Министерство на образованието на Република Беларус

Образователна институция

Брест Държавен университеткръстен на A.S. Пушкин

Физически факултет

Катедра Методика на обучението по физика и ОТД

КУРСОВА РАБОТА

НЕЛИНЕЙНИ ТРЕПТЕНИЯ И СИНХРОНИЗАЦИЯ НА ТРЕПТЕНИЯТА

Изпълнява студент от група FI-51

Пашкевич А.Я.

Научен ръководител:

Доцент доктор. н.с., доц. Н.Н

Брест, 2012 г

Въведение

1.1 Линейни трептения при наличие на детерминирана външна сила

2. Свободни вибрации на консервативни системи с нелинейни възстановяващи сили

2.1 Свободни нелинейни трептения на системи с демпфираща и нелинейна възстановяваща сила

2.2 Различни типове функции0

3. Незатихващи и релаксационни трептения

3.1 Качествен анализ на уравнението на Ван дер Пол

3.2 Свързани нелинейни трептения, фазово заключен регенеративен приемник и принцип на синхронизация

3.3 Основни уравнения

3.4 Трептения с голяма разстройка

3.5 Комбинирани трептения с постоянна амплитуда

3.6 Електрически проблеми, водещи до уравнението на Хил

Заключение

Библиография

Въведение

Не е изненадващо, че един физик трябва да може да намира решения на нелинейни проблеми, тъй като много явления, които се случват в света около него, се контролират от нелинейни зависимости. В развитие математически наукиТрудностите на нелинейния анализ попречиха на формулирането на идеи за нелинейни движения, които биха позволили по-задълбочено разбиране на такива явления.

Ако погледнете назад към историята на научните постижения, прави впечатление, че основните усилия на изследователите са били насочени само към изучаване линейни системии върху линейни концепции. Ако в същото време погледнете света около нас, буквално на всяка крачка се натъквате на явления, които са нелинейни по природа. Линейните концепции осигуряват само повърхностно разбиране на голяма част от това, което се случва в природата. За да бъде анализът по-реалистичен, е необходимо да се постигне повече високо нивои по-голяма лекота в разбирането и използването на нелинейни представяния.

През последните години те се развиха компютърни методианализ и в много случаи се смяташе, че получените решения могат да осигурят по-добро разбиране на проявите на нелинейност. Най-общо казано, установено е, че простото търсене на числени решения води само до малко по-добро разбиране на нелинейните процеси, отколкото, например, наблюдението на самата природа, „смилане“ на решения на такъв специфичен нелинеен проблем като времето. Изглежда, че нашето разбиране не се основава на уравнения или техните решения, а по-скоро на фундаментални и добре научени концепции. Обикновено ние разбираме нашата среда само когато можем да я опишем от гледна точка на концепции, които са толкова прости, че могат да бъдат добре разбрани, и толкова общи, че можем да работим с тях, без да се позоваваме на конкретна ситуация. Списъкът с такива понятия е обширен и включва например термини като резонанс, хистерезис, вълни, Обратна връзка, гранични слоеве, турбуленция, ударни вълни, деформация, метеорологични фронтове, имунитет, инфлация, депресия и т.н. Повечето от най-полезните процеси са нелинейни по природа и нашата неспособност да опишем с прецизен математически език такива ежедневни явления като потока на водата в канавката или на къдриците от цигарен дим, отчасти се крие във факта, че не сме искали да се потопим в и да разберем нелинейната математика по-рано.

Феноменът на резонанса, както е известно, често се среща в живата материя. Следвайки Винер, Szent-Györgyi предлага значението на резонанса за структурата на мускулите. Оказва се, че веществата със силни резонансни свойства обикновено имат изключителна способност да съхраняват както енергия, така и информация, а такова натрупване несъмнено се извършва в мускула.

Нелинейните трептения, произволните нелинейни трептения и свързаните (фазово синхронизирани) нелинейни трептения съставляват самата същност на явленията в много области на науката и технологиите, като комуникации и енергия; протичат ритмични процеси в биологичните и физиологичните системи. Биофизик, метеоролог, геофизик, ядрен физик, сеизмолог - всички те се занимават с нелинейни трептения, често фазово заключени в една или друга форма. Например енергетик се занимава с проблема за стабилността на синхронните машини, комуникационен инженер се занимава с нестабилността на времевия избор или синхронизация, физиолог се занимава с клонус, невролог се занимава с атаксия, метеоролог се занимава с честотата на флуктуациите в атмосферно налягане, кардиолог се занимава с колебания, причинени от работата на сърцето, биолог - с колебания, причинени от хода на биологичния часовник.

