frissítése

Melyik tétel teszi lehetővé annak meghatározását, hogy egy szám gyök-e? adott egyenlet(tételt megfogalmazni)?

Bezout tétele. A P(x) polinom binomimmal való osztásának maradéka x-c egyenlő P(c), a c számot a P(x) polinom gyökének nevezzük, ha P(c)=0. A tétel lehetővé teszi, hogy az osztási művelet végrehajtása nélkül meghatározzuk, hogy egy adott szám egy polinom gyöke-e.

Milyen állítások teszik könnyebbé a gyökerek megtalálását?

a) Ha egy polinom vezető együtthatója eggyel egyenlő, akkor a polinom gyökét a szabad tag osztói között kell keresni.

b) Ha egy polinom együtthatóinak összege 0, akkor az egyik gyöke 1.

c) Ha a páros helyeken lévő együtthatók összege egyenlő a páratlan helyeken lévő együtthatók összegével, akkor az egyik gyök egyenlő -1-gyel.

d) Ha minden együttható pozitív, akkor a polinom gyökei negatív számok.

e) A páratlan fokú polinomnak legalább egy valós gyöke van.

3. Új anyag elsajátítása

A teljes algebrai egyenletek megoldásánál meg kell találni a polinomok gyökeinek értékét. Ez a művelet jelentősen leegyszerűsíthető, ha a számításokat egy speciális, Horner-séma nevű algoritmussal végezzük. Ezt az áramkört William George Horner angol tudósról nevezték el. A Horner-séma egy algoritmus a P(x) polinom x-c-vel való osztásának hányadosának és maradékának kiszámítására. Röviden, hogyan működik.

Legyen adott egy tetszőleges P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n polinom. Ha ezt a polinomot elosztjuk x-c-vel, akkor a P(x)=(x-c)g(x) + r(x) formában jelenik meg. Részleges g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, ahol 0-ban =a 0, n-ben =st n-1 +a n n=1,2,3,…n-1. Maradék r(x)= st n-1 +a n. Ezt a számítási módszert Horner-sémának nevezik. Az algoritmus nevében a „séma” szó annak köszönhető, hogy a megvalósítása általában a következőképpen van formázva. Először rajzolja meg a 2. táblázatot (n+2). A bal alsó cellába írja be a c számot, a felső sorba pedig a P(x) polinom együtthatóit. Ebben az esetben a bal felső cella üresen marad.

	0-ban =a 0	1-ben =st 1 +a 1	2-ben = sv 1 + A 2		n-1-ben =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Az a szám, amelyről az algoritmus végrehajtása után kiderül, hogy a jobb alsó cellába van írva, a P(x) polinom x-c-vel való osztásának maradéka. A többi szám 0-ban, 1-ben, 2-ben,... az alsó sorban a hányados együtthatói.

Például: Osszuk el a P(x)= x 3 -2x+3 polinomot x-2-vel.

Azt kapjuk, hogy x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. A tanult anyag konszolidálása

1. példa: Tényezősítse a P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 polinomot egész együtthatós tényezőkké.

Egész gyököket keresünk a szabad tag -1: 1 osztói között; -1. Készítsünk egy táblázatot:

X = -1 – gyök

P(x)= (x+1) (2x3 -9x2 +6x-1)

Ellenőrizzük 1/2.

					X=1/2 - gyökér

Ezért a P(x) polinom alakban ábrázolható

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

2. példa: Oldja meg a 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 egyenletet

Mivel az egyenlet bal oldalára írt polinom együtthatóinak összege nulla, akkor az egyik gyöke 1. Használjuk a Horner-sémát:

						X=1 - gyökér

Azt kapjuk, hogy P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). A 2. szabad tag osztói között keresünk gyökereket.

Megtudtuk, hogy nincs több ép gyökér. Ellenőrizzük 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - gyök

Válasz: 1; -1/2.

3. példa: Oldja meg az 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 egyenletet.

