Sziasztok!

Ez a cikk a káosz világának csodálatos jellemzőivel foglalkozik. Megpróbálok beszélni arról, hogyan lehet megfékezni egy ilyen furcsa és összetett dolgot, mint egy kaotikus folyamat, és megtanulom, hogyan hozhat létre saját egyszerű káoszgenerátorokat. Önnel együtt a száraz elmélettől a térben zajló kaotikus folyamatok gyönyörű megjelenítéséig fogunk eljutni. Különösen a jól ismert kaotikus attraktorok példáján mutatom be, hogyan lehet dinamikus rendszereket létrehozni és felhasználni a programozható logikai integrált áramkörökkel (FPGA-kkal) kapcsolatos problémákban.

Bevezetés

Káoszelmélet egy szokatlan és fiatal tudomány, amely a nemlineáris dinamikus rendszerek viselkedését írja le. Megalakulása során a káoszelmélet egyszerűen felforgatta a modern tudományt! Felizgatta a tudósok elméjét, és arra kényszerítette őket, hogy egyre jobban elmerüljenek a káosz és tulajdonságainak tanulmányozásában. Ellentétben a zajjal, ami az véletlenszerű folyamat, a káosz meghatározza. Vagyis a káoszra a kaotikus folyamatot leíró egyenletekben szereplő mennyiségek változásának törvénye van. Úgy tűnik, hogy ezzel a definícióval a káosz nem különbözik a függvényként leírt többi rezgéstől. De ez nem igaz. A kaotikus rendszerek nagyon érzékenyek a kezdeti feltételekre, és bennük a legkisebb változás is óriási eltérésekhez vezethet. Ezek a különbségek olyan erősek lehetnek, hogy lehetetlen megmondani, hogy egy vagy több rendszert vizsgáltak-e. A népszerű tudományos források szerint a káosznak ezt a tulajdonságát a legjobban az úgynevezett folyamat írja le. pillangóeffektus"Sokan hallottak róla, sőt olyan könyveket is olvastak és filmeket is néztek, amelyekben a pillangóeffektust alkalmazták. A pillangóeffektus lényegében a káosz fő tulajdonságát tükrözi.

Edward Lorenz amerikai tudós, a káosz egyik úttörője egyszer ezt mondta:

A szárnyait csapkodó pillangó Iowában olyan hatások lavinát idézhet elő, amelyek az esős évszakban csúcsosodhatnak ki Indonéziában.

Tehát merüljünk el a káoszelméletben, és nézzük meg, milyen rögtönzött eszközök generálhatnak káoszt.

Elmélet

A fő anyag bemutatása előtt szeretnék néhány meghatározást adni, amelyek segítenek megérteni és tisztázni a cikk néhány pontját.

Dinamikus rendszer– ez egy bizonyos elemkészlet, amelynél a rendszer egyes elemeinek időkoordinátája és a fázisterében elfoglalt pozíció között funkcionális kapcsolat van megadva. Egyszerűen fogalmazva, a dinamikus rendszer olyan rendszer, amelynek térbeli állapota idővel változik.
A természetben számos fizikai folyamatot egyenletrendszerek írnak le, amelyek dinamikus rendszerek. Ilyenek például az égési folyamatok, a folyadékok és gázok áramlása, a mágneses mezők és az elektromos oszcillációk viselkedése, kémiai reakciók, meteorológiai jelenségek, növény- és állatpopulációk változásai, tengeri áramlatok turbulenciája, bolygók, sőt galaxisok mozgása. Amint látja, sok fizikai jelenség valamilyen szinten kaotikus folyamatként írható le.

Fázis portré egy olyan koordinátasík, amelyben minden pont egy dinamikus rendszer állapotának felel meg egy adott időpontban. Más szóval, ez a rendszer térbeli modellje (lehet kétdimenziós, háromdimenziós, sőt négydimenziós vagy több).

Vonzó– egy dinamikus rendszer fázisterének egy bizonyos halmaza, amelyhez idővel minden pálya ehhez a halmazhoz vonzódik. Nagyon leegyszerűsítve ez egy bizonyos terület, ahol a rendszer térbeli viselkedése koncentrálódik. Sok kaotikus folyamat vonzerőt jelent, mivel a tér egy bizonyos területén koncentrálódnak.

Végrehajtás

Ebben a cikkben a négy fő attraktorról szeretnék beszélni - Lorentz, Ressler, Rikitake és Nose-Hoover. Az elméleti leírás mellett a cikk a dinamikus rendszerek környezeti létrehozásának szempontjait is tükrözi MATLAB Simulinkés további integrációjuk a vállalat FPGA-jába Xilinx az eszköz segítségével Rendszergenerátor. Miért nem VHDL/Verilog? Az attraktorok szintetizálása lehetséges RTL nyelvek használatával, de az összes folyamat jobb megjelenítéséhez a MATLAB az ideális megoldás. Nem térek ki a Ljapunov-kitevők spektrumának kiszámításához vagy a Poincaré-szelvények megszerkesztéséhez kapcsolódó összetett kérdésekre. És még inkább, nem lesznek nehézkes matematikai képletek és következtetések. Tehát kezdjük.

A káoszgenerátorok létrehozásához a következő szoftverre van szükségünk:

• MATLAB R2014 Simulink és DSP Toolbox licenccel.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 System-Generator (DSP Edition) licenccel

Ezek a programok meglehetősen nehézkesek, ezért legyen türelmes a telepítésükkor. Jobb a telepítést a MATLAB-bal kezdeni, és csak utána telepíteni a Xilinx szoftvert (más sorrendben, néhány barátom nem tudta integrálni az egyik alkalmazást a másikba). Utóbbi telepítésekor felugrik egy ablak, ahol a Simulinket és a System Generatort összekapcsolhatjuk. A telepítésben nincs semmi bonyolult vagy szokatlan, ezért ezt a folyamatot elhagyjuk.

Lorentz attraktor

Lorentz attraktor talán a leghíresebb dinamikus rendszer a káoszelméletben. Már több évtizede számos kutató nagy figyelmét felkeltette bizonyos fizikai folyamatok leírása. Az attraktort először 1963-ban említették E. Lorenz munkáiban, aki a légköri jelenségek modellezésével foglalkozott. A Lorentz-attraktor elsőrendű nemlineáris autonóm differenciálegyenletek háromdimenziós dinamikus rendszere. Komplex topológiai szerkezetű, aszimptotikusan stabil és Ljapunov-stabil. A Lorentz-attraktort a következő differenciálegyenlet-rendszer írja le:

A képletben a paraméter feletti pont azt jelenti, hogy deriváltot veszünk, amely tükrözi egy mennyiség változásának sebességét a paraméterhez (a derivált fizikai jelentéséhez) képest.

Paraméterértékekkel σ = 10, r= 28 és b= 8/3 ezt az egyszerű dinamikus rendszert E. Lorentz kapta. Sokáig nem értette, mi történik a számítógépével, míg végül rájött, hogy a rendszer kaotikus tulajdonságokat mutat! Kísérletek során kaptuk a folyadékkonvekció modellezésére. Ezenkívül ez a dinamikus rendszer a következő fizikai folyamatok viselkedését írja le:

• – egymódusú lézer modellje,
• - konvekció zárt hurokban és lapos rétegben,
• - a vízikerék forgása,
• – tehetetlenségi nemlinearitású harmonikus oszcillátor,
• – felhőtömegek turbulenciája stb.

A következő ábra a Lorentz attraktor rendszert mutatja a MATLAB-ban:

Az ábra a következő szimbólumok közül néhányat használ:

• kivonók: SUB0-3;
• szorzók konstanssal: SIGMA, B, R;
• szorzók: MULT0-1;
• integrátorok cellával a kezdeti feltétel megadására: INTEGRÁTOR X,Y,Z;
• OUT portok: ADATOK X,Y,Z jelzésekhez XSIG, YSIG, ZSIG;

Ezenkívül a diagram kiegészítő elemző eszközöket mutat be, ezek a következők:

• számítási eredmények mentése fájlba: Az X,Y,Z munkaterületre;
• térbeli gráfok felépítése: XY, YZ, XZ grafikon;
• időgrafikonok felépítése: Hatály XYZ;
• eszközök az elfoglalt kristályerőforrások becsléséhez és HDL kód generálásához a modellből " Erőforrás-becslő"És" Rendszergenerátor».

A matematikai műveletek minden csomópontján belül meg kell adni a közbenső adatok bitmélységét és típusát. Sajnos nem olyan egyszerű a lebegőpontos munkavégzés az FPGA-kban, és a legtöbb esetben minden művelet fixpontos formátumban történik. A paraméterek helytelen beállítása hibás eredményekhez vezethet, és csalódást okozhat a rendszer felépítése során. Különböző mennyiségekkel kísérleteztem, de a következő adattípusra támaszkodtam: előjeles számok 32 bites vektora fixpontos formátumban. Az egész részhez 12 bit, a tört részhez 20 bit van lefoglalva.

Ha például beállítja a rendszer kezdeti értékét az X, Y, Z integrátorokban a trigger blokkban, pl. {10, 0, 0} , futtattam a modellt. A következő három jel figyelhető meg az időalapban:


Még ha a szimulációs idő a végtelenbe megy is, az időben történő megvalósítás soha nem fog megismétlődni. A kaotikus folyamatok nem periodikusak.

