Cél: Tekintsük a síkon lévő egyenes fogalmát, mondjunk példákat! Az egyenes definíciója alapján mutassa be a síkon lévő egyenes egyenletének fogalmát! Vegye figyelembe az egyenesek típusait, mondjon példákat és módszereket az egyenes meghatározására. Erősítse meg az egyenes egyenletének fordítási képességét Általános nézet egy egyenes egyenletébe „szakaszokban”, szögegyütthatóval.

1. Egy síkon lévő egyenes egyenlete.
2. Egy síkon lévő egyenes egyenlete. Az egyenletek típusai.
3. Egyenes megadásának módszerei.

1. Legyen x és y két tetszőleges változó.

Meghatározás: Az F(x,y)=0 alakú relációt nevezzük egyenlet , ha nem igaz egyetlen x és y számpárra sem.

Példa: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Ha az F(x,y)=0 egyenlőség bármely x, y esetén fennáll, akkor F(x,y) = 0 azonosság.

Példa: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Azt mondják, hogy az x számok 0 és y 0 kielégíti az egyenletet , ha ebbe az egyenletbe behelyettesítve valódi egyenlőséggé válik.

A legfontosabb koncepció analitikus geometria egy egyenes egyenletének fogalma.

Meghatározás: Egy adott egyenes egyenlete az F(x,y)=0 egyenlet, amely teljesül az ezen az egyenesen található összes pont koordinátáival, és nem teljesül a nem ezen az egyenesen található pontok koordinátáival.

Az y = f(x) egyenlettel definiált egyenest f(x) gráfjának nevezzük. Az x és y változókat aktuális koordinátáknak nevezzük, mivel ezek egy változó pont koordinátái.

Néhány példák sor definíciók.

1) x – y = 0 => x = y. Ez az egyenlet egy egyenest határoz meg:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => pontoknak ki kell elégíteniük vagy az x - y = 0 egyenletet, vagy az x + y = 0 egyenletet, amely a síkon megfelel egy pár metsző egyenes, amely a koordinátaszögek felezője:

3) x 2 + y 2 = 0. Ez az egyenlet csak egy O(0,0) pontra teljesül.

2. Meghatározás: A síkon lévő bármely egyenes megadható egy elsőrendű egyenlettel

Ax + Wu + C = 0,

Ráadásul az A és B állandók nem egyenlők egyszerre nullával, azaz. A 2 + B 2 ¹ 0. Ezt az elsőrendű egyenletet nevezzük egy egyenes általános egyenlete.

Az értékektől függően A, B állandóés C a következő speciális esetek lehetségesek:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – az egyenes átmegy az origón

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - az Ox tengellyel párhuzamos egyenes

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – az Oy tengellyel párhuzamos egyenes

B = C = 0, A ¹ 0 – az egyenes egybeesik az Oy tengellyel

A = C = 0, B ¹ 0 – az egyenes egybeesik az Ox tengellyel

Az egyenes egyenlete ábrázolható különféle formákban az adott kezdeti feltételektől függően.

Egy egyenes egyenlete szögegyütthatóval.

Ha az Ax + By + C = 0 egyenes általános egyenletét a következő alakra redukáljuk:

és jelölje, akkor a kapott egyenletet nevezzük k meredekségű egyenes egyenlete.

Egyenes egyenlete szakaszokban.

Ha be általános egyenlet egyenes Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, majd –С-vel elosztva kapjuk: vagy ahol

Geometriai jelentés együtthatók az, hogy az együttható A az egyenes és az Ox tengellyel való metszéspont koordinátája, és b– az egyenes és az Oy tengely metszéspontjának koordinátája.

Egy egyenes normálegyenlete.

Ha az Ax + By + C = 0 egyenlet mindkét oldalát elosztjuk egy hívott számmal normalizáló tényező, akkor megkapjuk

xcosj + ysinj - p = 0 – egy egyenes normálegyenlete.

A normalizáló tényező előjelét ± úgy kell megválasztani, hogy m×С< 0.

p az origóból az egyenesbe süllyesztett merőleges hossza, j pedig a merőleges által az Ox tengely pozitív irányával bezárt szög.