Основната цел на дисертацията е да разгледа редица проблеми в теорията на нелинейните трептения, свързани с такива фундаментални понятия като улавяне (или синхронизация), проследяване, демодулация и фазово-кохерентни комуникационни системи. Ще бъде направен опит да се направи преглед на нелинейни задачи от практически интерес, чиито решения са написани в достъпна форма. Прегледът не е изчерпателен, но включва примерни проблеми, които служат за илюстриране на основните концепции, необходими за разбиране на нелинейните свойства на фазово заключените системи. Въпросът за съществуването и уникалността на решенията е засегнат само повърхностно; основният фокус е върху методите за получаване на решения.

Разгледаният материал може да се групира в три основни теми. Първата тема включва представяне на резултатите от теорията на линейните трептения в системи с една степен на свобода, като постоянни параметри. Този материал се използва като справка и за сравнение с резултатите, получени от теорията на нелинейните трептения. Втората тема е посветена на лесно интегрирани нелинейни системи, които не се влияят от външни зависещи от времето сили. Тук с помощта на апарата за фазова равнина се изследват в детайли свободните трептения на нелинейни системи. Дадено е кратко резюме на теорията на Поанкаре за особените точки на диференциалните уравнения от първи ред. Полезността на концепцията за особена точка се илюстрира чрез решаването на редица физически проблеми. И накрая, третата тема обхваща принудителни, самоподдържащи се трептения (самотрептения) и релаксационни нелинейни трептения. По-специално ще бъде обсъдено приложението на теорията на ван дер Пол към проблемите на синхронизацията и проследяването и главата ще завърши с обсъждане на уравнението на Хил.

1. Свободни вибрации в линейни системи

Изглежда ценно и интересно да се обобщят основните характеристики на линейните трептения. Тук има редица причини да направите това. Една от основните ни задачи е да сравняваме линейни и нелинейни методиизследвания на вибрациите. Освен това стана практика да се прилага, доколкото е възможно, терминологията, използвана в линейните проблеми, към нелинейните. И накрая, полезно е да имате обобщение на основните идеи и формули линейна теорияза по-лесно справяне.

Може би най-простият пример за проблем с линейни колебания се предоставя от проста електрическа верига, състояща се от индуктивност, свързана последователно с кондензатор и резистор (фиг. 1). Механичният аналог, показан на фиг. 1, се състои от тяло с маса, прикрепено към пружина, която развива сила (наречена възстановяваща сила), пропорционална на изместването на тялото. За тази електрическа система, използвайки закона на Кирхоф, имаме

Ако приемем, че тяло в механична система се движи в среда, която оказва съпротивление, пропорционално на скоростта ( вискозно триене), тогава уравнението на движение за трептения механична системасе дава от отношението

По аналогия имаме това; ; и освен това е аналог на изместването.

Ориз. 1.Линейни електрически и механични системи

Ако приемем за сега това външна силаи въвеждане на нотации

свеждаме (1.2) до формата

Тъй като трептенията, определени от това линейно хомогенно уравнение, се наричат ​​свободни линейни трептения. Общо решение линейно уравнениес постоянни коефициентиИма линейна комбинациядве експоненциални функции:

където и са произволни константи, които се определят начални условия, a и са корените на характеристичното уравнение

По този начин и са дадени от отношенията

Ако искаме да представим решението (1.5) в реална форма, разглеждаме три случая, когато количеството е: а) реално, б) нула, в) имагинерно. Лесно е да се покаже, че решенията приемат формата

къде и са реални; и са произволни константи, които се определят чрез задаване на стойностите на изместване (ток) и скорост в някакъв начален момент.

Най-често в практиката се среща уравнение (1.8 - а). Както е лесно да се види от (1.3), този случай възниква, ако коефициентът на затихване е малък в сравнение с. Уравнение (1.8 - а) в този случай описва такова осцилаторно движение, че всеки два последователни максимума и премествания удовлетворяват отношението