A háromdimenziós térben a Lorentz attraktor így néz ki:

Látható, hogy az attraktornak két vonzási pontja van, amelyek körül az egész folyamat végbemegy. A kezdeti feltételek kismértékű változtatásával a folyamat is ezek köré a pontok köré összpontosul, de pályái jelentősen eltérnek az előző verziótól.

Rössler attraktor

A második vonzerő a tudományos cikkekben és publikációkban történt említések számát tekintve. Mert Rössler attraktor a kaotikus vagy periodikus tulajdonságok megnyilvánulását szolgáló határpont jelenléte jellemzi. Egy dinamikus rendszer bizonyos paraméterei mellett a rezgések megszűnnek periodikusak lenni, és kaotikus rezgések keletkeznek. A Rössler-attraktor egyik figyelemre méltó tulajdonsága a fázissíkban lévő fraktálszerkezet, vagyis az önhasonlóság jelensége. Megjegyzendő, hogy más attraktorok általában rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal.

A Rössler-attraktor számos rendszerben megfigyelhető. Például folyadékáramlások leírására, valamint különféle kémiai reakciók és molekuláris folyamatok viselkedésének leírására szolgál. A Rössler-rendszert a következő differenciálegyenletek írják le:

A MATLAB környezetben az attraktor a következőképpen épül fel:

A térbeli mennyiségek időbeli realizálása:

A Rössler attraktor háromdimenziós modellje:

Bam! Az értékek kis mértékben változtak:

Attraktor kissé megváltozott kezdeti feltételekkel (a pályák eltérőek!)

Különböző együtthatókkal rendelkező attraktor az egyenletrendszerben (a kaotikus folyamat periodikussá változott!)

Hasonlítsa össze a háromdimenziós attraktorok képeit különböző kezdeti feltételek és együtthatók esetén az egyenletrendszerben. Látod, hogyan változtak drámaian a mozgási pályák az első esetben? De így vagy úgy, egyetlen vonzáskörzet közelében koncentrálódnak. A második esetben az attraktor egyáltalán nem mutatta a káosz jeleit, és egy zárt periodikus hurokká (limit ciklus) vált át.

Vonzó Rikitake

Dinamo Rikitake– az egyik jól ismert harmadrendű, kaotikus viselkedésű dinamikus rendszer. Ez egy kéttárcsás dinamó modellje, és először a Föld geomágneses mezejének kaotikus inverziójával kapcsolatos problémákra javasolták. A tudós Rikitake egy dinamórendszert vizsgált meg két egymással összekapcsolt koronggal, amelyeket úgy építettek fel, hogy a lemez egyik tekercséből az áram a másikba áramlott, és gerjesztette a második lemezt, és fordítva. Egy bizonyos ponton a rendszer hibásan kezdett működni, és kiszámíthatatlan dolgokat mutatott. Az attraktor aktív tanulmányozása lehetővé tette a Rikitake dinamó kivetítését a Föld magjában lévő mágneses mezők nagy örvényeinek összekapcsolásának modelljére.

A Rikitake-dinamót a következő egyenletrendszer írja le:

Rikitake dinamós modell a MATLAB-ban:

Ideiglenes végrehajtás:

Attraktor (első verzió):

Dinamo (második verzió)

Észreveheti, hogy a Rikitake dinamó némileg hasonlít a Lorentz attraktorra, de ezek teljesen más rendszerek, és más fizikai folyamatokat írnak le!

Orr-Hoover attraktor

Egy kevésbé híres, de nem kevésbé fontos háromdimenziós dinamikus rendszer az Orr-Hoover termosztát. A molekuláris elméletben idő-reverzibilis termosztatikus rendszerként használják. Sajnos erről az attraktorról nem tudok annyit, mint a többiről, de érdekesnek találtam, és beleírtam az ismertetőbe.

A Nose-Hoover termosztátot a következő egyenletrendszer írja le:

Nose-Hoover modell a MATLAB-ban:

Ideiglenes végrehajtás:

Anyag a Wikipédiából - a szabad enciklopédiából

Rössler attraktor- a Rössler-féle differenciálegyenlet-rendszer által birtokolt kaotikus attraktor:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(mátrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\backslash end(mátrix)\backslash jobbra.$ ;

Ahol $ABC$- pozitív állandók. Paraméterértékekkel $a\; =\; b\; =\; 0,2$És $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$ A Rössler-egyenleteknek stabil határciklusuk van. Ezeknél a paraméterértékeknél a határciklus periódusa és alakja periódusduplázási sorozaton megy keresztül. Közvetlenül a pont után $c\; =\; 4,2$ felbukkan a kaotikus attraktor jelensége. A határciklusok jól meghatározott vonalai elmossák és kitöltik a fázisteret egy végtelen megszámlálható pályahalmazzal, amelyek fraktál tulajdonságaival rendelkeznek.

Néha a Rössler attraktorokat egy síkra, azaz a $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(mátrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(mátrix)\; \backslash jobbra.$

Fenntartható megoldások a $x,\; y$ az alak Jacobi-mátrixának sajátvektorának kiszámításával kereshető meg , amelyekre $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Ebből egyértelmű, hogy mikor , sajátvektorokösszetettek és pozitív valós komponensekkel rendelkeznek, ami instabillá teszi az attraktort. Most megvizsgáljuk a repülőgépet $Z$ ugyanabban a tartományban $a$. Viszlát $x$ Kevésbé $c$, paraméter $c$ közel tartja a röppályát a síkhoz $x,\; y$. Amint $x$ lesz még több $c$, $z$-a koordináta növekedni kezd, és egy kicsit később a paraméter $-z$ lassítja a növekedést $x$ V $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Egyensúlypontok

Az egyensúlyi pontok megtalálásához a három Rössler-egyenletet nullával és $xyz$-a kapott egyenletek megoldásával megtaláljuk az egyes egyensúlyi pontok koordinátáit. Végül is:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(mátrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash jobbra)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(mátrix)\; \backslash jobbra.$

Ahogy látható általános egyenletek Rössler attraktor, ezen fix pontok egyike az attraktor közepén található, a többi pedig viszonylag távol helyezkedik el a központtól.

Az a, b és c paraméterek megváltoztatása

A Rössler attraktor viselkedése nagyban függ az értékektől állandó paraméterek. Az egyes paraméterek megváltoztatása bizonyos hatást ad, aminek következtében a rendszer konvergálhat egy periodikus pályára, egy fix pontra, vagy rohanhat a végtelenbe. A Rössler-attraktor periódusainak számát egy központi pont körüli fordulóinak száma határozza meg, amelyek a hurkok sorozata előtt fordulnak elő.

A bifurkációs diagramok egy szabványos eszköz a dinamikus rendszerek viselkedésének elemzésére, amelyek magukban foglalják a Rössler attraktort is. Rendszeregyenletek megoldásával jönnek létre, ahol két változót rögzítünk, és egyet megváltoztatunk. Egy ilyen diagram elkészítésekor szinte teljesen „árnyékolt” régiókat kapunk; ez a dinamikus káosz vidéke.

Paraméter módosítása a

Javítsuk ki $b\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$és változni fogunk $a$.

Ennek eredményeként kísérletileg a következő táblázatot kapjuk:

• $a\backslash leq\; 0$: Stabil ponthoz konvergál.
• $a\; =\; 0,1$: 2-es periódussal pörög.
• $a\; =\; 0,2$: Káosz (a Rössler-egyenletek standard paramétere) .
• $a\; =\; 0,3$: Kaotikus attraktor.
• $a\; =\; 0,35$: Hasonló az előzőhöz, de a káosz erősebb.
• $a\; =\; 0,38$: Hasonló az előzőhöz, de a káosz még erősebb.

Paraméter módosítása b

Javítsuk ki $a\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$és most megváltoztatjuk a paramétert $b$. Amint az ábráról is látszik, mikor $b$ Mivel az attraktor nullára hajlamos, instabil. Amikor $b$ lesz még több $a$És $c$, a rendszer egyensúlyba kerül és stacionárius állapotba kerül.

Paraméter módosítása c

Javítsuk ki $a\; =\; b\; =\; 0,1$és változni fogunk $c$. A bifurkációs diagramból jól látható, hogy kicsi $c$ a rendszer periodikus, de ahogy növekszik, gyorsan kaotikussá válik. Az ábrák pontosan mutatják, hogyan változik a rendszer káosza a növekedéssel $c$. Például mikor $c$= 4 az attraktor periódusa eggyel egyenlő lesz, és egyetlen vonal lesz a diagramon, ugyanez megismétlődik, amikor $c$= 3 és így tovább; Viszlát $c$ nem lesz több 12-nél: az utolsó periodikus viselkedést pontosan ez az érték jellemzi, akkor mindenhol káosz alakul ki.

Illusztrációkat adunk az attraktor viselkedésére a megadott értéktartományban $c$, amelyek az ilyen rendszerek általános viselkedését szemléltetik – gyakori átmeneteket a periodicitásból a dinamikus káoszba.

Írjon véleményt a "Rössler Attractor" cikkről

Megjegyzések

Linkek

• Konstruktőr

Irodalom

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Modern fizika: oktatóanyag. M., KomKniga, 2005, 512 pp., ISBN 5-484-00058-0, ch. 2 Nyílt rendszerek fizikája. o. 2.4 Kaotikus Rössler attraktor.