Ennek az egyenletnek a gyökereit az 5: 1;-1;5;-5 szabad tag osztói között fogjuk keresni. x=1 az egyenlet gyöke, mivel az együtthatók összege nulla. Használjuk Horner sémáját:

Mutassuk be az egyenletet három tényező szorzataként: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Az 5x 2 -7x+5=0 másodfokú egyenletet megoldva D=49-100=-51-et kaptunk, nincs gyök.

1. kártya

1. Tényező a polinom: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Oldja meg az egyenletet: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

2. kártya

1. A polinom tényezője: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Oldja meg az egyenletet: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

3. kártya

1. Tényező: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Oldja meg az egyenletet: x 3 -2x 2 +4x-8=0

4. kártya

1. Tényező: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Oldja meg az egyenletet: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Összegzés

Az ismeretek tesztelése a páros megoldásnál a tanórán történik a cselekvési mód és a válasz nevének felismerésével.

Házi feladat:

Oldja meg az egyenleteket:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Irodalom

1. N.Ya. Vilenkin és mtsai, Algebra és az elemzés kezdetei, 10. évfolyam (matematika elmélyült tanulmányozása): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Szaharcsuk, L.S. Sagatelova, Magasabb fokú egyenletek megoldása: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Számrendszerek és alkalmazásuk.

2 Horner-séma

3 Szabad formájú függvények

4 Polinomok gyökeinek megtalálása

A felhasznált információforrások listája

1 Az egyenletek gyökereinek megkeresése (az egyenlet 1. szakasza)

Az egyenletek gyökereinek megtalálásának egyik leggyakoribb módszere a Newton-módszer és annak módosításai. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk az egyenletet

. Feltételezzük, hogy x az egyenlet megoldása. Bővítsük ki az f(x) függvényt sorozattá az x ponthoz közeli x0 pontban, és korlátozzuk magunkat a bővítés első két tagjára.

Mivel x az egyenlet gyöke, akkor

. Ennélfogva,

Így, ha ismerjük az egyenlet gyökének közelítő értékét, akkor a kapott egyenlet lehetővé teszi annak pontosítását. Nyilvánvaló, hogy a finomítási folyamat többször megismételhető, amíg a függvény értéke a megadott keresési pontosságnál kisebb mértékben eltér nullától. Következő k-edik közelítés képlettel találjuk meg

Azáltal, hogy a bővítést csak az első két tagra korlátoztuk, valójában az f(x) függvényt egy egyenes érintőre cseréltük az x0 pontban, ezért Newton módszerét tangens módszernek is nevezik. Nem mindig kényelmes analitikus kifejezést találni egy függvény deriváltjára. Ez azonban nem különösebben szükséges: mivel minden lépésben megkapjuk a gyökér hozzávetőleges értékét, a derivált hozzávetőleges értékét használhatjuk a kiszámításához.

Kis mennyiségként

vehetsz például egy adott számítási pontosságot, akkor a számítási képlet alakot ölt (1.1)

Másrészt a derivált kiszámításához használhatja az előző két lépésben kapott függvényértékeket,

(1.2)

Ebben a formában a módszert szekant módszernek nevezzük. Ebben az esetben azonban probléma adódik az első közelítés kiszámításával. Általában azt hiszik

, vagyis a számítások első lépését az (1.1) képlet segítségével, az összes további lépést pedig az (1.2) képlettel hajtjuk végre. Ezt a számítási sémát valósítja meg a Mathcad csomag. A szekant módszerrel nem tudjuk garantálni, hogy a gyök az utolsó két közelítés között van. Lehetséges azonban a következő közelítés kiszámítása annak az intervallumnak a határaiból, amelyen a függvény előjelet vált. Ezt a módszert akkordmódszernek (falsepositionmethod) nevezik.

A szekáns módszer ötlete a Muller-módszerben alakult ki. Ebben a módszerben azonban az előző három pontot használjuk a következő közelítés megtalálásához. Más szóval, a módszer nem lineáris, hanem másodfokú interpolációt használ egy függvénynek. A módszer számítási képlete a következő:

A gyök előtti jelet úgy választjuk meg, hogy a nevező abszolút értéke maximális legyen.