пер. от английски Болдова Б. А. и Гусев Г. Г. Под редакцията на В. Е. Боголюбов. - М.: Мир, 1968. - 432 с.
УДК 534 (Механични вибрации. Акустика). Има текстов слой (т.е. текстът се копира лесно).
Монографията на известния японски учен Т. Хаяши е посветена на теорията на нелинейните колебателни процеси, протичащи в голямо разнообразие от физически системи.
Книгата е преработено и разширено издание на една от по-ранните работи на автора, позната на съветския читател от руския превод (Т. Хаяши, Принудени колебания в нелинейните системи, Ил, М., 1957 г.). След обработка и допълнения обаче резултатът всъщност беше нова книга.
Той се различава от предишния не само в нови раздели, но и в значително подобрен метод на представяне. Книгата представлява интерес както за физици и инженери от различни специалности, занимаващи се с теорията на нелинейните трептения и нейните приложения, така и за математици, занимаващи се с теория на диференциалните уравнения.
Съдържание.
Предговор към руското издание.
Предговор.
Въведение.
Част i. Основни методи за анализ на нелинейни трептения.
Глава i.
Аналитични методи.
Въведение.
Пертурбационен метод.
Итерационен метод.
Метод на осредняване.
Принципът на хармоничния баланс.
Числени примери за решаване на уравнението на Дъфинг.
Глава II.
Топологични методи и графични решения.
Въведение.
Интегрални криви и особени точки на равнината на състоянието.
Интегрални криви и особени точки в пространството на състоянията.
Изоклиничен метод.
Метод на Лиенард.
Делта метод.
Метод на наклонените линии.
Глава iii.
Устойчивост на нелинейни системи.
Определяне на устойчивостта по Ляпунов.
Критерий на Routh-Hurwitz за нелинейни системи.
Критерий за устойчивост на Ляпунов.
Устойчивост на периодичните трептения.
Уравнение на Матийо.
Уравнение на Хил.
Подобрена апроксимация на характеристичния показател за.
Уравнения на Хил.
Част II, Принудени трептения в стабилно състояние.
Глава iy.
Устойчивост на периодични трептения в системи от втори ред.
Въведение.
Условие за устойчивост на периодични решения.
Подобрени условия за стабилност.
Допълнителни бележки относно условията на стабилност.
Глава y.
Хармонични вибрации.
Хармонични трептения със симетрична нелинейна характеристика.
Хармонични трептения с несиметрична нелинейна характеристика.

Глава Yi.
Ултрахармонични вибрации.
Ултрахармонични вибрации c.
последователни резонансни вериги.
Експериментално изследване.
Ултрахармонични трептения в паралелни резонансни вериги.
Експериментално изследване.
Глава Yii.
Субхармонични вибрации.
Въведение.
Връзка между нелинейна характеристика и ред.
субхармонични вибрации.

характеристика, представена от кубична функция.
Субхармоничните трептения са от порядъка на 1/3 с нелинейни.
характеристика, представена от полином от пета степен.
Експериментално изследване.

характеристика, представена от полином от трета степен.
Субхармоничните трептения са от порядъка на 1/2, когато са нелинейни.
характеристика, представена от симетричен квадрат.
функция.
Експериментално изследване.
Част iii. Преходни процеси принудени трептения.
Глава Yiii.
Хармонични вибрации.
Въведение.
Периодични разтвори и тяхната устойчивост.
Анализ на хармонични вибрации с помощта на интегрални.
извивки.
Анализ на хармоничните трептения във фазовата равнина.
Геометричен анализ на интегрални криви за консервативни системи.
Геометричен анализ на интегрални криви за дисипативни системи.
Експериментално изследване.
Глава ix.
Субхармонични вибрации.
Анализ на субхармонични вибрации с помощта на интегрални криви.
Анализ на субхармонични трептения от порядък 1/3 на фазовата равнина.
Експериментално изследване.
Субхармонични вибрации от порядъка на 1/5.
Субхармоничните вибрации са от порядъка на 1/2.
Анализ на субхармонични трептения от порядък 1/2 на фаза едно.
самолет.
Изследване на аналогов компютър.
Глава х.
Първоначални условия, водещи до различни видове.
периодични трептения.
Метод на анализ.
Симетрични системи.

флуктуациите са около 1/3.
Асиметрични системи.
Области на привличане на хармонични и субхармонични.
вибрации от порядъка на 1/2 и 1/3.
Експериментални изследвания.
Глава Xi.

Въведение.
Почти периодични трептения в резонансна верига с постояннотоково отклонение.
Съдържание.
Експериментално изследване.
Почти периодични трептения по параметричен начин.
възбудена верига.
Част iv. Автоколебателни системи при периодично въздействие на външна сила.
Глава XII.
Заключване на честотата.
Въведение.

Хармонично улавяне.
Ултрахармонично улавяне.
Субхармонично улавяне.
Зони за заключване на честотата.
Анализ с помощта на аналогов компютър.

Автоколебателна система с нелинейна възстановяваща сила.
Глава XIII.
Почти периодични трептения.
Уравнение на Ван дер Пол с форсиращ член.