A Rössler Attraktort jellemző részlet

– Engedj át, mondom – ismételte Andrej herceg, és összeszorította a száját.
- És te ki vagy? - fordult felé hirtelen részeg dühvel a tiszt. - Ki vagy te? Te vagy (különösen hangsúlyozta) a főnök, vagy mi? Én vagyok itt a főnök, nem te. – Menj vissza – ismételte –, összetörlek egy szelet tortát.
A tisztnek láthatóan tetszett ez a kifejezés.
– Komolyan megborotválta az adjutánst – hallatszott egy hang hátulról.
Andrej herceg látta, hogy a tiszt az ok nélküli düh részeg rohamában van, amelyben az emberek nem emlékeznek arra, amit mondanak. Látta, hogy közbenjárását az orvos feleségéért a vagonban tele van azzal, amitől a legjobban félt a világon, amit nevetségnek [nevetségesnek] neveznek, de az ösztöne mást mondott. Mielőtt a tiszt befejezte volna utolsó szavait, Andrej herceg a dühtől eltorzult arccal odalovagolt hozzá, és felemelte ostorát:
- Kérlek engedj be!
A tiszt intett a kezével, és sietve elhajtott.
„Minden tőlük van, a személyzettől, az egész káosz” – morogta. - Tedd, ahogy akarod.
Andrej herceg sietve, anélkül, hogy felemelte volna a szemét, ellovagolt az orvos feleségétől, aki megmentőnek nevezte, és undorral felidézve ennek a megalázó jelenetnek a legapróbb részleteit, vágtatott tovább a falu felé, ahol, mint mondták, a parancsnok főkapitány helyezkedett el.
Miután belépett a faluba, leszállt a lováról, és az első házhoz ment azzal a szándékkal, hogy legalább egy percre megpihenjen, egyen valamit, és tisztázza ezeket a sértő gondolatokat, amelyek gyötörték. „Ez gazemberek tömege, nem sereg” – gondolta, az első ház ablaka felé közeledve, amikor egy ismerős hang a nevén szólította.
Hátranézett. Nesvitsky jóképű arca bújt ki egy kis ablakon. Nesvitsky, aki lédús szájával rágcsált valamit, és hadonászott a karjával, magához hívta.
- Bolkonsky, Bolkonsky! Nem hallod, vagy mi? – Menj gyorsan – kiáltotta.
A házba lépve Andrej herceg látta, hogy Nesvickij és egy másik adjutáns eszik valamit. Sietve Bolkonszkijhoz fordultak, és megkérdezték, tud-e valami újat. Andrej herceg, aki oly ismerős volt az arcukon, aggodalom és aggodalom kifejezését olvasta. Ez a kifejezés különösen észrevehető volt Nesvitsky mindig nevető arcán.
-Hol van a főparancsnok? – kérdezte Bolkonsky.
- Itt, abban a házban - válaszolta az adjutáns.
- Nos, igaz, hogy béke és megadás van? – kérdezte Nesvitsky.
- Téged kérdezlek. Nem tudok mást, csak azt, hogy erőszakkal kerültem hozzád.
- Mi lesz velünk, testvér? Borzalom! „Sajnálom, testvér, kinevettek Makon, de ez még rosszabb nekünk” – mondta Nesvitsky. - Na, ülj le és egyél valamit.
- Nos, herceg, nem fogsz találni se szekeret, se semmit, és a te Pétered, Isten tudja, hol - mondta egy másik adjutáns.
-Hol van a fő lakás?
– Tsnaimban töltjük az éjszakát.
„És mindent, amire szükségem volt, felraktam két lóra – mondta Neszvicszkij –, és kiváló csomagokat készítettek nekem. Legalább menekülj át a cseh hegyeken. Ez rossz, testvér. Tényleg rosszul vagy, miért remegsz így? - kérdezte Nesvitsky, és észrevette, hogy Andrej herceg megrándult, mintha egy Leyden tégely megérintése miatt.
- Semmit - felelte Andrej herceg.
Ebben a pillanatban eszébe jutott a legutóbbi összecsapása az orvos feleségével és a furshtati tiszttel.
-Mit keres itt a főparancsnok? - kérdezte.
„Nem értek semmit” – mondta Nesvitsky.
„Csak azt értem, hogy minden undorító, undorító és undorító” – mondta Andrej herceg, és elment a házba, ahol a főparancsnok állt.
Kutuzov hintója mellett elhaladva a kíséret megkínzott lovai és a kozákok hangosan beszéltek egymás között, Andrej herceg lépett be a bejáraton. Maga Kutuzov, amint azt Andrei herceg elmondta, Bagration herceggel és Weyrotherrel volt a kunyhóban. Weyrother osztrák tábornok volt, aki a meggyilkolt Schmit helyébe lépett. A bejáratban a kis Kozlovszkij guggolt a hivatalnok előtt. A hivatalnok egy fordított kádon, egyenruhája mandzsettáját felcsavarva, sietve írt. Kozlovszkij arca kimerült volt – úgy tűnik, ő sem aludt éjszaka. Andrej hercegre nézett, és nem is biccentett neki.
– Második sor... Megírta? - folytatta, diktálva a jegyzőnek, - Kijevi gránátos, Podolszk...
- Nem lesz ideje, tisztelt tisztem - válaszolta a jegyző tiszteletlenül és dühösen, és visszanézett Kozlovszkijra.
Ekkor Kutuzov élénken elégedetlen hangja hallatszott az ajtó mögül, amit egy másik, ismeretlen hang szakított meg. E hangok hallatán, a figyelmetlenségtől, amellyel Kozlovszkij nézett rá, a kimerült hivatalnok tiszteletlenségétől, attól, hogy a jegyző és Kozlovszkij olyan közel ültek a főparancsnokhoz a padlón, a kád közelében. , és azon, hogy a lovakat tartó kozákok hangosan nevettek a ház ablaka alatt - mindebből Andrej herceg érezte, hogy valami fontos és boldogtalan dolog fog történni.
Andrej herceg sürgősen Kozlovszkijhoz fordult kérdéseivel.
– Most, herceg – mondta Kozlovszkij. – Bagration iránti hajlam.
- Mi a helyzet a kapitulációval?
- Nincs; harci parancsok születtek.
Andrej herceg az ajtó felé indult, amely mögül hangok hallatszottak. Ám amikor ki akarta nyitni az ajtót, a hangok elhallgattak a szobában, az ajtó magától kinyílt, és Kutuzov, gömbölyded orrával gömbölyded arcán, megjelent a küszöbön.
Andrej herceg közvetlenül Kutuzovval szemben állt; de a főparancsnok egyetlen látó szemének kifejezéséből világossá vált, hogy a gondolat és az aggodalom annyira foglalkoztatta, hogy úgy tűnt, elhomályosítja a látását. Egyenesen az adjutánsa arcába nézett, és nem ismerte fel.
- Nos, befejezted? – fordult Kozlovszkijhoz.
- Most rögtön, excellenciás uram.
Bagration, alacsony, keleties típusú, határozott és mozdulatlan arcú férfi, száraz, még nem öregember követte a főparancsnokot.
„Megtiszteltetés számomra, hogy megjelenhetek” – ismételte Andrej herceg meglehetősen hangosan, és átadta a borítékot.
- Ó, Bécsből? Bírság. Utána, utána!
Kutuzov Bagrationnal kiment a verandára.
– Nos, herceg, viszlát – mondta Bagrationnak. - Krisztus veled van. Áldalak ezért a nagyszerű bravúrért.
Kutuzov arca hirtelen meglágyult, és könnyek jelentek meg a szemében. Bal kezével magához húzta Bagrationt, jobb kezével pedig, amelyen egy gyűrű volt, láthatóan ismerős mozdulattal keresztbe tette, és felkínálta gömbölyded arcát, ehelyett Bagration nyakon csókolta. 1

A cikk az aggregált vezérlők analitikai tervezési módszerének felhasználásával foglalkozik tipikus, kaotikus dinamikájú nemlineáris dinamikus rendszerek szabályozási törvényeinek kidolgozására, amelyek biztosítják az egyensúlyi állapotok stabilizálását ilyen rendszerekben. A cikk az antikaotikus szabályozás egyik jellegzetes problémájára, nevezetesen az ilyen rendszerekben az aperiodikus oszcilláció elnyomásának problémájára mutat be megoldást. A kaotikus Lorentz- és Ressler-modellek szinergikus szabályozási törvényeit dolgozták ki, amelyek ezekben a modellekben biztosítják a fázisváltozók stabilizálását. A szintetizáltak bemutatása Visszacsatolás egyensúlyi állapot kialakulásához vezet a rendszerekben. Vezetett számítógépes modellezés szintetizált zárt dinamikus rendszereket, ami megerősíti a szinergetikus vezérlés elmélet elméleti előírásait. A szintetizált szabályozási törvények különféle műszaki alkalmazásokban használhatók működésük hatékonyságának javítása érdekében.

Lorentz modell

Ressler modell

dinamikus rendszer

ellenőrzés

szinergetikumok

Visszacsatolás

önrezgések

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Előadások a nemlineáris dinamikáról // Izvesztyia Higher oktatási intézmények. Alkalmazott nemlineáris dinamika. – 2010. – T. 18. – 3. sz. – P. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Alkalmazott szinergetika: a rendszerszintézis alapjai. – Taganrog: TTI SFU Kiadó, 2007. – 384 p.