Mert a gyökér keresése akkor ér véget, ha a feltétel teljesül

, akkor hamis gyökerek jelenhetnek meg. Például egy egyenletnél hamis gyök jelenik meg, ha a keresési pontosság 0,0001-nél kisebbre van állítva. A keresés pontosságának növelésével megszabadulhat a hamis gyökerektől. Ez a megközelítés azonban nem működik minden egyenletre. Például arra az egyenletre, amely nyilvánvalóan nem rendelkezik igazi gyökerek, bármilyen pontossághoz, bármilyen kicsi is, van egy x érték, amely megfelel a keresés befejezésének kritériumának. A fenti példák azt mutatják, hogy a számítógépes számítások eredményeit mindig kritikusan kell szemlélni, és hihetőség szempontjából elemezni kell. A numerikus módszereket megvalósító szabványos csomagok használatakor a buktatók elkerülése érdekében legalább minimálisan meg kell értenie, hogy egy adott probléma megoldásához melyik numerikus módszert alkalmazzák.

Abban az esetben, ha ismert az intervallum, amelyen a gyökér található, más módszereket is használhat az egyenlet megoldására.

A Ridder-módszer kiszámítja egy függvény értékét az intervallum közepén

. Ezután keressen egy olyan exponenciális függvényt, amelynél alkalmazza az akkordmódszert a . A következő értéket az (1.5) képlet segítségével számítjuk ki.

A Brentmethod egyesíti a Ridder módszer sebességét és a felezési módszer garantált konvergenciáját. A módszer inverz másodfokú interpolációt használ, azaz x as-t keres másodfokú függvény y. Minden lépésnél ellenőrizni kell a gyökér helyét. A módszer képletei meglehetősen körülményesek, ezeket nem mutatjuk be.

Speciális módszereket használnak a polinomok gyökereinek megkeresésére. Ebben az esetben minden gyökér megtalálható. A polinom egyik gyökének megtalálása után a polinom foka csökkenthető, majd a gyökér keresése megismétlődik.

Lobacsevszkij módszere, az algebrai egyenletek közelítő (numerikus) megoldásának módszere, amelyet egymástól függetlenül talált meg J. Dandelin belga matematikus, N. I. Lobacsevszkij orosz matematikus (legtökéletesebb formájában 1834-ben) és C. Greffe svájci matematikus. A lineáris módszer lényege, hogy megszerkesztjük az f1(x) = 0 egyenletet, melynek gyökei az eredeti f(x) = 0 egyenlet négyzetgyökei. Ekkor megszerkesztjük az f2(x) = 0 egyenletet, a melynek gyökei az f1(x) = 0 egyenlet négyzetgyökei. Ezt a folyamatot többször megismételve olyan egyenletet kapunk, amelynek gyökerei erősen elkülönülnek. Ha az eredeti egyenlet minden gyöke valós és különbözik abszolút érték, vannak egyszerű számítási sémák a lineáris módszerekhez a gyökök közelítő értékeinek megtalálásához. Abszolút értékű gyökök, valamint összetett gyökök esetén a lineáris mérők számítási sémái nagyon összetettek.

A Laguerre-módszer a következő polinomokra vonatkozó relációkon alapul

A gyökér előtti jelet úgy választjuk meg, hogy megkapjuk legmagasabb érték névadó.

Egy másik módszer, amelyet a polinomok gyökereinek megkeresésére használnak, a társmátrix módszer. Bizonyítható, hogy a mátrix

a polinom kísérő mátrixának nevezzük

, sajátértékei megegyeznek a polinom gyökeivel. Emlékezzünk vissza, hogy a mátrix sajátértékei azok a  számok, amelyekre a vagy egyenlőség. Vannak nagyon hatékony keresési módszerek sajátértékek, néhányukról a továbbiakban még szó lesz. Így a polinom gyökereinek megtalálásának problémája a kísérő mátrix sajátértékeinek megtalálásának problémájára redukálható.