хармонични вибрации.
Геометрично разглеждане на интегрални криви на.
границата на хармонично улавяне.
Почти периодични трептения, произтичащи от.
ултрахармонични вибрации.
Почти периодични трептения, произтичащи от.
субхармонични вибрации.
Самоосцилираща система с нелинейна възстановяваща сила.
Приложение i. Разширения на функции на Матийо.
Приложение ii. Нестабилни решения на уравнението на Хил.
Приложение iii. Нестабилни решения на обобщеното уравнение на Хил.
Приложение iv. Критерий за стабилност, получен с помощта на метода.
смущения.
Приложение v. Забележки относно интегрални криви и особени точки.
Приложение Vi. Електронен синхронен комутатор.
Задачи.
Литература.
показалец.
Т. Хаяши.
Нелинейни трептения във физически системи.

Редактор Н. Плужнакова Художник А. Шкловская.
Художествен редактор В. Шаповалов Технически редактор Н. Турсукова.
Пуснат в производство на 9/X 1967 г. Подписан за печат на 25/W 1968 г.
Хартия 60х90у1в-= 13,5 хартия. л. 27.0 бр. л.
Уч. -ред. л. 24,
0. Изд. No 1/3899.
Цена 1 rub. 91 к. Зак. 907.
Темплан 1968, изд.Мир, пор. № 38.
Издателство "Мир", Москва, 1-ви Рижски пер. , 2.
Ленинградска печатница № 2 на името на Евгения Соколова от Комитета на Главполиграфпром.
за печата към Министерския съвет на СССР. Измайловски пр., 29.

Вижте също

Андрианов И.В., Данишевски В.В., Иванков А.О. Асимптотични методи в теорията на трептенията на греди и плочи

• файлов формат: pdf
• размер: 5.53 MB
• добави: 25 септември 2011 г

Днепропетровск: Приднепровская държавна академиястроителство и архитектура, 2010, 217 с. В монографията се разглеждат асимптотични методи за решаване на задачи за вибрации на греди и плочи. Основно внимание е отделено на метода на хомотопичните смущения, който се основава на въвеждането на изкуствен малък параметър. Линейни вибрации на конструкции със смесени гранични условия, както и нелинейни вибрации на системи с разпределени...

Вибрации в техниката. Том 6. Защита от вибрации и удари

• файлов формат: djvu
• размер: 7.28 MB
• добавено: 27 октомври 2009 г

Фролов К.В., шестият том очертава методите за намаляване на вибрационната активност на източниците на вибрации и регулиране на динамичните гасители. Разгледани са въпросите за балансиране на въртящи се машинни части, балансиране на машини и механизми, избор на рационални закони за движение на работните части на машини, изолация на оборудване и основи, както и проблемът за защита на хората от вибрации. Справочникът е предназначен за инженерно-технически работници, занимаващи се с изчисления,...

Ганиев R.F., Кононенко V.O. Вибрации на твърди тела

• файлов формат: djvu
• размер: 8.89 MB
• добавено: 27 октомври 2011 г

М.: Наука, 1976, 432 с. Изследвани са нелинейните колебания в пространственото движение, по-специално условията за възникване на резонанси. Работата е уместна при създаване на амортизационни системи за авиационна и космическа техника. Академик Ганиев Р.Ф РАН, Кононенко В. О. - академик. Академия на науките на Украйна. Еластичен амортисьор 39 Затихване на вибрации 145, 41, 7 Изолация на вибрации 145, 417 Кинематично възбуждане 134, 358 Двуосов жироскоп 343 Триаксиален жироскоп 353 Астатичен жироскоп...

Den-Gartog D.P. Механични вибрации

• файлов формат: djvu
• размер: 7.5 MB
• добавено: 25 май 2010 г

М. Физматгиз. 1960 г 574 стр. Кинематика на трептенията. Системи с една степен на свобода. Две степени на свобода. Системи с произволен брой степени на свобода. Многоцилиндрови двигатели. Въртящи се машинни части. Автоколебания. Квазихармонични и нелинейни трептения на системи.

Мигулин В.В. Основи на теорията на вибрациите

• файлов формат: djvu
• размер: 3.88 MB
• добавено: 10 януари 2010 г

Книгата запознава читателя с общи свойстваколебателни процеси, протичащи в радиотехнически, оптични и други системи, както и с различни качествени и количествени методи за тяхното изследване. Значително внимание е отделено на разглеждането на параметрични, автоколебателни и други нелинейни колебателни системи. Изследването на описаните в книгата трептителни системи и процеси в тях е представено с добре познати методи на теорията на трептенията без подробности...