3. Kolesnikov A.A. Szinergikus menedzsment elmélet. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 p.

4. Malinetsky G.G. Káosz. Struktúrák. Számítási kísérlet: Bevezetés a nemlineáris dinamikába. – M.: Szerkesztői URSS, 2002. – 255 p.

5. Neymark Yu.I., Landa P.S. Sztochasztikus és kaotikus oszcillációk. – M.: Nauka, 1987. – 424 p.

6. Modern alkalmazott menedzsmentelmélet. II. rész: Az irányításelmélet szinergetikus megközelítése / szerk. szerk. A.A. Kolesnikova. – M.-Taganrog: TRTU Kiadó, 2000. – 558 p.

7. Lorenz E.N. Determinisztikus nem periodikus áramlás // J. Atmos. Sci. – 1963. – 20. sz. – P. 130–133.

8. Rossler O.E. A folyamatos káosz egyenlete // Phys. Lett. A. – 1976. – Kt. 57A, 5. sz. – P. 397–398.

Ma a "káosz" kifejezés használata a tudományos kutatásösszefügg azzal az igénysel, hogy olyan rendszereket írjanak le, amelyeket első pillantásra teljesen véletlenszerű dinamika és egyben rejtett rend jelenléte jellemez.

A kaotikus dinamika szabályozásának meglehetősen sürgető tudományos problémája jelenleg még nem megoldott. Megoldásának számos elérhető szempontja közül a különböző módszerek és törvények tanulmányozása, amelyek elnyomják a rendszertelen ingadozásokat. nemlineáris rendszerek ah, amelyeket a kaotikus dinamika jelenléte jellemez.

A nemlineáris rendszerek kaotikus dinamikájú vezérlésének problémája nagy gyakorlati jelentőséggel bír. Érdemes megjegyezni, hogy itt nem csak a káosz elleni küzdelemben van a lényeg, amely gyakran megzavarja az összetett rendszerek működésének minőségét, hanem az úgynevezett „káoszból való rend” kialakulásának gondolatában is. számos technológiai folyamathoz alkalmas.

A szabálytalan oszcillációk elnyomásának problémája a kaotikus dinamikájú modellek vezérlésének egyik legjellemzőbb problémája, és abból áll, hogy olyan szabályozási műveleteket alakítunk ki, amelyek biztosítják a kezdetben kaotikus modell stabilizálását stabil stacionárius állapotban. A következőkben feltételezzük, hogy a modell dinamikáját valamilyen külső vezérlési művelet segítségével lehet befolyásolni, amely additív módon szerepel valamelyik differenciálegyenletének jobb oldalán.

A tanulmány célja. Ebben a munkában megoldottuk a kaotikus oszcillációk elnyomását biztosító skaláris szabályozási törvények megalkotásának problémáját Lorenz és Rössler tipikus kaotikus rendszereiben, amelyekben az eredeti modellek szabálytalan oszcillációi egyensúlyi stabil állapotban stabilizálódnak. Hasonló típusú problémák merülnek fel, amikor ki kell küszöbölni a szerkezetek nem kívánt rezgését, különféle zajokat stb. .

Anyagok és kutatási módszerek

A káoszszabályozás összetett problémájának hatékony megoldásának és a kaotikus dinamikájú nemlineáris rendszerek vezérlésére vonatkozó objektív törvények szintetizálásának egyik módszere az aggregált vezérlők (ACAR) analitikus tervezésének módszere, amelyet A. A. professzor javasolt. Kolesnikov.

A skaláris vezérlők az aggregált vezérlők analitikai tervezésének módszerével történő felépítése csökkenő geometriai méretű invariáns sokaságok sorozatának bevezetésén, majd az eredeti dinamikus rendszer lépésről lépésre történő dinamikus dekompozícióján alapul. Ebben az esetben a rendszer reprezentációs pontja (IT) egy tetszőleges kiindulási állapotból indulva szekvenciálisan mozog egyik vonzásfelületről a másikra, amíg el nem éri a ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → alakú befejező felületet. .. → ψm = 0. A „belső” sokaságok topológiailag a „külsőkbe” vannak beágyazva. Így a szintetizált rendszerben egy belső önkormányzati folyamat jön létre. Ennek eredményeként a belső vezérlések sorozatának kaszkádos kialakulása következik be, amelyek a rendszer fázistérfogatát a fázistér külső tartományától az egymásba ágyazott belső régiók halmazáig sűrítik addig, amíg az IT el nem éri a kívánt értéket. a rendszer állapota.

Tegyük fel, hogy egy zárt rendszer állapotterében létezik egy ψ(x) = 0 alakú vonzó invariáns sokaság, amely a fázispályák aszimptotikus határa. Általában több ilyen fajta is lehet. Általános szabály, hogy az invariáns elosztók száma egybeesik a vezérlőcsatornák számával. Ekkor a rendszer reprezentációs pontja az invariáns sokaságok metszéspontjához kezd. Szükséges feltétel Amikor a zárt rendszerű „objektumvezérlő” reprezentációs pontja eléri a ψ(x) = 0 invariáns sokaságot, akkor annak mozgása kielégít valamilyen stabil differenciálegyenletet, amely a ψ(x) aggregált makrováltozóra vonatkozik. Az ilyen egyenletet a szinergetikus vezérlés elméletében funkcionálisnak vagy evolúciósnak nevezik. Jellemzően egy funkcionális egyenletrendszert a következő alakú elsőrendű közönséges differenciálegyenletek rendszereként adnak meg

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Itt m az adott invariáns sokaságok száma; Ts a szabályozási paraméter, φ s (ψ s) egy olyan függvény, amelynek teljesítenie kell a következő feltételeket:

1) φ s (ψ s) folytonosnak, egyedinek és minden ψ-re differenciálhatónak kell lennie;

2) φ s(0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 bármely 0 esetén,

azok. csak a φ s = 0 sokaságon tűnnek el, amelyekre nézve az adott funkcionális egyenletrendszer egészében aszimptotikusan stabil.

Az ACAR módszer általában funkcionális egyenleteket használ:

azok. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Az ilyen típusú egyenleteket, mint látható, aszimptotikus stabilitás jellemzi a ψ s = 0 sokasághoz képest Ts > 0 feltétel mellett.

Ebben a helyzetben az a feladat, hogy szintetizálják a kaotikus modellek szabályozásának stabilizálásának törvényeit általános eset a következőképpen van megfogalmazva. Meg kell találni az uS(x) függvényt, mint egy bizonyos visszacsatolási halmazt, amely biztosítja az eredeti kaotikus modell reprezentációs pontjának átvitelét tetszőleges kezdeti feltételekből valamilyen megengedhető tartományban egy adott állapotba (állapotkészletbe), amely megfelel stabil üzemmódba. A legegyszerűbb esetben a vezérlés az eredeti rendszer egyetlen differenciálegyenletébe lép be. Lehetnek olyan opciók, amikor ugyanaz a vezérlőművelet a forrásrendszer különböző soraiban található.

A szabályozási törvények szinergetikus szintézisének problémája megfogalmazásának megkülönböztető aspektusa a rendszernek a kezdeti állapotból a végső állapotba való mozgásának további követelménye, amely a rendszer fázispályáinak aszimptotikus vonzásában áll. a rendszer állapotterében (SS) egy bizonyos invariáns sokasághoz (a sokaságok metszéspontjához).

A stabilizáló visszacsatolás bevezetése az eredeti modell egyenleteibe az állapottere topológiájának célzott megváltoztatásához vezet. Egy ilyen átstrukturálás eredményeként a kaotikus attraktor eltűnik, és egy szabályos „pont” típusú attraktor jön létre, amely megfelel a kívánt egyensúlyi viselkedési módnak.

Kutatási eredmények és megbeszélés

Tekintsük a megvalósított eljárás szakaszait egy stabilizáló vezérlési törvény szintézisére az AKAR módszerrel kaotikus Lorentz-rendszerre.

A Lorentz-modellt eredetileg a Navier–Stokes és a hővezetési egyenletekből származtatták, hogy megvizsgálják az időjárási viszonyok előrejelzésének lehetőségét, amikor a szabályozási paramétereket változtatják. A modell konvektív hengerek mozgását írja le folyadékban hőmérséklet-gradienssel.

A modell három közönséges differenciálegyenletből álló következő rendszert reprezentálja:

ahol σ a Prandtl-szám; ρ - normalizált Rayleigh-szám; A b paraméter a síkok és a vízszintes periódus közötti kölcsönös távolságtól függ.

Rizs. 1. A Lorentz-rendszer kaotikus attraktorja

Ebben a rendszerben bizonyos körülmények között kaotikus oszcillációk alakulnak ki. ábrán. Az 1. ábra a rendszer fázispályáját mutatja σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 paraméterértékeknél a determinisztikus káosz módban. Ebben a dinamikus rendszerben először vizsgálták a sztochasztikus önrezgéseket. Az (1) rendszer kaotikus attraktorja alapvetően különbözik a legtöbb nemlineáris dinamikai modell kaotikus attraktorától. Szerkezete teljesen megfelel egy furcsa attraktornak, és csak egy nyereg típusú mozgás jelenléte jellemzi.

Tételezzük fel, hogy az u1 vezérlési művelet belső visszacsatolás formájában benne van az (1) rendszer első egyenletében:

Mutassuk be az alak egyik változatlan változatát

ahol μ valamilyen szabályozási paraméter.