2 Horner-séma

A Horner-séma segítségével végzett számítás hatékonyabbnak bizonyul, és nem túl bonyolult. Ez a séma egy polinom alábbi ábrázolásán alapul:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Vegyünk egy általános polinomot a következő alakban:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Feltételezzük, hogy minden an, ..., a0 együttható ismert, állandó és egy tömbben tárolva van. Ez azt jelenti, hogy az egyetlen bemenet a polinom kiértékeléséhez az x értéke, és a program kimenetének az x pontban lévő polinom értékének kell lennie.

Tulajdonságok

hol be általános eset komplex) gyökei egy polinomnak, esetleg ismétlődésekkel, és ha egy polinom gyökei között egyenlők vannak, akkor ezek közös értékét ún. többszörös gyökér.

A gyökerek megtalálása

A lineáris és másodfokú polinomok gyökereinek megtalálásának módszere, vagyis a lineáris és másodfokú egyenletek megoldása az ókorban ismert volt. A harmadfokú általános egyenlet pontos megoldásának képletének keresése sokáig tartott (az Omar Khayyam által javasolt módszert kell megemlíteni), mígnem a 16. század első felében siker koronázta a munkákban. Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia és Gerolamo Cardano. A másodfokú és szögletes egyenletek gyökeinek képletei viszonylag egyszerűvé tették a negyedik fokú egyenletek gyökeinek képleteinek beszerzését.

Milyen gyökerek általános egyenlet Az ötödik és magasabb hatványok nem fejezhetők ki racionális függvényekkel és együtthatók gyökeivel – bizonyította Niels Abel norvég matematikus 1826-ban. Ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy egy ilyen egyenlet gyökerei nem találhatók meg. Először is, speciális esetekben, bizonyos együtthatókombinációk esetén az egyenlet gyökerei bizonyos leleményességgel meghatározhatók. Másodszor, vannak képletek az 5-ös és magasabb fokú egyenletek gyökereihez, amelyek azonban speciális függvényeket használnak - elliptikus vagy hipergeometrikus (lásd például a Bring gyökér).

Ha egy polinom minden együtthatója racionális, akkor a gyökeinek megtalálása egy egész együtthatós polinom gyökeinek megtalálásához vezet. Mert racionális gyökerei Léteznek algoritmusok az ilyen polinomok megtalálására a jelöltek Horner-féle séma alapján történő keresésével, egész gyökkereséskor pedig a gyökértisztítással a keresés jelentősen csökkenthető. Ebben az esetben is használhatja a polinomiális LLL algoritmust.

Egy polinom valós gyökeinek megközelítő meghatározása (bármilyen szükséges pontossággal) -val valós együtthatók Iteratív módszereket használnak, például a szekáns módszert, a felező módszert, a Newton-módszert. A polinom valós gyökeinek száma egy intervallumon a Sturm-tétel segítségével becsülhető meg.

Lásd még

Megjegyzések

Wikimédia Alapítvány. 2010.

• Szennyvíz
• A vexillológiai szakkifejezések szójegyzéke

Nézze meg, mi a „polinom gyökere” más szótárakban:

Az algebrai egyenlet gyöke

Az egyenlet gyökere- A k mező feletti polinom gyöke egy olyan elem, amely x-re cserélve az egyenletet azonossággá alakítja. Tulajdonságok Ha c a p(x ... Wikipédia polinom gyöke

Hozz gyökeret- Ellenőrizze az információkat. Ellenőrizni kell a tények pontosságát és az ebben a cikkben bemutatott információk megbízhatóságát. A vitalapon magyarázatnak kell lennie. Az algebrában a Bring gyökér vagy az ultraradikális olyan analitikus függvény, amelyre... ... Wikipédia

Gyökér (egyértelműsítés)- Gyökér: A Wikiszótárban van egy "gyökér" szócikk. A gyökér (a botanikában) egy növény vegetatív axiális földalatti szerve, amelynek sp ...