Обморшев А.Н. Въведение в теорията на трептенията

• файлов формат: pdf
• размер: 8.75 MB
• добавено: 23 февруари 2010 г

Нелинейните ефекти могат да се проявят по много различни начини. Класическият пример е нелинейна пружина, в която възстановяващата сила варира нелинейно с удължаване. В случай на симетрична нелинейност (еднаква реакция при натиск и опън), уравнението на движението приема формата

Ако няма затихване и има периодични решения, при които собствената честота нараства с амплитудата.

Ориз. 1.7. Класическата резонансна крива на нелинеен осцилатор с твърда пружина в случая, когато трептенията са периодични и имат същия период като движещата сила (и са определени в уравнение (1.2.4)).

Този модел често се нарича уравнение на Дъфинг, на името на математика, който го е изучавал.

Ако върху система действа периодична сила, тогава в класическата теория се смята, че отговорът също ще бъде периодичен. Резонансът на нелинейна пружина при честота на реакция, която съответства на честотата на силата, е показан на фиг. 1.7. Както е показано на тази фигура, когато амплитудата на задвижващата сила е постоянна, има диапазон от задвижващи честоти, в който са възможни три различни значенияамплитуди на отговор. Може да се покаже, че пунктираната линия на фиг. 1.7 е нестабилен и се появява хистерезис, когато честотата се увеличава и намалява. Това явление се нарича превишаване и се наблюдава при експерименти с много механични и електрически системи.

Има и други периодични решения, като субхармонични и суперхармонични трептения. Ако движещата сила има формата , тогава субхармоничните трептения могат да имат формата плюс висши хармоници (- цяло число). Както ще видим по-долу, субхармониците играят важна роля в предхаотичните трептения.

Теорията за нелинейния резонанс се основава на предположението, че периодичен стимул предизвиква периодичен отговор. Но точно този постулат е оспорен от новата теория за хаотичните трептения.

Самовъзбуждащите се трептения са друг важен клас нелинейни явления. Това са колебателни движения, които възникват в системи без периодични външни влияния или периодични сили. На фиг. 1.8 показва някои примери.

Ориз. 1.8. Примери за самовъзбуждащи се трептения: a - сухо триенемежду маса и движещ се ремиум; b - аероеластични сили, действащи върху тънко крило; c - отрицателно съпротивление във веригата с активния елемент.

В първия пример вибрациите се причиняват от създадено триене относително движениемаса и подвижна лента. Вторият пример илюстрира цял клас аероеластични вибрации, при които неподвижните вибрации причиняват постоянен потоктечности за твърдо тялона еластично окачване. В класическия електрически пример, показан на фиг. 1.9 и проучен от Ван дер Пол, във веригата е включена вакуумна тръба.

Във всички тези примери системата съдържа стационарен източник на енергия и източник на разсейване или нелинеен механизъм за затихване. В случая на осцилатора на Ван дер Пол източникът на енергия е постоянно напрежение.

Ориз. 1.9. Диаграма на верига с вакуумна тръба, осцилираща на граничен цикъл от същия тип, изследван от Ван дер Пол.

IN математически моделВ тази верига източникът на енергия влиза под формата на отрицателно съпротивление:

Енергията може да навлезе в системата при малки амплитуди, но с увеличаването на амплитудата нейният растеж е ограничен от нелинейно затихване.

В случая на махало на Фруд (вижте например ), енергията се доставя от стационарно въртене на оста. За малки трептения нелинейното триене играе ролята на отрицателно затихване; Междувременно при силни трептения амплитудата на трептенията е ограничена от нелинейния член

Осцилаторните движения на такива системи често се наричат ​​гранични цикли. На фиг. Фигура 1.10 показва траекториите на осцилатора на Ван дер Пол във фазовата равнина. Малките трептения се развиват в спирала, приближавайки се до затворена асимптотична траектория, а движенията с голяма амплитуда се свиват в спирала до същия граничен цикъл (виж Фиг. 1.10 и 1.11, където ).

При изучаването на подобни проблеми често възникват два въпроса. Каква е амплитудата и честотата на трептенията при граничния цикъл? За какви стойности на параметрите съществуват стабилни гранични цикли?

Ориз. 1.10. Решението на граничния цикъл за осцилатора на Ван дер Пол, изобразено на фазовата равнина.

Ориз. 1.11. Релаксационни трептения на осцилатора на Ван дер Пол.

В случая на уравнението на ван дер Пол е удобно да се нормализира пространствената променлива с и времето с, така че уравнението да приеме формата

Където . За малки стойности граничният цикъл е кръг с радиус 2 на фазовата равнина, т.е.