Ha a ψ1 (3) függvényt az idő függvényében differenciáljuk, és deriváltját behelyettesítjük a funkcionális egyenletbe

megkapjuk a kívánt szabályozási törvényt:

Az (5) szabályozási törvény biztosítja a (2) rendszer visszacsatolással lezárt reprezentációs pontjának (5) átvitelét a ψ1 = 0 invariáns sokaságba.

A modell reprezentációs pontjának mozgásának dinamikáját egy adott invariáns sokaság mentén a felbontott modell differenciálegyenleteivel írjuk le, amelyek a ψ1 = 0 (3) egyenlőségből a második és harmadik egyenletbe való behelyettesítés után keletkeznek. rendszer (2):

(6)

Rizs. 2. A (2), (5) és (6) rendszerek fázisportréi

Rizs. A 2. ábra a (2), (5) rendszer numerikus szimulációjának eredményeit szemlélteti a kaotikus Lorentz attraktor létezésére jellemző σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 szabályozási paraméterekkel, ill. a szabályozó paramétereinek értékei T1 = 0,1, μ = 4, amelyek megerősítik az AKAR módszer elméleti rendelkezéseinek hatékonyságát. A (6) felbontott rendszer első egyenlete teljesen megegyezik a villa típusú bifurkációval rendelkező szinergetika alapvető evolúciós egyenletével.

Alkossunk egy stabilizáló szabályozási törvényt az ACAR módszerrel a Ressler modellhez. A Rössler-modell harmadrendű differenciálegyenletek nemlineáris dinamikus rendszere, amelynek alakja:

ahol a, b, c a szabályozási paraméterek.

A (7) rendszert Ressler javasolta számos vegyi anyag kölcsönhatási folyamatainak modellezésére. Ezt a rendszert gyakran használják a különféle természetű jelenségek különböző tudományos tanulmányaiban, mivel a kaotikus dinamika megjelenésének és létezésének jellegzetes jelei vannak. Rizs. A 3. ábra a Rössler rendszer kaotikus attraktorát mutatja be a = b = 0,2 paraméterértékekkel; c = 9.

Tegyük fel, hogy a vezérlőművelet benne van az eredeti rendszer második egyenletében (7):

Invariáns elosztó típusa

és a (4) funkcionális egyenlet lehetővé teszi, hogy megkapjuk a kívánt szabályozási törvényt:

(10)

A vezérlési törvény (10) garantálja a visszacsatolással (10) lezárt vezérelt rendszer (8) reprezentációs pontjának átvitelét a ψ2 = 0 (9) invariáns elosztóba.

Rizs. 3. A Rössler-rendszer kaotikus attraktorja

A rendszer mozgásának természetét a ψ2 = 0 invariáns sokaság mentén a felbontott modell írja le:

(11)

ahol az első sorban a villa típusú bifurkációs egyenlet szerepel.

Rizs. 4. A (8), (10) és (11) rendszerek fázisportréi

Rizs. A 4. ábra a zárt hurkú rendszer (8), (10) numerikus szimulációjának eredményeit szemlélteti a modellszabályozási paraméterek a = b = 0,2 értékére; c = 9, amelyek a kaotikus típusú attraktor megjelenésére jellemzőek, valamint a vezérlő paramétereinek értékei T2 = 0,1; μ = 25.

Mindkét kapott (6), (11) dekomponált modellben az első sorban található egyenletek egybeesnek a villa típusú bifurkációjú szinergetika evolúciós alapegyenletével. Ebben a vonatkozásban megerősíthetjük az eredeti kaotikus rendszerek stabilizáló vezérlésének szintetizált törvényeinek természetes természetét, valamint az önszerveződés és a szinergetika nemlineáris elméletének univerzális evolúciós egyenletek létező egységét és belső összekapcsolódását.

A szintetizált szabályozási törvények természetessége elsősorban a zárt rendszerekben jellemző bifurkációs tulajdonságok halmazának köszönhető.

A vizsgálat eredményeként visszacsatolási kapcsolatok halmazát szintetizálták, a kezdeti kaotikus rendszerek lezárásakor viselkedésük jellegében változás következik be, és egy kaotikus típusú attraktor „pont” típusú attraktorrá alakul át. A kapott u1 (5) és u2 (10) szabályozási törvények garantáltan aszimptotikus stabilitást biztosítanak a teljes fázistérben a kívánt egyensúlyi állapotokhoz képest a μ paraméter értékei mellett.< 0 или μ >0 a megfelelő kezdeti kaotikus modellekhez. Az így kapott u1 (5) és u2 (10) törvények az objektív szabályozási törvények osztályába tartoznak, amelyek a kaotikus dinamikájú Lorentz és Ressler rendszereket az önszerveződés és a szinergetika elméletének alapvető evolúciós egyenletévé alakítják át.

Az u1 (5) és u2 (10) szintetizált szabályozási törvények eredetiek és univerzálisak. Különböző célú vezérelt rendszerek tervezésében használhatók, jelentősen növelve működésük hatékonyságát.

Bibliográfiai link

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. AZ AKAR MÓDSZER ALKALMAZÁSA TIPIKUS NEMLINEÁRIS RENDSZEREK EGYENSÚLYI ÁLLAPOTAINAK STABILIZÁLÁSÁNAK PROBLÉMÁJÁNAK MEGOLDÁSÁRA // Fundamental Research. – 2016. – 5-2. – 264-268. o.;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (Hozzáférés dátuma: 2020.01.15.). Figyelmébe ajánljuk a Természettudományi Akadémia kiadója által kiadott folyóiratokat

Ebben a könyvben empirikus megközelítést alkalmaztunk a kaotikus oszcillációkkal kapcsolatban, és felvázoltunk egy sor különböző fizikai jelenséget, amelyekben a kaotikus dinamika fontos szerepet játszik. Természetesen nem minden olvasó fér hozzá a laboratóriumhoz vagy a kísérletezéshez, bár a legtöbben használhatják a digitális számítógépeket. Ezt szem előtt tartva, ebben a mellékletben egy sor numerikus kísérletet mutatunk be, amelyek akár személyi számítógépen, akár mikroszámítógépen megvalósíthatók, abban a reményben, hogy segítik az olvasót a mára klasszikussá vált káoszmodellek dinamikájának felfedezésében.

B.1. LOGISZTIKAI EGYENLET: DUPLA A IDŐSZAK

Az egyik legegyszerűbb probléma, amellyel új dinamika bevezetését elkezdhetjük, a népességnövekedési modell vagy logisztikai egyenlet kell, hogy legyen.

Az időszak megkettőzésével járó jelenségeket különböző kutatók figyelték meg (lásd például May munkáját), és természetesen Feigenbaum is, aki felfedezte a paraméterek hasonlóságának híres törvényeit (lásd 1. és 5. fejezet). A személyi számítógép rendkívül egyszerűvé teszi két numerikus kísérlet reprodukálását.

Az első kísérletben van egy grafikonunk a függőségről a tartományban. A periódusduplázási mód az alábbi értékeknél figyelhető meg. Kezdve Ön egy 1-es periódusú pályát láthat. Hosszabb pályák megtekintéséhez jelölje meg az első 30-50 iterációt pontokkal, a következő iterációkat pedig egy másik szimbólummal.

Természetesen a függőséget ábrázolva megfigyelheti a tranziens és stacioner módokat. Kaotikus pályák észlelhetők a címen. A közelben 3-as periódusú pálya észlelhető.

A következő numerikus kísérlet egy bifurkációs diagram felépítéséhez kapcsolódik. Ehhez meg kell ábrázolnia a nagy függőséget a vezérlőparamétertől. Válasszon ki egy kezdeti feltételt (például végezzen 100 leképezési iterációt. Ezután tegye félre a következő 50 iteráció eredményeként kapott értékeket függőleges tengely, és a megfelelő érték a vízszintes tengely mentén (vagy fordítva). Válasszunk ki egy körülbelül 0,01-es lépést, és menjünk végig a tartományon. Meg tudod határozni a Feigenbaum-számot egy numerikus kísérlet adataiból?

May egy listát ad más egydimenziós leképezésekkel végzett numerikus kísérletekről, például a leképezésről

Ezt a feltérképezést egyetlen faj populációnövekedésének mintájaként írja le, amelyet egy járványos betegség szabályoz. Fedezze fel a környéket. A periódusduplázások felhalmozódási pontja és a káosz kezdete megfelel. May dolgozata néhány más numerikus kísérletről is tartalmaz adatokat.

B.2. LORENTZ-EGYENLETEK

Egy figyelemre méltó numerikus kísérlet található, amely kétségtelenül megismétlésre méltó, Lorentz eredeti művében. Lorentz leegyszerűsítette a Salzman által levezetett egyenleteket a folyadék hőkonvekciójának egyenletei alapján (lásd a 3. fejezetet). A konvekciós egyenletek nem periodikus megoldásainak felfedezésében, ahogy Lorenz elismerte, Salzmané az elsőbbség. A kaotikus mozgások tanulmányozásához Lorentz az egyenletekben szereplő paraméterek ma már klasszikus értékeit választotta.