Gyökér (matematikában)- Gyöke a matematikában, 1) K. az a ≈ x szám n foka (jelölve), amelynek n-edik foka egyenlő a-val (vagyis xn = a). A K. megtalálásának műveletét gyökérkivonásnak nevezzük. Egy ¹ 0-ra van n különböző jelentések K. (általában ......

Gyökér- Az I Root (radix) a leveles növények egyik fő vegetatív szerve (a mohák kivételével), amely az aljzathoz való kötődésre, víz és tápanyagok felvételére, számos felszívódott anyag elsődleges átalakítására szolgál. . Nagy szovjet enciklopédia

GYÖKÉR- 1) K. n fok az a számtól n és az i fok x n a számig egyenlő a-val. 2) Algebrai egyenlet egyenlete egy K mező felett, amely elem, miután behelyettesíti az egyenletet azonossággá alakítja. K. ennek az egyenletnek az ún. is K. polinom Ha úgy tűnik... ... Matematikai Enciklopédia

Több gyökér- f (x) = a0xn + a1xn ​​1 +... + an polinom, olyan c szám, amelyre f (x) maradék nélkül osztható egy másodperccel vagy többel magas fokozat binomiális (x c). Ebben az esetben c-t a multiplicitás gyökének nevezzük, ha f (x) osztható (x c) k-vel, de nem... ... Nagy szovjet enciklopédia

Konjugált gyökér- Ha néhány irreducibilis polinom egy gyűrű felett, és annak néhány gyökét választjuk ki a kiterjesztésben, akkor a polinom adott gyökének konjugált gyökét a polinom tetszőleges gyökének nevezzük ... Wikipédia

2 négyzetgyöke- egyenlő a hipotenusz hosszával derékszögű háromszög lábhosszal 1. A 2-es szám négyzetgyöke pozitív ... Wikipédia

Ha az f(x) függvény polinom, akkor minden gyöke meghatározható a beépített függvénnyel

ahol v a polinom együtthatóiból álló vektor.

Mivel egy n-edik fokú polinomnak pontosan n gyöke van (néhányszor többszörös is lehet), a v vektornak n+1 elemből kell állnia. A polyroots() függvény eredménye egy vektor, amely a szóban forgó polinom n gyökéből áll. Ebben az esetben nincs szükség kezdeti közelítés bevezetésére, mint a root() függvénynél. Egy negyedfokú polinom gyökeinek keresésére egy példa látható az ábrán. 4.6:

Rizs. 4.6. Egy polinom gyökének megkeresése

A példában vizsgált polinom együtthatóit oszlopvektorként írjuk fel, amely a szabad taggal kezdődik és a legnagyobb x n hatványon álló együtthatóval végződik.

A polyroots() függvényhez két numerikus módszer közül választhat - a Lagger polinom módszer (alapértelmezés szerint telepítve van) vagy a páros mátrix módszer. A módszer megváltoztatásához elő kell hívni a helyi menüt a polyroots szóra jobb gombbal kattintva, és a helyi menü tetején kiválasztani a LaGuerre vagy a Companion Matrix lehetőséget. Ezután a polyroots funkción kívül kell kattintania - és ha az automatikus számítási mód be van kapcsolva, a polinom gyökerei újraszámításra kerülnek az újonnan kiválasztott módszer szerint.

Annak érdekében, hogy a megoldási mód választását a Mathcadre hagyja, be kell jelölnie az Automatikus kiválasztás négyzetet az azonos nevű elem kiválasztásával ugyanabban a helyi menüben.

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása

Tekintsük az n rendszer megoldását nemlineáris egyenletek m ismeretlennel

f 1 (x 1,...,x m) = 0,

f n (x 1,..., x m) = 0,

Itt f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) az x 1 ,... ,х m skalárváltozók néhány skalárfüggvénye és esetleg , bármely más változótól. Az egyenletekben több vagy kevesebb változó is szerepelhet. Ne feledje, hogy a fenti rendszer formálisan átírható

ahol x egy x 1,...,x m változókból álló vektor, és f (x) a megfelelő vektorfüggvény.