където са означени хармоници от трети и по-висок ред. При голямо движение приема формата на релаксационни трептения, показани на фиг. 1.11, с безразмерен период от около 1.61 at

Проблемът с периодичната сила в системата на Ван дер Пол е по-сложен:

Тъй като тази система е нелинейна, принципът на суперпозиция на свободни и принудени трептения не е приложим. Вместо това полученото периодично движение се улавя при честотата на задвижване, когато последната е близо до честотата на граничния цикъл. При слабо външно влияние има три периодични решения, но само едно от тях е стабилно (фиг. 1.12). За големи амплитуди на силата има само едно решение. Във всеки случай, с увеличаване на разстройката - при фиксирана, уловеното периодично решение се оказва нестабилно и стават възможни други видове движение.

Ориз. 1.12. Амплитудни криви за принудително движение на осцилатора на Ван дер Пол (1.2.9).

Когато има големи разлики между задвижващата и естествената честота, се появява ново явление в системата на Ван дер Пол - комбинирани трептения, понякога наричани почти периодични или квазипериодични решения. Комбинационните трептения имат формата

Когато честотите и са несъизмерими, т.е. ирационално число, решението се нарича квазипериодично. За уравнението на ван дер Пол, където е честотата на граничния цикъл на свободните трептения (вижте например).

Далеч от всички колебания, възстановяващата сила е пропорционална на деформацията (т.е. променя се според закона (- kh)).Помислете например за пружината, показана на фигура 2.74. Състои се от няколко плочи. При малки деформации се огъват само дълги плочи. При по-големи натоварвания по-късите (и по-твърди) плочи също са обект на огъване. Възстановяващата сила сега може да бъде описана по следния начин:

бойният режим преминава към апериодичен,когато вибрациите изчезнат и тялото просто бавно се приближи до равновесното положение (фиг. 2.72, б, в).

Въведете вместо линията, където са поставени точките (t,x),линия, където ще бъдат поставени точки ( x,v), и да получите фазови портрети на затихнали трептения при различно триене. Можете да използвате и някоя от готовите програми Phaspdem*или Phport *от наличните в пакета ПАКПРО. Трябва да получите диаграми като тези, показани на Фигура 2.73.

Така че се връща, т.е. ЕИ хвинаги имаше различни знаци, трябва да се разшири в серия с нечетни степени Х.Тъй като потенциалната енергия Uсвързани със силата по формулата Е = - dU/dx, означава, че

т.е. възникват колебания в потенциална яма със стени, по-стръмни от тези на парабола (фиг. 2.75, а). Триенето на плочите една срещу друга осигурява необходимото затихване на вибрациите.

Осцилации са възможни и в асиметрична яма, когато

(Фиг. 2.75, b). Възстановяващата сила ще бъде равна на

При решаването на проблеми, включващи нелинейни вибрации, използването на компютър е неизбежно, тъй като няма аналитични решения. На компютър решението не е никак трудно. Необходимо е само в линията, където скоростта е увеличена (ср = v + F At/m),напишете пълния израз за F, например -гх-гх 2 - px 3.

Пример. Програмата за начертаване на нелинейни трептения е дадена в пакета PAKPRO под наименованието Nlkol.Пуснете го на работа. Трябва да получите серия от криви за различни първоначални отклонения. Когато x 0 е по-голямо от определена стойност, осцилиращата частица напуска потенциалната яма, след като е преодоляла потенциалната бариера.

Тествайте и програмите Nlcol*И Nlosc.*,налични в пакета PAKPRO, както и програми, с които можете да получите фазови портрети на нелинейни трептения: Phaspnl.*, Phportnl*.

Имайте предвид, че строго погледнато, почти всички трептения са нелинейни. Само при малки амплитуди те могат да се считат за линейни (пренебрегване на членове с x 2, x 3 и т.н. във формули като (2.117)).

Нека осцилаторът, в допълнение към възстановяващата сила, осигуряваща собствените си трептения с честота Co, се въздейства от външна сила, която се променя периодично с честота co, равна или не равна на (Oo). с честота възникващи при това трептения се наричат принуден.

Уравнението на движението в този случай ще бъде както следва:

Първо, възниква процесът на установяване на трептения. От първия удар тялото започва да трепти със собствена честота от 0. След това постепенно естествените трептения изчезват и движещата сила започва да контролира процеса. Принудените трептения се установяват вече не с честота (Оо, а с честотата на движещата сила co. Процесът на преход е много сложен, няма аналитично решение. При решаване на задачата числен методпрограмата няма да бъде по-сложна от, да речем, програма за затихващи трептения. Необходимо е само в линията, където в съответствие с уравнението на движение скоростта се увеличава, добавете движеща сила във формата FobiH = Focos(cot).