ábrán látható adatok. Lorenz papírjának 1. és 2. ábrája kiválasztással reprodukálható kezdeti feltételekés időlépés és a megoldás kivetítése akár síkra, akár síkra

Az ezen áramlás által kiváltott egydimenziós leképezés megszerzéséhez Lorentz a z változó egymást követő maximumait vette figyelembe, amelyeket Függőségi gráfnak nevezett el, és megmutatta, hogy ebben az esetben a leképezést egy ház tetejének alakjára emlékeztető görbe adja. Lorentz ezután megvizsgálta ennek a leképezésnek egy egyszerűsített változatát, az úgynevezett "ház-típusú leképezést", a logisztikai egyenlet bilineáris változatát.

B.3. MEGSZAKÍTHATÓSÁG ÉS LORENTZ-EGYENLETEK

A szakaszosság egyértelmű példája látható a Lorentz-egyenletek számítógépes numerikus integrálásával:

a Runge-Kutta módszer szerinti paraméterekkel. Amikor kapsz egy periodikus pályát, de mikor és még több "kitörés" vagy kaotikus zaj jelenik meg (lásd Manneville és Pomo munkáját). Megmérve a sorozatos ciklusok átlagos N ​​számát a burst (lamináris fázis) között, meg kell kapnia a hasonlósági törvényt

B.4. OENON VONZÓ

A másodfokú leképezés egy vonalon történő általánosítását a kétdimenziós esethez (síkon) Hénon francia csillagász javasolta:

A Hénon térkép a May és Feigenbaum által tanulmányozott logisztikai térképre redukálódik. Az a és b értékei, amelyeknél egy furcsa attraktor megjelenik, különösen a következőket tartalmazza. Készítse el a leképezés grafikonját egy síkon, téglalapra korlátozva. Miután megkapta az attraktort, összpontosítsa figyelmét annak egy kis területére, és nagyítsa ki ezt a területet egy hasonlósági transzformáció segítségével. Kövessen lényegesen nagyobb számú leképezési iterációt, és próbálja feltárni a kis léptékű fraktálszerkezetet. Ha van elég türelme, vagy van kéznél egy gyors számítógép, akkor hajtson végre egy másik hasonlósági transzformációt, és ismételje meg az egészet az attraktor még kisebb területén (lásd 1.20, 1.22 ábra).

Ha van egy programunk a Ljapunov-kitevők kiszámítására, akkor érdemes szem előtt tartani, hogy a Ljapunov-kitevő értéke a szakirodalomban van megadva, és az attraktor fraktáldimenziója a Henon térképen egyenlő . Az a és b paraméterek változtatásával megpróbálhatja meghatározni azon értékek tartományát, amelyeknél az attraktor létezik, és megtalálhatja a periódusduplázási területet az (a, b) síkon.

B.5. DUFFING EGYENLET: UEDA ATTRACTOR

A nemlineáris induktivitású elektromos áramkör ezen modelljét a fejezetben tárgyaltuk. 3. Ennek a modellnek az elsőrendű egyenletrendszer formájában felírt egyenletei a következő alakúak:

Ebben a modellben a kaotikus oszcillációkat Ueda nagyon részletesen tanulmányozta. Használjon szabványos algoritmust numerikus integráció, például egy negyedrendű Runge-Kutta sémát, és fontolja meg az esetet . Amikor periódusos pályát kell kapnia a 3. periódussal. (Végezze el a Poincaré szakaszt itt: ) Az érték közelében a 3. periódusú pálya bifurkáció után kaotikus mozgásba kell, hogy kerüljön.

A periodicitás ismét visszaáll egy átmeneti kaotikus rezsimbe (lásd 3.13. ábra).

Hasonlítsa össze az attraktor fraktál jellegét, amikor a csillapítás csökken, feltételezve, hogy 0,05. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a -nál az attraktornak csak egy kis része marad meg, és -nél a mozgás periodikussá válik.

B.6. DUFFING EGYENLET KÉT POTENCIÁLIS LYUKAL: HOLMES ATTRACTOR

Ezt a példát tárgyaltuk könyvünkben. Számos numerikus kísérletet érdemes megismételni. Ebben az esetben a dimenzió nélküli egyenletek alakja

(A z = w járulékos egyenlet beállításával és bevezetésével autonóm harmadrendű rendszerként írhatók fel.) Az 1/2-es tényező a kis oszcillációk sajátfrekvenciáját egységgel egyenlővé teszi minden potenciálkutatásban. A rögzített csillapítási együttható és a változók káoszkritériumát a fejezetben vettük figyelembe. 5. A kutatás egyik érdeklődési területe. Ebben a régióban meg kell valósítani az átmenetet a periodikus rendszerből a kaotikus rezsimbe, a periodikus ablakokat a kaotikus rezsimbe és a kaotikus rezsimből való kilépést a . Van egy másik érdekes terület: Minden tanulmányban nyomatékosan javasoljuk az olvasónak a Poincaré térkép használatát. Személyi számítógép használatakor a programkészítés során speciális trükkökkel nagy sebességű információfeldolgozás érhető el (lásd 5.3. ábra).

Egy másik érdekes numerikus kísérlet a paraméterek rögzítése, például a Poincaré-térkép fázisának beállítása és változtatása, azaz a pontok 0-tól változó pontjainak ábrázolása. Jegyezzük meg a térkép inverzióját a következőnél. Ez összefügg az egyenlet szimmetriájával? (Lásd a 4.8. ábrát.)

B.7. KÖBÖS TÉRKÉPEZÉS (HOLMES)

A kaotikus rezgések elméletének számos fogalmát illusztráltuk egy attraktor példájával egy két potenciálkúttal rendelkező modellben. Egy ilyen modell dinamikáját egy közönséges nemlineáris leírja differenciálegyenlet másodrendű (lásd a fejezetet.

2. és 3. ábra), de egy ilyen attraktor Poincaré-térképének kifejezett képlete nem ismert. Holmes egy kétdimenziós köbös leképezést javasolt, amely rendelkezik a negatív merevségű Duffing-oszcillátor néhány tulajdonságával:

A paraméterértékek közelében egy kaotikus attraktor található

B.8. pattogó labda KIJELZÉSE (STANDARD KIJELZŐ)

(Lásd Holmes cikkét, valamint Lichtenberg és Lieberman könyvét.) Amint azt a Fejezetben megjegyeztük. 3, a Poincaré térkép egy vibrációs asztalon pattogó labdára pontosan felírható az asztalt érő labda dimenzió nélküli sebessége és az asztal mozgási fázisa alapján.

hol van az energiaveszteség ütközéskor.

Case (konzervatív káosz). Ezt az esetet Lichtenberg és Lieberman könyve tanulmányozza, mint az elektronok elektromágneses terekben történő gyorsulásának modelljét. A megjelenítés iterációja után ábrázolja a kapott pontokat a síkon A kiszámításhoz használja a kifejezést

a BASIC továbbfejlesztett változatában. A jó kép érdekében módosítania kell a kezdeti feltételeket. Például válasszon ki és figyeljen több száz leképezési iterációt a -

Érdekes eseteket fog találni, amikor. Amikor a leképezés periodikus fix pontjai körül kváziperiodikus zárt trajektóriákat figyelhetünk meg. A -nál a konzervatív káosz régióinak meg kell jelenniük a szeparátorok pontjai közelében (lásd 5.21. ábra).

Ügy. Ez az eset disszipatív leképezésnek felel meg, amikor a labda és az asztal közötti minden egyes ütközésnél energiaveszteség történik. Kezdeni valamivel . Vegye figyelembe, hogy bár az első iterációk kaotikusnak tűnnek, mint az 1. esetben, a mozgás periodikussá válik. A fraktálszerű káosz eléréséhez a K értékeket növelni kell. Egy furcsa attraktort kapsz, amely még inkább egy fraktálra emlékeztet, ha feltételezed .

B.9. A KÖR MEGJELENÍTÉSE MAGADON: FORGÁSSZÁM ÉS TÜNDÉFÁK SZINKRONIZÁLÁSA

A tórusz felületén mozgó pont két összekapcsolt oszcillátor dinamikájának absztrakt matematikai modelljeként szolgálhat. Az oszcillátorok mozgási amplitúdói a tórusz kisebb és nagyobb sugaraiként szolgálnak, és gyakran rögzítettnek feltételezik. Az oszcillátorok fázisai két szögnek felelnek meg, amelyek meghatározzák a pont helyzetét a kis kör (meridián) és a nagy kör (párhuzamos) mentén a tórusz felületén. A tórusz kis körei mentén a Poincaré-szelvény egy egydimenziós különbségi egyenletet generál, amelyet a kör saját magára térképének neveznek:

ahol egy periodikus függvény.

Ennek a leképezésnek minden iterációja megfelel egy oszcillátor pályájának a tórusz nagy köre mentén. Népszerű vizsgálati tárgy az úgynevezett szabványos körleképezés (normálra )

Ezzel a leképezéssel megfigyelhető lehetséges mozgások: periodikus, kváziperiodikus és kaotikus módok. A periodikus ciklusok megtekintéséhez ábrázolja a pontokat egy körön téglalap alakú koordinátákkal

A 0 paraméternél nincs más, mint a forgatások száma - a független oszcillátorok két frekvenciájának aránya.