A rendszerek megoldására egy speciális számítási egység áll rendelkezésre, amely három részből áll, amelyek egymás után jönnek:

Adott - kulcsszó;

Boole-operátorokkal egyenlőségek és esetleg egyenlőtlenségek formájában írt rendszer;

Find(x 1,...,x m) - beépített függvény a rendszer megoldására az x 1,...,x m változók tekintetében.

A Given/Find blokk iteratív módszereket használ a megoldás megtalálásához, ezért a root() függvényhez hasonlóan minden x 1,...,x m kezdeti értékét be kell állítani. Ezt az Adott kulcsszó beírása előtt kell megtenni. A Find függvény értéke egy vektor, amely az egyes változók megoldásából áll. Így a vektorelemek száma megegyezik a Find argumentumok számával.

Nézzünk egy példát. Oldjunk meg egy két egyenletrendszert két ismeretlennel:

0,01 pontossággal. Grafikusan válassza el a gyökereket.

Mutassuk be a rendszer egyenleteit egy változó alábbi függvényei formájában:

Válasszuk ki a változók diszkrét értékeit:

Keressük meg az egyenlet gyökereit a Given – Find() blokk segítségével:

ábrán. A 4.7 egy másik példát mutat két egyenletrendszer megoldására:

Rizs. 4.7. Egyenletrendszer megoldása

Először is, ábra. 4.7 bemutatjuk az egyenletrendszert meghatározó függvényeket. Ezután az x és y változók, amelyekhez viszonyítva meg lesz oldva, kezdeti értékeket kapnak. Ezt követi a Given kulcsszó és a kérdéses egyenletrendszert kifejező két logikai egyenlőség operátor. A számítási blokkot a Keresés függvény teszi teljessé, melynek értékét a v vektorhoz rendeljük. Ekkor kiírjuk a v vektor tartalmát, vagyis a rendszer megoldását. A vektor első eleme a Find függvény első argumentuma, a második eleme a második argumentuma. A végén ellenőriztük az egyenletek megoldásának helyességét. Vegye figyelembe, hogy az egyenletek közvetlenül a számítási egységen belül definiálhatók.

A vizsgált rendszer grafikus értelmezése az ábrán látható. 4.8. Mindegyik egyenletet egy grafikon mutatja az xy síkon. Az első egyenletet görbe, a másodikat egy folytonos vonal ábrázolja. A görbék két metszéspontja megfelel mindkét egyenlet egyidejű végrehajtásának, azaz a rendszer kívánt valós gyökeinek. Amint az könnyen látható, az ábrán látható. 4.7, a két megoldás közül csak az egyik található - a grafikon jobb alsó részében található. A második megoldás megtalálásához meg kell ismételnie a számításokat, módosítva a kezdeti értékeket úgy, hogy azok közelebb legyenek egy másik metszésponthoz. a grafikonokat, például x = -1, y = -1.

Rizs. 4.8. Két egyenletrendszer grafikus megoldása

A leggyakrabban előforduló két egyenletből és azonos számú ismeretlenből álló rendszer példáját vettük figyelembe. Vannak azonban olyan esetek, amikor az egyenletek és az ismeretlenek száma nem esik egybe. Ezenkívül a számítási egységhez további feltételek is hozzáadhatók egyenlőtlenségek formájában. Például, ha a fent tárgyalt példában korlátozza az x negatív értékeinek keresését, az egy másik megoldás megtalálásához vezet, amint az az 1. ábrán látható. 4.9:

Rizs. 4.9. Egyenlet- és egyenlőtlenségrendszer megoldása

Annak ellenére, hogy ugyanazok a kezdeti értékek, mint az ábrán. 4.8, az ábrán. 4.9 másik gyökér keletkezik. Ez pontosan egy további egyenlőtlenség bevezetésének köszönhető, amelyet az Adott blokkban definiálunk (x< 0).

Ha egy nem kompatibilis rendszert próbál megoldani, a Mathcad hibaüzenetet jelenít meg, hogy nem található megoldás, és meg kell próbálnia megváltoztatni a kezdeti értékeket vagy a hibaértéket.