3. Egy egyenes egyenlete pont és meredekség felhasználásával.

Legyen az egyenes szögegyütthatója k-val, az egyenes átmegy az M(x 0, y 0) ponton. Ekkor az egyenes egyenletét a következő képlettel találjuk meg: y – y 0 = k(x – x 0)

Két ponton átmenő egyenes egyenlete.

Legyen két M 1 (x 1, y 1, z 1) és M 2 (x 2, y 2, z 2) pont adott a térben, akkor az ezeken a pontokon átmenő egyenes egyenlete:

Ha valamelyik nevező egyenlő nullával, a megfelelő számlálót nullára kell állítani.

A síkon a fent leírt egyenes egyenlete leegyszerűsödik:

ha x 1 ¹ x 2 és x = x 1, ha x 1 = x 2.

A = k törtet nevezzük lejtő egyenes.

Legyen megadva a  síkon egy derékszögű derékszögű Oxy koordinátarendszer és valamilyen L egyenes.

Meghatározás. Az egyenlet F(x;y)=0 (1) hívott egyenes egyenleteL(egy adott koordinátarendszerhez viszonyítva), ha ezt az egyenletet az L egyenesen fekvő bármely pont x és y koordinátái teljesítik, és nem az L egyenesen nem fekvő pontok x és y koordinátái.

Hogy. vonal egy síkon az (M(x;y)) pontok helye, amelyek koordinátái kielégítik az (1) egyenletet.

Az (1) egyenlet határozza meg az L egyenest.

Példa. A kör egyenlete.

Kör– egy adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza M 0 (x 0,y 0).

M 0 pont (x 0,y 0) – a kör középpontja.

A körön fekvő bármely M(x;y) pontra az MM 0 =R távolság (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 + (óóó 0 ) 2 =R 2 –(2) – egy R sugarú kör egyenlete, amelynek középpontja az M 0 pontban van (x 0,y 0).

Egy egyenes paraméteres egyenlete.

Adjuk meg az L egyenes pontjainak x és y koordinátáit a t paraméterrel:

(3) – az egyenes paraméteres egyenlete DSC-ben

ahol a (t) és (t) függvények folytonosak a t paraméterhez képest (ennek a paraméternek egy bizonyos változási tartományában).

A t paramétert a (3) egyenletből kizárva az (1) egyenletet kapjuk.

Tekintsük az L egyenest egy bizonyos törvény szerint folyamatosan mozgó anyagi pont által bejárt útnak. Legyen a t változó valamilyen kezdeti pillanattól számított időt. Ekkor a mozgástörvény specifikációja a mozgó pont x és y koordinátáinak megadását reprezentálja a t idő néhány folytonos x=(t) és y=(t) függvényeként.

Példa. Vezessünk le egy paraméteres egyenletet egy r>0 sugarú körre, amelynek középpontja az origóban van. Legyen M(x,y) ennek a körnek tetszőleges pontja, t pedig a sugárvektor és az Ox tengely közötti szög az óramutató járásával ellentétes irányban.

Ekkor x=r cos x y=r sin t. (4)

A (4) egyenletek a vizsgált kör paraméteres egyenletei. A t paraméter tetszőleges értéket vehet fel, de ahhoz, hogy az M(x,y) pont egyszer megkerülje a kört, a paraméterváltozás tartománya a 0t2 félszegmensre korlátozódik.

A (4) egyenlet négyzetre emelésével és a (4) egyenletek összeadásával megkapjuk a (2) kör általános egyenletét.

2. Poláris koordináta-rendszer (psc).

Válasszuk az L tengelyt ( poláris tengely) és határozzuk meg ennek a tengelynek az O ( pólus). A sík bármely pontját egyértelműen meghatározzák a ρ és φ polárkoordináták, ahol

ρ – poláris sugár, egyenlő az M pont és az O pólus távolságával (ρ≥0);

φ – sarok vektor iránya között OMés L tengely ( polárszög). M(ρ ; φ )

Vonalegyenlet az FKR-benírható:

ρ=f(φ) (5) az egyenes explicit egyenlete az FKR-ben

F=(ρ; φ) (6) implicit egyenes egyenlet az FKR-ben

Egy pont derékszögű és poláris koordinátái közötti kapcsolat.