Mikor lehet a kijelzés időszakos és mikor - irracionális szám. Ebben az esetben azt mondják, hogy az oszcillátorok szinkronban vannak, vagy üzemmód szigorítás történt. Amikor az O tengely mentén véges szélességű területeken szinkronizált vagy periodikus mozgások figyelhetők meg, amelyek természetesen tartalmazzák a paraméter irracionális értékeit. Például, ha az intervallumban egy 2-es periódusú ciklus, az intervallumban pedig egy 3-as periódusú ciklus található. Ezeknek az intervallumoknak a megkereséséhez számítsa ki a W forgatások számát a 0 01-es paraméter függvényében. Kiszámítjuk a forgatások számát, ha az összehasonlítás műveletét elvetjük és a határig megyünk

A gyakorlatban a forgatások számának megfelelő pontosságú meghatározásához N > 500-at kell venni. W versus ábrázolásával a szinkronizációs régióknak megfelelő platók sorozatát láthatja. Ha több szinkronizálási területet szeretne látni, válasszon ki egy kis AP területet, és ábrázoljon W-t nagy számú ponthoz ezen a kis területen.

Minden szinkronizálási plató a grafikonon ) megfelel racionális szám- az egyik oszcillátor ciklusainak aránya egy másik oszcillátor q ciklusához. A kapcsolatok egy Fary-fának nevezett sorozatba vannak rendezve. Ha két mód szinkronizációs régiót adunk meg a paraméterértékekhez, akkor ezek között az intervallumban minden bizonnyal lesz egy másik szinkronizációs tartomány a forgatások számával

Kezdve a 0/1 at és 1/1 at értékekkel, felépítheti az egészet végtelen sorozat szinkronizálási területek. A legtöbbjük nagyon keskeny.

Megjegyzendő, hogy ezeknek a régióknak a szélessége nullára hajlamos, és nagyobb lesz a szinkronizálási régiók a síkban () hosszú kiemelkedések alakúak, és néha Arnold nyelveknek nevezik.

B.10. RÖSSLER ATTRACTOR: KÉMIAI REAKCIÓK, TÖBBDIMENZIÓS RENDSZEREK EGYDIMENZIÓS KÖZELÍTÉSE

A klasszikus fizika mindegyik fő területe megalkotta a saját kaotikus dinamika modelljét: a folyadékmechanikát - Lorentz-egyenletek, szerkezeti mechanika- Duffing-Holmes attraktor két potenciálkúttal, elektrotechnika - Duffing-Ueda attraktor. Egy másik egyszerű modell jött létre a kémiai reakciók dinamikájában, amelyek valamilyen tartályban keverés közben lejátszódnak. Rbssler javasolta.

Tekintsük a Rössler-rendszer furcsa attraktorának képét. Ennek geometriai konfigurációja a következőképpen ábrázolható. Vegyünk egy papírcsíkot, amely az egyik vége felé szélesedik (a). A széles végén hajtsa félbe a szalagot, majd ragassza gyűrűvé az ábrán látható módon. (b-g). Egy ilyen papírmodell jó képet ad a Ressler attraktorról és pályáinak térbeli elrendezéséről. Egy lényeges részletben azonban pontatlan. A Rössler-féle SDE megoldása időben előre és visszafelé is megkonstruálható, és érvényes az egyediségtétel. Ebből következően két különböző fázispálya nem konvergálhat egybe, ami azt jelenti, hogy a ragasztási eljárás illegális.

Az ellentmondás feloldása, hogy a „szalag”, amelyről a Rössler-attraktort „összeragasztják”, valójában egy réteges képződmény, laphalmaz. A ragasztási eljárás megegyezik az eredeti szalag lapkészlete és a félbehajtott szalag lapkészlete közötti egy-egy megfeleltetés megállapításával. Ilyen megfeleltetés csak akkor jöhet létre, ha mindkét halmaz végtelen. Így a Ressler-attraktornak végtelen számú rétegnek kell lennie a keresztmetszetében, és ezért összetett szerkezetet kell képviselnie, mint mondják, egy fraktál objektumot.

Ugyanez a szerkezet más furcsa attraktorokra is jellemző. Az ábrán Hainault cikkének diagramja látható, amely az attraktor szerkezetét szemlélteti a leképezésben (2). Megjegyzendő, hogy e munka motivációjában éppen az a szándék volt, hogy egy attraktor fraktálszerkezetére vizuálisabb példát mutassunk be, mint amit az akkor ismert Lorentz-modell mutat. A Hainault attraktor fraktálszerkezetének reprodukálása különböző felbontási skálákon

Fraktálok A fraktálok olyan halmazok, amelyek a hasonlóság (vagy skálainvariancia) tulajdonságait szigorú vagy közelítő értelemben demonstrálják geometriai szerkezetük különböző felbontási skálái mellett, valamint olyan természeti objektumokat, amelyek legalább megközelítőleg rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. skálák széles választéka. A fraktál fogalma Benoit Mandelbrot matematikusnak köszönhetően került használatba a nem triviális geometriai objektumok megjelölésére. Felhívta a figyelmet arra, hogy a fraktáltárgyak nemcsak „matematikai szörnyetegeknek”, hanem modelleknek is tekinthetők. geometriai tulajdonságok nagyon valóságos képződmények a természetben (partvonal, felhők, hegyláncok, fák, örvények egy turbulens folyadékban stb.). A fraktálok osztályozása 1. Konstruktív (bizonyos rekurzív geometriai vagy algebrai eljárásokkal megszerkesztve). 2. Dinamikus (dinamikus rendszerek által generált). 3. Természetes (a természetben megfigyelhető). 4. Sztochasztikus (egy Brown-részecske pályája vagy egy diffúziós véletlenszerű folyamat tetszőleges pályája).

A legegyszerűbb konstruktív fraktál a halmazelmélet alapítója, Georg Cantor által 1883-ban javasolt konstrukcióhoz kapcsolódik. Egy egységszegmens birtokában osszuk fel három egyenlő részre, és dobjuk el a középső harmadot elfoglaló intervallumot. A megmaradt szegmenseket ismét három részre osztjuk, a középső harmadot eldobjuk, és így tovább a végtelenségig. Ami a végén marad, az a Cantor készlet vagy a „Kántorpor”. A Cantor-halmaz megfelel a fraktál definíciójának: minden egyes töredéke, amelyet valamilyen szegmensből kapunk egy bizonyos felépítési szinten, hasonló a teljes halmazhoz, és a méretarány megfelelő újraszámításával kerül bele. Vegyük észre a Cantor halmaz két tulajdonságát. 1) Ennek a készletnek nulla mértéke (nulla hossza) van, azaz. az összes eldobott intervallum teljes hossza egyenlő 1-gyel, az eredeti intervallum hosszával. Az 1. lépésnél egy 1/3 hosszúságú intervallumot dobunk ki, a 2. lépésnél – két 1/9 hosszúságú intervallumot, az n-nél – 2 n 3 -n+1 hosszúságú intervallumot. Az összeget kiszámolva azt kapjuk

2) A Cantor-halmaz egy kontinuum számosságú, azaz. lehetővé teszi egy-egy megfeleltetés létrehozását egy egységnyi intervallum összes pontjának halmazával, a felépítési algoritmus miatt. Az egységszegmens felosztásának szabályának megváltoztatásával és a három egyenlőtlen részre osztás bevezetésével egy bonyolultabb kétléptékű Cantor halmazt (multifraktál) kaphatunk. A Koch-hópehely egy fraktálhatárú terület példája. Az építést egy egyenlő oldalú háromszöggel kezdjük. Ezután mindkét oldalon cseréljük ki a középső harmadot két azonos hosszúságú szegmensből álló szaggatott vonallal. Az eljárást a végtelenségig sokszor megismételve végül egy fraktál objektumhoz jutunk. A Koch-hópehely megalkotásának 7 lépésének első 4 iterációja

A Sierpinski szalvéta (háromszög) elkészítéséhez egy egyenlő oldalú háromszöget veszünk fel, amely feltehetően négy kisebb háromszögből áll. Dobd ki a középső háromszöget. Ezután ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre a fennmaradó háromszögek mindegyikével a végtelenségig. A Sierpinski szőnyeg egy négyzet alapján készült, amelyet függőleges és vízszintes vonalak osztanak fel 9-re. egyenlő részek, és dobd el a középső négyzetet. Minden megmaradt négyzetnél ugyanaz az eljárás, és így tovább a végtelenségig.

A nemlineáris rendszerek determinisztikus dinamikája által generált fraktálokat dinamikusnak nevezzük. A dinamikus fraktálok lehetnek attraktorok vagy más korlátozó halmazok a fázistérben, amelyek N dimenziója az áramlásoknál N > 2, a diszkrét idejű N 2 rendszereknél. Amikor szabálytalan attraktorokról beszélnek, megkülönböztetik a „furcsa” fogalmakat. és „kaotikus”. Ez a „furcsaság” tulajdonsága, amely annak nem triviális (fraktál) geometriájára utal. Több együttélő attraktor vonzási medencéinek határai fraktál tulajdonságokkal rendelkeznek, és ez a nemlineáris DS jellemzője. 2, "> 2, diszkrét idejű N 2 rendszereknél. Amikor szabálytalan attraktorokról beszélünk, elválasztják egymástól a „furcsa” és a „kaotikus” fogalmát. A (fraktál)geometria a határok fraktál tulajdonságokkal rendelkeznek, több együtt létező attraktor vonzási medencéje, és ez a nemlineáris DS jellemzője."> 2, " title=" A nemlineáris rendszerek determinisztikus dinamikája által generált fraktálokat dinamikusnak nevezzük. A dinamikus fraktálok lehetnek attraktorok vagy más korlátozó halmazok a fázistérben, amelyek N-nek a meneteknél N > 2-nek kell lennie."> title="A nemlineáris rendszerek determinisztikus dinamikája által generált fraktálokat dinamikusnak nevezzük. A dinamikus fraktálok lehetnek attraktorok vagy más korlátozó halmazok a fázistérben, amelyek N mérete áramlásoknál N > 2,"> !}

Sok szépségéről híres dinamikus fraktál a következő egyszerű Júlia-térképhez kapcsolódik: ahol Z egy komplex változó, C pedig egy összetett paraméter. A Julia halmaz egy fraktál határ egy attraktor végtelenben vonzási medencéi (gesztenyebarna régió) és periodikus mozgás (többszínű régió) között. A hangot (színt) az attraktor eléréséhez szükséges iterációk száma határozza meg.