A számítási egység a CTOL-állandót használja az Adott kulcsszó után beírt egyenletek megoldási hibájának becslésére. Például, ha CTOL=0,001, akkor az x=10 egyenlet x=10,001 és x=9,999 esetén is teljesül. Egy másik állandó TOL határozza meg az iterációk leállításának feltételét a numerikus algoritmussal. A CTOL értéket a felhasználó a TOL-hoz hasonlóan adhatja meg, például CTOL:=0.01. Alapértelmezés szerint a rendszer feltételezi, hogy CTOL=TOL=0,001, de szükség esetén felülbírálhatja őket.

Különös körültekintéssel kell eljárni az egyenletszámnál több ismeretlent tartalmazó rendszerek megoldásánál. Például eltávolíthatja a két egyenlet egyikét az általunk vizsgált ábrából. 4.7, megpróbáljuk megoldani az egyetlen g(x,y)=0 egyenletet két ismeretlennel, x és y. Ebben a megfogalmazásban a feladatnak végtelen sok gyöke van: bármely x és ennek megfelelően y = -x/2 esetén teljesül az egyetlen egyenletet meghatározó feltétel. Azonban még akkor is, ha végtelen számú gyök van, a numerikus módszer csak addig végez számításokat, amíg a számítási egység logikai kifejezései nem teljesülnek (a hibahatáron belül). Ezt követően az iterációk leállnak, és visszaküldik a megoldást. Ennek eredményeként csak egy értékpárt (x, y) találunk, először észlelünk.

A Find függvényt tartalmazó számítási blokk egy ismeretlen egyenlet gyökerét is meg tudja találni. A Keresés művelet ebben az esetben teljesen hasonló az ebben a részben már tárgyalt példákhoz. A gyökér megtalálásának problémáját egy egyenletből álló rendszer megoldásának tekintjük. Az egyetlen különbség az, hogy a Find() függvény által visszaadott szám skaláris, nem pedig vektortípus. ábrán látható egy példa az előző szakasz egyenletének megoldására. 4.10.

Rizs. 4.10. Egy egyenlet gyökerének megkeresése egy ismeretlenben a Find() függvény segítségével.

A Mathcad három különböző típusú gradiens módszert kínál nemlineáris egyenletrendszerek megoldására a Given – Find() blokk használatával. A numerikus módszer megváltoztatásához a következőket kell tennie:

Kattintson a jobb gombbal a Find funkció nevére;

Válassza ki a Nemlineáris elemet a megjelenő helyi menüben;

Válasszon egyet a három módszer közül: Konjugált gradiens (alapértelmezett), Kvázi-Newton vagy Levenberg-Marquardt.

13. § Teljes függvények (polinomok) és alapvető tulajdonságaik. Algebrai egyenletek megoldása a 165 komplex számok halmazán

13.1. Alapvető definíciók 165

13.2. Az egész polinomok alapvető tulajdonságai 166

13.3. A 169. algebrai egyenlet gyökeinek alapvető tulajdonságai

13.4. Alapvető algebrai egyenletek megoldása a 173 komplex számok halmazán

13.5. Gyakorlatok önálló munkához 176

Önellenőrző kérdések 178

Szójegyzék 178

1. Alapvető definíciók

Egy egész algebrai függvény vagy algebrai polinom (polinom )érv x a következő típusú függvénynek nevezzük

Itt n–polinom foka ( természetes szám vagy 0), x – változó (valós vagy összetett), a 0 , a 1 , …, a n –polinomiális együtthatók (valós vagy komplex számok), a 0  0.

Például,

;
;
,
– négyzetháromtag;

,
;.

Szám x 0 ilyen P n (x 0)0, hívott nulla függvény P n (x) vagy az egyenlet gyöke
.

Például,

a gyökereit
,
,
.

mert
És
.

Megjegyzés (egy teljes algebrai függvény nulláinak meghatározásához)

A szakirodalomban a függvény nullák gyakran
gyökereinek nevezik. Például számok
És
a másodfokú függvény gyökereinek nevezzük
.