(x;y) (ρ ; φ ) Az OMA háromszögből:

tan φ=(a szög visszaállításaφ az ismertek szerintérintő keletkezikfigyelembe véve, hogy melyik negyedben található az M pont).ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Példa . Határozzuk meg az M(3;4) és P(1;-1) pontok polárkoordinátáit!

M:=5 esetén φ=arctg (4/3). P esetén: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

A lapos vonalak osztályozása.

1. definíció. A vonalat hívják algebrai, ha valamilyen derékszögű derékszögű koordinátarendszerben, ha az F(x;y)=0 (1) egyenlettel van definiálva, amelyben az F(x;y) függvény algebrai polinom.

2. definíció. Minden nem algebrai vonalat hívnak transzcendentális.

3. definíció. Az algebrai egyenest ún sorrendbenn, ha valamilyen derékszögű derékszögű koordinátarendszerben ezt az egyenest az (1) egyenlet határozza meg, amelyben az F(x;y) függvény n-edik fokú algebrai polinom.

Így az n-edik rendű egyenes egy olyan egyenes, amelyet valamilyen derékszögű derékszögű rendszerben egy n fokú algebrai egyenlet határoz meg két ismeretlennel.

A következő tétel hozzájárul az 1,2,3 definíciók helyességének megállapításához.

Tétel(dokumentum a 107. oldalon). Ha valamelyik derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy egyenest egy n fokú algebrai egyenlet határoz meg, akkor ezt az egyenest bármely másik derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy ugyanilyen n fokú algebrai egyenlet határozza meg.

Az F alakú egyenlőség (x, y) = 0 két változós egyenletnek nevezzük x, y, ha nem minden számpárra igaz x, y. Két számot mondanak x = x 0 , y=y 0, kielégíti a forma valamely egyenletét F(x, y)=0, ha a változók helyett ezeket a számokat helyettesítve xÉs nál nél az egyenletben a bal oldala eltűnik.

Egy adott egyenes egyenlete (meghatározott koordinátarendszerben) egy két változós egyenlet, amelyet az ezen az egyenesen elhelyezkedő összes pont koordinátái kielégítenek, és nem teljesülnek a nem azon pontok koordinátái.

A következőkben a „vonal egyenlete” kifejezés helyett az egyenes egyenlete van megadva F(x, y) = 0" gyakran mondjuk röviden: adott egy sor F (x, y) = 0.

Ha két egyenes egyenlete adott F(x, y) = 0És Ф(x, y) = Q, majd a rendszer együttes megoldása

megadja az összes metszéspontjukat. Pontosabban, minden számpár, amely ennek a rendszernek a közös megoldása, meghatározza az egyik metszéspontot.

*) Azokban az esetekben, amikor a koordináta-rendszer nincs megnevezve, feltételezzük, hogy derékszögű derékszögű.

157. Pont jár *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Határozza meg, mely közzétett pontok esnek az egyenlet által meghatározott egyenesen x+ y = 0,és melyek nem fekszenek rá. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Rajzold rá a rajzra.)

158. Az egyenlet által meghatározott egyenesen x 2 +y 2 =25, keresse meg azokat a pontokat, amelyek abszcisszája egyenlő a következő számokkal: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; ugyanazon az egyenesen keresse meg azokat a pontokat, amelyek ordinátája a következő számokkal egyenlő: e) 3, f) - 5, g) - 8. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Rajzold rá a rajzra.)

159. Határozza meg, hogy mely egyeneseket határozzák meg a következő egyenletek (építsd meg őket a rajzon):

1) x-y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;

5) y-5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y 2 = 0; tizenegy) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2-9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y2 +5y+4 = 0;

16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|nál nél|; 19)y + |x|=0;

20) x +|nál nél|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) x 2 + nál nél 2 = 16;

24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;

29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160. Adott sorok:

1)x+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;

4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.

Határozza meg, melyikük halad át az origón.

161. Adott sorok:

1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;

3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8nál nél+ 7 = 0;

7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Keresse meg metszéspontjaikat: a) a tengellyel Ó; b) tengellyel OU.