Пример. Пакетът PAKG1RO предоставя пример за програма за получаване на графика на принудени вибрации на компютърен екран. Вижте също програми Ustvcol.пасИ UstvcoW.pas.Получената x(?) графика и фазова диаграма v(x)са показани на фигура 2.76. При успешен избор на параметри ясно се вижда как постепенно се установяват принудителни трептения. Интересно е също да се наблюдава установяването на принудени трептения във фазовата диаграма (програма Phpforc.pas).

Когато трептенията с честота co вече са се установили, решение на уравнение (2.118) може да се намери във формата

Тук Jo е амплитудата на осцилациите в стационарно състояние. Ако заместим (2.119) в (2.118), след като първо сме намерили производните по време Х"И Х"и предвид това Да се= coo 2 tn, тогава се оказва, че (2.119) ще бъде решение на уравнение (2.118), при условие че

Триенето не е взето предвид, коеф Аразчиташе равно на нула. Вижда се, че амплитудата на трептенията рязко се увеличава с приближаването на co до C0 (фиг. 2.77). Това явление се нарича резонанс.

Ако наистина нямаше триене, амплитудата при с = (Оо би била безкрайно голяма. В действителност това не се случва. Същата Фигура 2.77 показва как се променя резонансната крива с увеличаване на триенето. Но все пак, ако co и co съвпадат, амплитудата може да стане десетки и стотици пъти повече, отколкото при ЕТАКА. В технологията това явление е опасно, тъй като принудителните вибрации на двигателя могат да резонират с естествената честота на всяка част от машината и тя може да бъде унищожена.

НЕЛИНЕЙНИ ОСЦИЛАЦИИ

Трептения във физич системи, описани с нелинейни системи от обикновени диференциални уравнения

Където съдържа членове от поне 2-ра степен във векторните компоненти - векторна функция на времето - малък параметър (или и ). Възможните обобщения са свързани с разглеждането на прекъснати системи, въздействия с прекъснати характеристики (например като хистерезис), закъснение и случайни въздействия, интегро-диференциални и диференциални операторни уравнения, осцилаторни системи с разпределени параметри, описани от частични диференциални уравнения, както и като използване на методи за оптимално управление на нелинейни осцилационни системи. Основните общи задачи на N.K.: намиране на равновесни положения, стационарни режими, по-специално периодични. движения, собствени трептения и изследване на тяхната устойчивост, проблеми на синхронизацията и стабилизацията на Н.К.

Всички физически системите, строго погледнато, са нелинейни. Една от най-характерните особености на НК е нарушаването при тях на принципа на наслагване на трептенията: резултатът от всяко от въздействията при наличие на другото се оказва различен от този при липса на другото въздействие.

Квазилинейни системи - системи (1) за . Основният метод на изследване е метод с малък параметър.На първо място, това е методът на Поанкаре-Линдщет за определяне на периодичността. решения на квазилинейни системи, които са аналитични по параметъра за достатъчно малки стойности, или под формата на редове по степени (вижте глава IX), или под формата на серии по степени и - добавки към първоначалните стойности на векторните компоненти (виж глава III). За по-нататъшно развитие на този метод вижте например в -.

Друг метод с малък параметър е методът осредняване.В същото време в изследването на квазилинейните системи навлязоха нови методи: асимптотични. методи (виж,), методът на K-функциите (виж), базиран на фундаменталните резултати на А. М. Ляпунов - Н. Г. Четаева и др.

По същество нелинейни системи, в които няма предварително определен малък параметър. За системи Ляпунов

и сред собствените стойности на матрицата няма кратни на корена - аналитичен векторна функция Х,разширението започва с термини от поне 2-ри ред и има аналитичен от специален тип; А. М. Ляпунов (виж § 42) предлага метод за намиране на периодични. решения под формата на редица по степени на произволна константа c (за която може да се вземе началната стойност на една от двете критични променливи или ).

За системи, близки до системите на Ляпунов,

където от същата форма като в (2), - аналитичен. векторна функция и малък параметър, непрекъснат и -периодичен в T,предлага се и метод за определяне на периодичността. решения (вж. глава VIII). Системи от тип Ляпунов (2), в които има lнула собствени стойностис прости елементарни делители две са чисто въображаеми собствени стойности и нямат собствени стойности, които са кратни на - същото като в (2), може да се сведе до системи на Ляпунов (виж IV.2). Н.К. също учи в системи Ляпунов и в т.нар. системи на Ляпунов с амортизиране и също така реши общия проблем с изпомпването на енергия в тях (виж глави I, III, IV).