Mandelbrot halmaz Ezt a fraktálstruktúrát egy összetett változó függvényének felhasználásával egy algebrai transzformáció (ismétlődési reláció) ismételt alkalmazásával kapjuk meg. A középső fekete szín azt mutatja, hogy ezeken a pontokon a függvény nullára hajlik – ez a Mandelbrot halmaz. Ezen a halmazon kívül a függvény a végtelenbe hajlik. A legérdekesebb dolog a halmaz határai. Ezek fraktálok. Ennek a halmaznak a határain a függvény kiszámíthatatlanul – kaotikusan – viselkedik.

Attraktor méretei Megkülönböztető tulajdonság furcsa attraktorok a skálainvariancia (skálázás) tulajdonságának jelenléte, amely szerkezetük megismételhetőségében fejeződik ki egyre kisebb léptékeken. A hasonlósági törvények következménye a Poincaré-szelvények kaotikus halmazainak geometriájának univerzalitása, a rezgési energia frekvenciák és amplitúdók közötti eloszlása ​​a spektrumban stb. A furcsa attraktorok jellemzésére bevezetjük a dimenzió fogalmát. A dimenzió határozza meg az attraktorhoz tartozó pont koordinátáinak megadásához szükséges információ mennyiségét, a megadott pontosságon belül. Szabályos attraktorok esetén, amelyek sokaság, a dimenzió egész szám: egy rögzített pont mérete 0, egy határciklus mérete 1, és egy kétdimenziós tórusz mérete 2. A geometriai szerkezet összetettsége miatt a furcsa attraktorok nem elosztók és törtméretük van. A dimenzió definícióit általában két típusra osztják: azokra, amelyek csak az attraktor metrikus tulajdonságaitól függenek, és a metrika mellett azokra, amelyek az attraktor metrikus tulajdonságaitól függenek. statisztikai tulajdonságokáramlás a dinamika miatt. Tipikus esetekben a metrikus dimenziók ugyanazt az értéket vesznek fel, amit általában a D attraktor fraktáldimenziójának neveznek. Azt a dimenziót, amelyet annak figyelembevételével határozunk meg, hogy a pálya milyen valószínűséggel látogatja meg az attraktor különböző területeit a fázistérben, az ún. a természetes mérték információi vagy dimenziója.

(29)

A (29) definíció alkalmazásával egy pont, vonal és felület méreteinek kiszámításához ellenőrizheti a szokásos 0, 1 és 2 értékeket. A nemtriviális halmazok esetében a fraktáldimenzió mindig tört. Ezt a tulajdonságot az attraktor „furcsaságának” jellegzetes jeleként használják. A halmaz rögzített alakú és méretű cellákkal való lefedésével meghatározott fraktáldimenziót a halmaz kapacitásának nevezzük. Ha egy halmaz lefedésére tetszőleges alakú és méretű elemeket használunk, akkor az így számított méretet Hausdorff-dimenziónak nevezzük. A fraktálok esetében ez a méret és a kapacitás egybeesik, és egyszerűen az objektum fraktáldimenziójáról beszél.

Információs dimenzió A fraktáldimenzió mellett számos mást is bevezetnek és használnak, beleértve az információs, korrelációs és általánosított Renyi-dimenziókat. Miért nem elég a metrikus dimenzió önmagában? Képzeljük el, hogy az attraktor heterogén – egyes területeket (lefedettségi elemeket) gyakrabban, másokat ritkábban keresnek fel. Ez a körülmény semmilyen módon nem tükröződik a kapacitás meghatározásában. Adjunk meg egy invariáns mértéket egy attraktorra, és ennek az attraktornak egy burkolatát szerkesztettük meg, miközben a borítás minden cellájának megvan a maga specifikus mértékértéke. Más szavakkal, minden i-edik lefedettségi cella bizonyos valószínűséggel benne lesz p i. Feltételezve, hogy a cellák teljesen lefedik az attraktort, és nem fedik át egymást, akkor Tekintsük most az összeget.

Jól látható, hogy a lefedettségi cellák méretének csökkenésével az összeg (30) értéke nőni fog: minél kisebbek a cellák, annál több információ található az állításban, hogy a pont egy adott cellába esett. Ez a növekedés követi a törvényt (31), vagy ennek megfelelően van egy határ (32). A D I mennyiséget információdimenziónak nevezzük.

Korrelációs dimenzió és a Grassberger-Procaccia algoritmus Tekintsük újra az attraktor azonos méretű cellákkal való lefedettségét, és tegyük fel, hogy az attraktorhoz tartozó két pontot, az x 1-et és az x 2-t, véletlenszerűen választjuk ki az i-edik cellába kerül? Annak a valószínűsége, hogy egy pont beleesik i-edik elem lefedettség egyenlő p i-vel. Ha egy adott cellába mindkét pont független eseménynek tekinthető, akkor annak valószínűsége p i 2. Tekintsük a (33) összeget A cellák méretének csökkenésével az összeg csökkenni fog, és ez a hatványtörvény szerint fog megtörténni (34) vagy ennek megfelelő határérték (35) D C értékét korrelációs dimenziónak nevezzük.
Általánosított dimenzió Általánosíthatja a D F, D I, D C dimenziókat, és bevezethet egy q rendű dimenziót a q rendű általánosított entrópiával (Rényi entrópia) (37), ahol P i egy alapérték észlelésének valószínűsége i-edik elem burkolatok. Ekkor a q rendű dimenzió (38) Megmutatható, hogy D 0 = D F, D 1 = D I, D 2 = D C.

Ljapunov-dimenzió A DS-attraktor fraktáldimenziója az R N fázistérben a Ljapunov-karakterisztikai indexek (LCP) spektrumával becsülhető meg. Ezt a becslést Ljapunov-dimenziónak nevezik D L, és egy bizonyos összefüggés adja meg, amelyet Kaplan-Yorke képletnek neveznek. Legyen ismert egy N-dimenziós rendszer egy furcsa attraktorának LCP spektruma, melynek dimenzióját meg kell becsülni: 1 2 ... N. Az összes spektrummutató összege negatív a rendszer disszipativitása miatt. Tekintsük az LCP spektrum első k mutatóját, ahol k a feltételt kielégítő legnagyobb szám. Mivel az indikátorok összege határozza meg az attraktorban lévő fázistérfogat elemének lokális változásának természetét, ezért a k dimenziójú fázistérfogat

Feltételezhetjük tehát, hogy az attraktor dimenziója a k D L k + 1 intervallumban van. Ésszerű megkövetelni, hogy az attraktoron történő mozgás megfeleljen annak a feltételnek, amely megfelel a folyamat stacionaritásának fizikai koncepcióinak, ahol d – töredék méretek. Az attraktor teljes Ljapunov-dimenziója a k egész és a tört d részek összege lesz: (39) Az LCP spektrumok aláírásában és a D L dimenzióban lévő különbségek a szabályos és furcsa attraktorok osztályozásának jelei lehetnek. A Kaplan-York képletből (39) a szabályos attraktorokra a Ljapunov-dimenzió következő értékeit kapjuk, amelyek egybeesnek a megfelelő halmaz fraktáldimenziójával, és megegyeznek az LCP spektrumban lévő nulla indikátorok számával: egyensúlyi állapot (-, -, -, ...) – D L = 0; határciklus (0, -, -, -, …) – D L = 1; kétdimenziós tórusz (0, 0, -, -, …) – D L = 2; N-dimenziós tórusz (0, 0, 0, …,0, -, …) – D L = N.

A szokásos attraktorok esetében a következők teljes mértékben megegyeznek: a Ljapunov-dimenzió, a fraktáldimenzió és az attraktor LHP-spektruma. Ami a furcsa attraktorokat illeti, az ilyen kölcsönhatásról csak a háromdimenziós differenciálrendszerek és a kétdimenziós reverzibilis leképezések kapcsán beszélhetünk állandó nyújtással és tömörítéssel. Bebizonyosodott, hogy az ilyen rendszerekben lévő attraktorok esetében a fraktáldimenzió a következő összefüggésekkel határozható meg: - kétdimenziós leképezéseknél - háromdimenziós differenciálrendszereknél Általános esetben a dimenziók között a következő összefüggés áll fenn: a számítási hibák határain belül megközelítőleg feltételezhetjük, hogy a méretek értékei egybeesnek. A legmegfelelőbb méretdefiníció kiválasztásakor általában a numerikus számítások lehetőségeiből indulunk ki. A DS numerikus modellezésekor a legkényelmesebb a Lyapunov dimenzió használata. Egy attraktor fraktáldimenziójának kísérleti adatokból való becsléséhez a korrelációs dimenzió a legalkalmasabb.

Hasonló cikkek