162.Két egyenes metszéspontjának meghatározása;

1)x 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) x 2 +y 2 -16x+4nál nél+18 = 0, x + y= 0;

3) x 2 +y 2 -2x+4nál nél -3 = 0, x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, x 2 + y 2 = 4.

163. A pontok a polárkoordináta-rendszerben vannak megadva

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) És M 5 (1; )

Határozza meg, hogy ezek közül a pontok közül melyik található az in egyenlet által meghatározott egyenesen poláris koordináták = 2 cos , és melyek nem fekszenek rá. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Rajzold rá a rajzra:)

164. A  = egyenlettel meghatározott egyenesen , Keressünk olyan pontokat, amelyek poláris szögei egyenlők a következő számokkal: a) ,b) - , c) 0, d) . Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet?

(Alakítsa fel a rajzra.)

165.A  = egyenlettel meghatározott egyenesen , keresse meg azokat a pontokat, amelyek poláris sugara megegyezik a következő számokkal: a) 1, b) 2, c)
. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Alakítsa fel a rajzra.)

166. Állapítsa meg, hogy mely egyeneseket határozzák meg polárkoordinátákban az alábbi egyenletek (konstruálja meg őket a rajzon):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) bűn  = 9) bűn  =

167. Szerkessze meg a következő Archimedes-spirálokat a rajzon:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4) р = -1.

168. Szerkessze meg a következő hiperbolikus spirálokat a rajzon!

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Szerkessze meg a következő logaritmikus spirálokat a rajzon:

,
.

170. Határozza meg azoknak a szakaszoknak a hosszát, amelyekbe az Arkhimédész-spirál belevág!

a pólusból kilépő és a poláris tengelyhez képest szögben megdöntött sugár
. Készítsen rajzot.

171. Arkhimédész-spirálról
megértettem az álláspontodat VAL VEL, amelynek poláris sugara 47. Határozza meg, hogy ez a spirál hány részre vágja a pont poláris sugarát VAL VEL, Készítsen rajzot.

172. Hiperbolikus spirálon
talál egy pontot R, amelynek poláris sugara 12. Készítsen rajzot.

173. Logaritmikus spirálon
keresse meg a Q pontot, amelynek poláris sugara 81. Készítsen rajzot!

Egy síkon lévő egyenes két egyenlettel definiálható

Ahol xÉs y - tetszőleges pont koordinátái M(x; nál nél), ezen a vonalon fekszik, és t- nevű változó paraméter.

Paraméter t meghatározza a pont helyzetét ( x; nál nél) a felületen.

Tehát, ha

majd a paraméter értéke t= 2 a (4; 1) pontnak felel meg a síkon, mert x = 2 + 2 = 4, y= 2 2 – 3 = 1.

Ha a paraméter t megváltozik, akkor a síkon lévő pont elmozdul, leírva ezt az egyenest. A görbe meghatározásának ezt a módszerét ún parametrikus, és (1) egyenletek - parametrikus egyenes egyenletek.

Nézzünk példákat jól ismert, parametrikus formában megadott görbékre.

1) Astroid:

Ahol A> 0 – állandó érték.

Nál nél A= 2 alakja:

4. ábra. Astroid

2) Cikloid: Ahol A> 0 – állandó.

Nál nél A= 2 alakja:

5. ábra. Ciklois

Vektor egyenlet vonalak

A síkon egy vonal megadható vektor egyenlet

Ahol t– skaláris változó paraméter.

Minden paraméter értéke t A 0 egy bizonyos síkvektornak felel meg. Paraméter megváltoztatásakor t a vektor vége egy bizonyos vonalat ír le (6. ábra).

Egyenes vektoregyenlete koordinátarendszerben Óóó

két skaláris egyenletnek felel meg (4), azaz. vetületi egyenletek

az egyenes vektoregyenletének koordinátatengelyén ott van annak parametrikus egyenletek.

6. ábra. Vektoros egyenlet

A vektoregyenleteknek és a parametrikus egyenes egyenleteknek van mechanikai érzék. Ha egy pont egy síkon mozog, akkor a megadott egyenleteket hívjuk mozgásegyenletek, vonal - röppálya pontok, paraméterek t- idő.