Нека по същество нелинейното се редуцира до Йордановата форма на неговата линейна част

където векторът по предположение има поне един ненулев компонент; , са равни съответно на нула или единица при липса или наличие на сложни елементарни делители на матрицата на линейната част, - коефициенти; Стойностите на вектор с целочислени компоненти са както следва:

След това има нормализираща трансформация:

което води (3) до нормалната форма на диференциалните уравнения

и такива, че ако . По този начин (5) съдържа само , т.е. коефициентите могат да бъдат различни от нула само за тези, за които резонансното уравнение е изпълнено

играе важна роля в теорията на трептенията. Конвергенцията и дивергенцията на нормализиращата трансформация (4) е изследвана (вижте част I, глави II, III); е дадено изчисляването на коефициентите (чрез тяхната симетризация) (виж § 5.3). При редица проблеми на нелинейни автономни системи методът се е доказал като ефективен. нормални форми(виж, гл. VI-VIII).

Сред другите методи за изучаване на по същество нелинейни системи се използва методът на точковото картографиране (виж,), stroboskonic. метод и функционално-аналитичен. методи.

Качествени методи на нелинейни диференциални уравнения. Отправна точка тук е изследването на формата на интегралните криви на нелинейните обикновени диференциални уравнения, извършено от А. Поанкаре (N. Poincare, виж). Приложения за N.K проблеми, описани от автономни системи от 2-ри ред, вижте. Изследвани са въпросите за съществуването на периодичност. решения и тяхната устойчивост в големи за многомерни системи; Разглеждат се почти периодични непериодични уравнения Приложения на теорията на обикновените диференциални уравнения с малък параметър за определени производни към проблемите на релаксационните нелинейни уравнения, виж.

Важни аспекти на Н. к. и лит. виж статии Смущения, теория на трептенията.

Лит.: Поанкаре А., Избр. произведения, прев. от френски, т. 1, М., 1971; Андронов А. А., Вит А. А., Хайкин С. Е., Теория на трептенията, 2 изд., М., 1959; Булгаков Б.В., Трептения, М., 1954; Малкин И.Г., Някои проблеми на теорията на нелинейните трептения, М., 1956: Боголюбов Н.Н., Избр. съчинения, т. 1, К., 1969; [b] Боголюбов Н.Н., Митрополски Ю.А., Асимптотични методи в теорията на нелинейните трептения, 4 изд., М-, 1974; Каменков Г.В., Избр. съчинения, т. 1-2, М., 1971-72; Ляпунов А. М., Колекция. съч., т. 2, М.-Л., 195Б, с. 7-263; Старжински В.М., Приложни методи на нелинейни трептения, М., 1977; Бруно А.Д., "Тр. Московско математическо общество", 1971 г., том 25, стр. 119-262; 1972, том 26, с. 199-239; Неймарк Ю. И., Метод на точковите преобразувания в теорията на нелинейните трептения, М., 1972; Minorsky N., Въведение в нелинейната механика, Ann Arbor, 1947; Красноселски М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С., Нелинейни почти периодични колебания, М., 1970; Поанкаре А., За криви, определени от диференциални уравнения, прев. от френски, М. -Л., 1947; Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А., Въведение в теорията на нелинейните трептения, М., 1976; Plise V.A., Нелокални проблеми на теорията на трептенията, M. -L., 1964; Мишченко Е. Ф., Розов Н. X., Диференциални уравнения с малък параметър и релаксационни трептения, М., 1975.

В. М. Старжински.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво представляват „НЕЛИНЕЙНИ ОСЦИЛАЦИИ“ в други речници:

нелинейни трептения- - [Я.Н.Лугински, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо-руски речник по електротехника и енергетика, Москва, 1999] Теми на електротехниката, основни понятия EN нелинейни трептения ... Ръководство за технически преводач

нелинейни трептения- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. нелинейни трептения; нелинейни вибрации vok. nichtlineare Schwingungen, ф рус. нелинейни трептения, n pranc. нелинейни трептения, f … Fizikos terminų žodynas

Термин, който понякога се използва за означаване на трептения в нелинейни системи (вижте Нелинейни системи) ... Велика съветска енциклопедия

Нелинейни трептения Нелинейни вибрации Специализация ... Wikipedia

Процеси в трептене. и вълнови системи, които не отговарят на принципа на суперпозицията. Нелинейни трептения или вълни в общ случайвзаимодействат помежду си и техните характеристики (честота, форма на вибрация, скорост на разпространение, тип профил... ... Физическа енциклопедия

Осцилаторните системи силно зависят от протичащите в тях процеси. Трептенията на такива системи се описват с нелинейни уравнения. Нелинейни явления: механични. системи, при които еластичните модули на телата зависят от деформациите на последните или коефициентите. триене...... Физическа енциклопедия

Подобни статии