1. Az egész polinomok alapvető tulajdonságai

 Az azonosító (3) -re érvényes x 
(vagy x  ), ezért érvényes
; helyettesítő
, kapunk A n = b n. Szüntessük meg kölcsönösen a (3) pont feltételeit! A nÉs b nés mindkét részt elosztjuk azzal x:

Ez az azonosság -re is igaz x, beleértve azt is, hogy mikor x= 0, feltételezve x= 0, kapjuk A n – 1 = b n – 1 .

Szüntessük meg kölcsönösen a feltételeket a (3"-ban) A n– 1 és b n– 1, és mindkét oldalát elosztjuk x, ennek eredményeként kapunk

Hasonlóképpen folytatva az érvelést, azt kapjuk, hogy A n – 2 = b n –2 , …, A 0 = b 0 .

Így bebizonyosodott, hogy két egész polinom azonos egyenlősége magában foglalja az együtthatóik egybeesését azonos hatványokra x.

A fordított állítás meglehetősen nyilvánvaló, vagyis ha két polinomnak ugyanaz az együtthatója, akkor ezek a halmazon definiált azonos függvények.
ezért értékük egybeesik az érv minden értékével
, ami azonos egyenlőségüket jelenti. Az 1. tulajdonság teljesen bevált.

Példa (a polinomok azonos egyenlősége)

.

 Írjuk fel az osztás képletét maradékkal: P n (x) = (x – x 0)∙K n – 1 (x) + A,

Ahol K n – 1 (x) - fokszámú polinom ( n – 1), A- a maradék, ami a jól ismert algoritmusból adódóan egy polinom binomimmal osztva „egy oszlopban”.

Ez az egyenlőség -re igaz x, beleértve azt is, hogy mikor x = x 0 ; hinni
, kapunk

P n (x 0) = (x 0 – x 0)K n – 1 (x 0) + A  A = P n (x 0) 

A bizonyított tulajdonság következménye egy olyan állítás, amely szerint a polinom maradék nélkül osztható binomimmal, amelyet Bezout-tételként ismerünk.

Bezout tétele (egy egész polinom binomimmal maradék nélkül osztva)

Ha a szám a polinom nullája , akkor ez a polinom maradék nélkül osztható a különbséggel , vagyis az egyenlőség igaz  (5)

 A Bezout-tétel bizonyítása elvégezhető anélkül, hogy felhasználnánk az egész polinom korábban bevált tulajdonságát.
binomiálisan
. Valóban, írjuk fel a polinom osztóképletét
binomiálisan
maradékkal A=0:

Most vegyük ezt figyelembe a polinom nullája
, és írja be az utolsó egyenlőséget
:

Példák (polinom faktorálása Bezout ún.)

1) mert P 3 (1)0;

2) mert P 4 (–2)0;

3) mert P 2 (–1/2)0.

Ennek a tételnek a bizonyítása meghaladja kurzusunk kereteit. Ezért bizonyítás nélkül elfogadjuk a tételt.

Dolgozzuk át ezt a tételt és Bezout tételét a polinommal P n (x):

után n-e tételek többszöri alkalmazása azt kapjuk, hogy

Ahol a 0 az együttható at x n polinomiális jelölésben P n (x).

Ha egyenlőségben (6) k számok a készletből x 1 ,x 2 , …x n egybeesnek egymással és a  számmal, akkor a jobb oldali szorzatban megkapjuk a szorzót ( x–) k. Aztán a szám x= hívják a polinom k-szoros gyöke P n (x ) , vagy a k multiplicitás gyöke . Ha k= 1, majd a szám
hívott polinom egyszerű gyöke P n (x ) .

Példák (polinomiális lineáris faktorizáció)

1) P 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - egyszerű gyök, x 2 = 4 - hármas gyökér;

2) P 4 (x) = (x – én) 4  x = én- a 4. multiplicitás gyöke.

Hasonló cikkek