A síkon lévő egyenes olyan pontok összessége ezen a síkon, amelyeknek bizonyos tulajdonságai vannak, míg a nem egy adott egyenesen lévő pontok nem rendelkeznek ezekkel a tulajdonságokkal. Az egyenes egyenlete analitikusan kifejezett összefüggést határoz meg az ezen az egyenesen fekvő pontok koordinátái között. Adjuk meg ezt az összefüggést az egyenlet

F( x,y)=0. (2.1)

A (2.1)-et kielégítő számpár nem tetszőleges: ha x akkor adott nál nél nem lehet semmi, jelentése nál nél társult, összekapcsolt, társított valamivel x. Amikor megváltozik x változtatások nál nél, és egy pont koordinátákkal ( x,y) írja le ezt a sort. Ha az M 0 pont koordinátái ( x 0 ,nál nél 0) teljesíti a (2.1) egyenletet, azaz. F( x 0 ,nál nél 0)=0 valódi egyenlőség, akkor az M 0 pont ezen az egyenesen található. Ennek fordítva is igaz.

Meghatározás. Egy síkon lévő egyenes egyenlete olyan egyenlet, amely teljesül az ezen az egyenesen fekvő bármely pont koordinátáival, és nem teljesül azon pontok koordinátáival, amelyek nem ezen az egyenesen helyezkednek el..

Ha egy bizonyos egyenes egyenlete ismert, akkor a tanulmány geometriai tulajdonságok ez az egyenes az egyenlet tanulmányozására redukálható – ez az analitikus geometria egyik fő gondolata. Az egyenletek tanulmányozására jól kidolgozott módszerek léteznek matematikai elemzés, amelyek leegyszerűsítik a vonaltulajdonságok vizsgálatát.

A vonalak mérlegelésekor a kifejezést használják aktuális pont egyenes – változó pont M( x,y), ezen a vonalon haladva. Koordináták xÉs nál nél aktuális pontot hívják aktuális koordináták vonalpontok.

Ha a (2.1) egyenletből explicit módon kifejezhetjük nál nél
keresztül x, azaz a (2.1) egyenletet alakba írjuk, akkor az ilyen egyenlettel meghatározott görbét ún. menetrend funkciókat f(x).

1. Az egyenlet adott: , vagy . Ha x akkor tetszőleges értékeket vesz fel nál nél egyenlő értékeket vesz fel x. Ezért az egyenlet által meghatározott egyenes pontokból egyenlő távolságra van koordináta tengelyek Ox és Oy az I–III koordinátaszögek felezőszöge (egyenes a 2.1. ábrán).

A vagy egyenlet határozza meg a II–IV koordinátaszögek felezőjét (egyenes a 2.1. ábrán).

0 x 0 x C 0 x

rizs. 2.1 ábra. 2.2 ábra. 2.3

2. Adott egyenlet: , ahol C valamilyen állandó. Ez az egyenlet másképp is felírható: . Ezt az egyenletet ezek és csak azok a pontok, ordináták teljesítik nál nél amelyek bármely abszcissza érték esetén egyenlők C-vel x. Ezek a pontok az Ox tengellyel párhuzamos egyenesen fekszenek (2.2. ábra). Hasonlóképpen, az egyenlet egy egyenest határoz meg, a tengellyel párhuzamos Oy (2.3. ábra).

Nem minden F( alakú egyenlet x,y A )=0 egy egyenest határoz meg a síkon: az egyenletet egyetlen pont – O(0,0) – teljesíti, és az egyenletet a síkon egyetlen pont sem teljesíti.

A megadott példákban mi adott egyenletépített egy egyenest, amelyet ez az egyenlet határoz meg. Mérlegeljük inverz probléma: megalkotja az egyenletét egy adott egyenes segítségével.

3. Hozzon létre egyenletet egy körre, amelynek középpontja a P( a,b) És
sugár R .

○ Az a kör, amelynek középpontja a P pontban van és sugara R, olyan pontok halmaza, amelyek R távolságra helyezkednek el a P ponttól. Ez azt jelenti, hogy bármely, a körön fekvő M pontra MP = R, de ha M pont nem a kör, majd MP ≠ R.. ●

Hasonló cikkek